一元多项式最大公因式的求法

1、一元多项式最大公因式的求法摘要 多项式理论是高等代数的重要组成部分，求最大公因式在多项式理论研究中占有显著地位.求两个多项式的最大公因式，一般采用因式分解法和辗转相除法.本文还试图从：将两种方法结合起来矩阵的初等变换法矩阵的斜消变换法以及数值矩阵法等不同角度给出了一元多项式的最大公因式的不同求法.关键词 因式分解法；辗转相除法；斜消变换法；矩阵初等变换 一 引言最大公因式的概念是多项式代数的重要内容，关于最大公因式的求法一般主要讨论两个多项式的最大公因式的求法，方法主要有因式分解法和辗转相除法考虑个多项式的最大公因式时，往往也是通过两两多项式求最大公因式，因此求多个多项式的最大公因式需要多次对

2、两个多项式进行运算为了改进运算方法,我们给出以下的矩阵初等变换法，斜消变换法等利用多项式矩阵和数字矩阵的运算来求解最大公因式，虽然不尽完善，但也是一种很大的突破本文将在此基础之上对求最大公因式的方法进一步作一个较全面的探讨二 问题的提出在高等代数教材中，有如下定义和定理：定义1 如果多项式既是的因式，又是的因式，那么就称为与的一个公因式.定义2 设，是中两个多项式. 中多项式称为，的一个最大公因式，如果它满足下面两个条件：1）是，的公因式；2），的公因式全是的因式.我们约定，用来表示最高次项系数为1的那个最大公因式.三 问题的解决由定义1和定义2我们很容易得到一种求多项式的最大公因式的方法因式

3、分解法.3.1因式分解法利用两个（多个）多项式的标准分解式可以很快地得到它们的最大公因式.如：设多项式与的标准分解式分别为：（上式分别是f(x),g(x)的首项系数.）是两两不等的首项系数为1的不可约多项式， 是非负整数，则这里 例3.1.1 证明证明：最后一项不能被整除故命题得证.对于因式分解法，虽然，直观，原理简单易懂.但当多项式次数较高时，分解的过程往往比较困难，故此方法并不理想. 没有广泛适用性.定理1 对于中任意两个多项式，在中存在一个最大公因式，且可以表成，的一个组合，即有中的多项式,使 . 证明 如果，有一个为零，譬如说，那么就是一个最大公因式，且.下面来看一般的情形.无妨设.按

4、带余除法,用除,得到商,余式;如果,就再用除,得到商,余式;又如果,就用除,得出商,余式;如此辗转相除下去,显然,所得余式的次数不断降低,即因此在一有限次之后，必然有余式为零，于是我们有一串等式；，,.与0的最大公因式是.根据前面的说明，也就是与的一个最大公因式；同样的理由，逐步推上去，就是与的一个最大公因式.由上面的倒数第二个等式，我们有再由倒数第三式，代入上式可消去得到然后根据同样的方法用它上面的等式逐个消去，再并项就得到这就是定理的式. 证毕 由最大公因式的定义不难看出，如果是与的两个最大公因式，那么一定有与，也就是，.这就是说，两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零的常数倍的意义下是

5、唯一确定的.我们知道，两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式.由定理1的证明过程我们找到一种求多项式的最大公因式的方法辗转相除法.3.2 辗转相除法例3.2.1 求与的最大公因式：解 用辗转相除法，得 故 为了运算的简化，我们可以在辗转相除的开始或过程中用一个非零常数去乘被除式或者除式，而对计算结果无影响.此外，在辗转相除的过程，若遇到两个多项式的次数相同时，可以任取一个作除式，另一个做被除式.并且为了减小多项式的系数，也可以将被除式减去除式的若干倍再做辗转相除，不改变的结果.例3.2.2 设,求的最大公因式.解：是的倍式而的因式只有两种可能：或是常数，或是.但是不整除，也不整除即

6、与互素辗转相除法具有可操作性，较因式分解法适用范围更广，有具体的格式进行操作. 但当已知的多项式次数较高时或者多项式的个数较多时，辗转相除次数较多显得十分麻烦；在求时，辗转相除的过程不能用一个非零的常数去乘除式和被除式，运算困难.3.3 因式分解法和辗转相除法在辗转相除法的运算中，都是的最大公因式的倍式.这样，只要发现某一能较快的因式分解，就可用此分解式中不可约因式试除而得到最大公因式 例3.3.1 计算的最大公因式.解：由辗转相除法得 是有理数域上的不可约多项式的因式只可能是或常数用试除，得不整除，所以，的最大公因式是常数，即互素.在了解了用上述格式表示辗转相除法的过程后，我们还可以用另一种

7、更简单，直观的方式来表示这种过程3.4 矩阵法1. 求两个多项式的最大公因式令是两个多项式，不妨设，用去除有，即.设可知是可逆阵，再用去除有，即.设，则也是可逆阵，依次做下去，由于在绝对递减，必有某时有或.不妨设，则.，其中是可逆阵.设的第一列为，则有. 又由于，于是均可由表示，即是的公因式.综合得是的最大公因式.例3.4.1 求与的最大公因式解 作除法，即 再作除法即 再作除法，即 则 2. 求3个多项式的最大公因式是3个多项式，用去除，有,即 .不妨设，再用去除和，有，即.继续作下去，由于绝对递减，必有某时中有一个不为零，其余全为零,不妨设，则有，记，则有.设的第一列为则.又，即均可由表示

