河北省石家庄市高三数学上学期第五次月考试卷理(含解析)

1、2015-2016学年河北省石家庄市正定中学高三（上）第五次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共有 12个小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1 .已知aCR,若卷箸为实数，则a=（）A. - 2 B. -= C. = D. 2 222 .下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间（0, 1）内单调递增的是（）A. y=VB. y=xsinxC. y=lg 芯 D. y=ex - e xGo3 .已知实数x、y满足2<0，则z=x - 2y的最大值为（）x - y 一1QA. - B. 1 C. 2 D. 44 .直线x - y+m=0与圆x2

2、+y2 - 2x - 1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是（）A. - 3< m< 1B. - 4< m< 2C. 0 V m<1D.m< 15 .已知 sin a+，cos a =贝U tan a =()A源.&C.一与D.血a, i的值分别为（6 .执行如图所示的程序框图，若输入的 p=5, q=6,则输出的,结束A. 5, 1B. 30, 3C. 15, 3D. 30, 6兀7C7 .将函数f （x） =sin （2x+（H （|（H丁）的图象向左平移 二习个单位后的图形关于原点JT对称，则函数f （x）在0, 一1上的最小值为（）!-7

3、 - / 20A3B 2 C亨一当8 .在菱形 ABC邛，对角线 AC=4, E为CD的中点， 后须=（）A. 8 B. 10 C. 12 D. 149 .某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）C. 4A. 6B. 5D. 5.510 .某校高三理科实验班有 5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校.若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考,那么这 5名同学不同的报考方法种数共有（）A. 144 种B. 150 种C. 196种D. 256 种2211.设F1, F2为椭圆f 去勺的左、右焦点，且|F 1F2|=2c ,若椭圆上存在点 P使得 Iff1卜

4、|pf2|二2一,则椭圆的离心率的最小值为（A.B.12.设函数f有且只有一个,A.1,C. ： D.2 (x) =ex 则实数3(2x 1) +ax a,a的取值范围为(其中a>- 1,若关于 )x不等式f （x） V 0的整数解B.一C.D.二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分.请将答案填写在答题纸上13.在（1 - x） 6 （2-x）的展开式中含x3的项的系数是 14.已知数列an满足a1=15,:2,则3L的最小值为n15.如图，正方体 ABCD- A1BC1D的棱长为1, E为线段B1C上的一点，则三棱锥 A- DED的体 积为.DiC116. F是双曲线r： x2-匚=

5、1的右焦点，r4的右支上一点 P到一条渐近线的距离为2,在另一条渐近线上有一点Q满足FP=1PQ，则入=三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 .在锐角 ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知A, B, C依次成等差数列, 且求a+c的取值范围18 .已知数列an的各项均是正数，其前 n项和为Sn,满足S=4-an.(1)求数列an的通项公式；1(2)设 bn=.log2an(nCN*),数列bnbn+2的前n项和为Tn,求证:Tn<.419 .某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生

6、中随机抽取了 100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.(1)若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；(2)学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在150名和9511000名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，是否近视150951-1000近视4132不近视918能否在犯错的概率不超过 0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？(3)在(2)中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这 9人中任取3人，记名次在150的学生

7、人数为X,求 X的分布列和数学期望.PA=2,点M在线段PD上.AD)± CR 且 AD=CD血,BC=4巧,附：P (K2> k)0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.879(1)求证：AB± PC.(2)若二面角M/F AC- D的大小为45° ,求BM与平面PAC所成的角的正弦值.2221 .已知椭圆C:，+ -=1 (a>b>0)的离心率为 自，以原点。为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x - yd"=0相切.(I)求椭圆C的标准方程；卜、(n)若直线l ： y=kx+

8、m与椭圆C相交于A B两点，且koA?koB=-匕亍，判断 AOB的面积是 a否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由.22 .已知函数,其中常数 a>0.4 冠(1)讨论函数f (x)的单调性；(2)已知。<a<之，f (x)表示f (x)的导数，若xi, X2C (-a, a) , X1WX2,且满足f' (xi) +f' ( x2)=0,试比较f' ( xi+x2)与f' (0)的大小，并加以证明.2015-2016学年河北省石家庄市正定中学高三（上）第五次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共有 12个小题

9、，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知aCR,若掾'为实数，则a=()A. - 2 B. - C. D. 222【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念.【分析】利用复数的除法的运算法则化简复数为a+bi的形式，通过虚部为 0,求解即可.解:为实数，可得2+i1+ai (1+&D12 7) 2+a+(2a- Di故选：C.2.A.0, 1）内单调递增的是（y二 一，卜列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间（【考点】奇偶性与单调性的综合.【分析】根据奇偶函数的定义及基本函数的单调性逐项判断即可得到答案.【解答】解：A中，: y相彳

10、的定义域为0 ,+°°）,不关于原点对称，y=/7为非奇非偶函 数，故排除A;B中,C中, lgtD中,-.1 一 xsin ( x) =xsinx , y=xsinx为定义域上的偶函数，故排除 B;y=ig1 - X1+x=lg(1 +1+i2递增，t= - 1 + +£在（0, 1）上递减,1）上递减，故排除e x-e ( x) =e x-ex=-( ex-e-x),，y=ex-e.x是奇函数,又y=ex递增，y= -e-x递增，y=ex-e-x是（0, 1）内的增函数; 故选D.3.已知实数x、y满足卜+产2<0，则z=x - 2y的最大值为（）l y

11、 -A. - B. 1 C. 2D. 4【考点】简单线性规划.【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解, 把最优解的坐标代入目标函数得答案.【解答】解：由约束条件s+y - 20k -y - 140作出可行域如图,化目标函数z=x - 2y为广会-由图可知，当直线 尸J一看过A (0, -1)时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为0-2 X (- 1) =2.故选：C.4.直线x - y+m=0与圆x2+y2 - 2x - 1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是()A. - 3v m< 1 B. - 4< m< 2 C. 0 V m

12、< 1D. m< 1【考点】直线与圆相交的性质.【分析】把直线与圆的方程联立，消去y得到一个关于x的一元二次方程，根据直线与圆有两个不同的交点得到此方程有两个不等的实根，即4>0,列出关于 m的不等式，求出不等式的解集得到 m的范围，在四个选项中找出解集的一个真子集即为满足题意的充分不必要条 件.【解答】解：联立直线与圆的方程得：k - y+nrO取 - 1=0，消去 y 得：2x2+ (2mr 2) x+mi - 1=0,由题意得： = (2m 2) 2 8 ( m2 1) = - 4 ( m+$ 2+16> 0,变形得：(m+3)( m- 1) < 0,解得：

13、-3vm< 1,0< RK 1是-3V RK 1的一个真子集，直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是0VRK 1.故选C.5.已知 sin a +，cosa = V,贝U tan a =()【考点】同角三角函数基本关系的运用.【分析】已知等式两边平方，利用完全平方公式变形，分母看做“ 1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，即可求出tan e的值.【解答】解：已知等式两边平方得：(sin “2=sin 2 a +2/2sina COS a +2COS2 a =3,. sin2 Cl+2V2sinClcOEa+2cos2a _tan'°+2诟,门口+2 ” .