8、，即是的公因式.故是最大公因式.例3.4.2 求的最大公因式.解 最小，用去除，有即最小，再作除法，即 是最大公因式.3. 求个多项式的最大公因式是个多项式，用去除有即设（必是可逆阵） 不妨设，再用去除有即设（必是可逆阵）.继续下去，由于绝对递减，必有某时中只有一个不为零其余全为零.不妨设，则.设是可逆阵，设的第一列为，有，且均可由表示，即是的公因式.故是最大公因式. 矩阵法在辗转相除法的基础上，结合多项式最大公因式的定义与矩阵的运算性质，不紧可以求两个多项式的最大公因式还可以求得多个多项式的最大公因式并同时求得关于的线性组合. 虽采用的是矩阵形式，但仍需要两两多项式作除法，随着多项式的个数增

9、加计算量大大增加，计算过程比较复杂.3.5 矩阵的初等行（列）变换法定理2 设是上的非零阵， ，是阶单位矩阵，则矩阵经过一系列初等列变换可化为，而的第一列元素就是，使得 成立.例3.5.1 对于整系数多项式 求它们的最大公因式解 令 对其进行如下的的列初等变换：其中， 故 注：进行初等变换的目的是要把的第一行变成形式，在作初等列变换过程中，系数保持是整数，在这个原则下可以随意地作初等列变换，得到的是唯一的.但由于作法不同，得到的的第一列元素可能不同，故线性表示不唯一，但都能使成立.矩阵的初等变换法通过直接构造矩阵，利用多项式矩阵的初等变换一举求得最大公因式及其线性表达式，具有较广的使用范围且运

10、算过程较灵活，避免了多项式之间繁琐的除法运算. 但由于构造的是多项式矩阵，故在运算过程中仍是多项式的运算，有一定的难度.3.矩阵的斜消变换基于矩阵的初等行，列变换法，我们思考是否存在一种运算过程来避免多项式之间繁琐的除法运算定义设为m个多项式（至少有一个多项式不为零），为阶矩阵，A为与多项式，（）相对应的矩阵.若A的第行从左向右第一个不为零的元素为,第j行的第一列元素不为零,则称将第行的n-s个元素：乘以c斜加到第j行元素：上的变换为第行到第j行的左斜消变换记为；若A的第行从右向左第一个不为零的元素为，,第j 行的第n列元素不为零，则称将第行的s个元素：乘以c斜加到第j行元素：上的变换为第行到

11、第j行的右斜消变换，记为此外，对A施行矩阵的第一，第二种初等行变换以及左斜消变换和右斜消变换不改变与其对应的这些多项式的最大公因式，并且总可以将矩阵A化简成如下形式的矩阵：C=此时例3.6.1 用矩阵的斜消变换求 求 解 A=所以，我们约定，用左斜消变换化简矩阵时，若所得矩阵的前若干列元素全为零时，要及时消去这些列再做变换；用右斜消变换化简矩阵时，若所得矩阵的后若干列元素全为零时，要及时消去这些列再做变换.这样可以达到简化矩阵的目的.在用斜消变换化简矩阵时，我们会发现，求某些多项式的最大公因式时，需要选择其适用的是左斜消变换还是右斜消变换.并且左右斜消变换是不能同时使用的，这就给我们解决某些问

12、题时带来了局限性.3. 数值矩阵法若用矩阵=表示多项式： 的待求最大公因式.则对A施行初等行变换，不改变两个多项式的最大公因式.当时，即它们表示的两个多项式的待求最大公因式相同.利用以上结论，就可以利用矩阵的初等行变换求出一元多项式组的最大公因式，其一般步骤为： 将系数矩阵利用初等行变换化为阶梯矩阵. 考察矩阵，若出现元素都是0的行，则去掉该行；若某行变为时，多项式的最大公因式为1，计算终止；若出现每一行的列数最大的非零元素不在同一列时，则施行右对齐；若每一行的列数最大的非零元素在同一列时，则施行左对齐；将变成非阶梯矩阵，然后，以非零元素最少的行将其再化成阶梯矩阵. 反复循环上述步骤，直到变为

13、型矩阵，则对应的多项式即是的最大公因式.例3.7.1 设=？解：对矩阵A=施行初等行变换及替换：故，例3.7.2 求 解 A=所以，数值矩阵法根据多项式与其系数间的一一对应关系，构造多项式组的系数矩阵，再由多项式最大公因式的性质导出一种单纯运用数字矩阵（系数矩阵）的初等变换求得最大公因式的方法，直观明了，简单易行. 但它不能像矩阵法和矩阵的初等行（列）变换法可以求得最大公因式的同时求得最大公因式的线性表达式.因此，我们可以依照以上的对比结果根据多项式的表达式特征、多项式的个数以及是否需要得到最大公因式的线性表达等情况的不同,灵活选择不同的方法来求最大公因式.参考文献1 北京大学数学系编.高等代

14、数（第三版）.北京：高等教育出版社.2 蔡若松. 求几个多项式的最大公因式. 锦州师范学院学报（自然科学版）, 1998.3.3 陈辉，陈凌云. 多项式最大公因式的一种求法. 杭州师范学院学报, 2000.06.4 刘国琪. 多项式的最大公因式的一种新求法. 河北电力职工大学，工科数学, 1997.04.5 T.W.Hungerford. 冯克勤译. 代数学M. 长沙:湖南教育出版社, 1984.6 李正彪, 李祥. 求多项式最大公因式的一种新方法. 曲靖师范学院学报, 2004.11.7 Nathan Jacobson.Basic AlgebralM.San.Francisco:W.H.Freeman and company, 1980. 王向东，周士藩.高等代数常用方法 北京：科学出版社。1989.19北京大学数学系几何与代数教研室.高等代数M.北京：高等教育出版社，2003:13-1510郁金祥.基于矩阵斜消变换的最大公因式求解J.数学的实践与认识，2005（11）11高吉全.斜消变换与结式计算的简化J.数学通报，1