14、=3sin OL +co g2tan2 Ct +1整理得：(V2tan “ - 1) 2=0, 解得：tan a = JN. 2故选：A.6.执行如图所示的程序框图，若输入的p=5, q=6,则输出的a, i的值分别为（rwjA. 5, 1 B. 30, 3【考点】循环结构.C. 15, 3D. 30, 6【分析】根据得到该程序的功能是求 p、q两个数的最小公倍数，由此写出程序执行的步 骤，结合题意即可得答案.【解答】解：根据题中的程序框图，可得该程序按如下步骤运行第一次循环，i=1 , a=5X1=5,判断q是否整除a;由于q=6不整除a=5,进入第二次循环，得到由于q=6不整除a=10,进

15、入第三次循环，得到由于q=6不整除a=15,进入第四次循环，得到由于q=6不整除a=20,进入第五次循环，得到 由于q=6不整除a=25,进入第六次循环，得到 由于q=6整除a=30,结束循环体并输出最后的 因此输出的 a=30且i=6故选：Di=2 , a=5X 2=10,判断q是否整除a；i=3 , a=5X3=15,判断q是否整除a;i=4 , a=5X4=20,判断q是否整除a； i=5 , a=5X5=25,判断q是否整除a；i=6 , a=5X 6=30,判断q是否整除a； a、i值7.将函数 f (x) =sin (2x+(j)冗JT（u 亏）的图象向左平移个单位后的图形关于原点

16、对称，则函数f （x）在0 ,匚1上的最小值为（【考点】正弦函数的图象.【分析】由条件根据函数 y=Asin （cox+ 4）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得冗+ j =k兀，3k C z,由此根据|（f）| <求得。的值.【解答】解:函数 y=sin2(2x+ 3(2x+ 4 ) ( |(f)|+ 4）的图象,再根据所得图象关于原点对称，可得JT的图象向左平移$个单位后，得到671+(f)=k7t, kCz,J,f (x) =sin (2x 由题意xC 0 ,£ 一sin兀(2x - -7T) £ -，函数y=sin (2x JU）在区间0冗的最小值为-故

17、选：D.8.在菱形 ABC邛，对角线 AC=4,E为CD的中点， 南国=（）A. 8【考点】【分析】B. 10 C. 12 D. 14平面向量数量积的运算.首先，设AB=a，AD=bi，然后，表示向量 标，最后利用菱形的几何性质，计算'?陶二的值即可.【解答】解：如图示, 设菽=：，屈=E，AC=a+E, AE =菽+&等(a+b + h) =3+bAE?AC=东+百？（晶百lr=2 3f -+1一 ,1-2 -2 =2 a对角线AC=4,I a 1= lb 1=272,AE?AC=12.故选：C.9 .某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）-11 - / 20A.

18、6 B. 5 C. 4 D. 5.5【考点】由三视图求面积、体积.【分析】利用三视图画出几何体的图形，通过三视图的数据求解几何体的体积即可.【解答】解：三视图复原的几何体是长方体，去掉两个三棱锥后的几何体，如图： 去掉的三棱锥的高为 3,底面是等腰直角三角形，直角边长为1,所求几何体的体积为：2X1X3- 2吟"工工3=5.10 .某校高三理科实验班有 5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校.若这三所高校中每个学校都至少有方法种数共有（）A. 144 种B. 150 种 C. 196 种【考点】分类加法计数原理.【分析】由题设条件知，可以把学生分成两类:二

19、 舟；A ；种报考方法.【解答】解，把学生分成两类：311, 221,1名同学报考，那么这 5名同学不同的报考D. 256 种311 , 221,所以共有根据分组公式共有故选B.呼汨3=150种报考方法,A211.设Fi, F2为椭圆b?=1缶b>0）的左、右焦点，且|F iF2|=2c ,若椭圆上存在点 P使得|PF1卜|PF2 |二2c L则椭圆的离心率的最小值为（）A-BC.四D. 232【考点】椭圆的简单性质.【分析】由椭圆的定义可得|PFi|+|PF 2|=2a ,联立|PFi| ?|PF2|=2c2,求出|PF2| ,由|PF2| >a- c求得椭圆的离心率的最小值.【

20、解答】解：由椭圆的定义可得|PFi|+|PF 2|=2a ,联立得 |PF J, |PF? | 二2c L 解得 |PF2|=a -府=57或 |PF2|=a+?二不.a 一由 a _ Zc2>a c,彳导 cR/ Zc2，两边平方得:c2>a2- 2c2,即 3c2>a2,即椭圆的离心率的最小值为故选：D.I2.设函数 f (x) =ex (2x-I) +ax - a,其中a>- I,若关于x不等式f （x） v 0的整数解有且只有一个，则实数a的取值范围为（A.I,B.e£-J ,_r一一 C.D.I,32e【考点】利用导数研究函数的单调性.【分析】设 g

21、 (x) =ex (2x-I) , y=a-ax,求导 g' ( x) =ex (2x+I),从而可得 a>g (0) =- I,且 g ( - I) =- 3ea+a,从而解得.【解答】解：设 g (x) =ex (2xT) , y=a - ax,由题意知，存在唯一的整数xo,使g(X0)在直线y=a-ax的下方,g' (x) =ex (2x+1),，当 xv -1时，g' ( x) v 0,当 x> 一二时，g' ( x) >0,Igmin (x) =g ( -) =- 2 y；且 g (0) =- 1, g (1) =3e>0,直线

22、y=a-ax恒过点(1, 0),且斜率为-a,结合图象可知，故 y| x=0=a> g(0) = 1,且 g( 1) = - 3e 1>y| x= i=a+a,解得，-1 vaw2e故选D.二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分.请将答案填写在答题纸上.13 .在(1 - x) 6 (2-x)的展开式中含x3的项的系数是-55 .【考点】二项式定理.x) I由【分析】在(1-x) 6(2- x)的展开式中含x3的项是2c53 ( - x) 3+ ( - x) C62 ( 此能求出其系数.【解答】解：2C63 ( x) 3+ ( x) C62 ( x) 2=-40x3 - 15x3

23、=-55x3.则的最小值为 n27甘故答案为：-55.14 .已知数列an满足a1=15,巴士2,n【考点】数列递推式.士关于n的函【分析】把已知数列递推式变形，利用累加法求出数列的通项公式，得到 数，然后利用函数单调性求得最小值.【解答】解：由 四一包二工，得 痴一%=2n,nai=15, " an=ai+ (a2 a。+ (a3 a2)+ (an an-i)=15+2+4+2 (n- 1) =15+2X12212_=n2- n+15.2% _n, 1'-_ 1=n+1n n2令 f (x) =x+- - 1,得 F，(K)=l及II当n取1, 2, 3时，n旦-1减小，当

24、n取大于等于4的自然数时n+匕-1的值增大.nn. n=3 时，=3+5 1=7； n=4 时，=4+1=-.nn 口 4127一史的最小值为占;n4 I27故答案为：一.415.如图，正方体 ABC> ABGD的棱长为1, E为线段BC上的一点，则三棱锥 A- DED的体积为 .DiC1【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征.【分析】将三棱锥A - DED选择 ADD为底面，E为顶点，进行等体积转化Va ded=VEadd1后体积易求【解答】 解：将三棱锥 A- DED选择 ADD为底面，E为顶点，则VA dedfVE-add其中S3dd；Sa1D1dJ, E到底面ADD的距离

25、等于棱长 1,故二4故答案为：16. F是双曲线r： X2-引=1的右焦点，r的右支上一点 P到一条渐近线的距离为 2,在另一条渐近线上有一点 Q满足而=入而，则入=4 【考点】双曲线的简单性质.【分析】设P （m n） , m> 0,代入双曲线方程，再由点到直线的距离公式，解方程可得P的坐标，再设 Q的坐标，由三点共线斜率相等，可得Q的坐标，再由向量共线的坐标表示，计算即可得到所求.【解答】解：设Pn） , m>0, 2则 mf - ' =1,双曲线的渐近线方程为 y=±2x,设P到直线y=2x的距离为2,口”n|即有二2,V 5由于P在直线的下方,则 2m-

26、n=2后,解得m等”号设 Q (s, 2s),由 F 监,0),由于F, P, Q共线，可得则 kFF=kFQ,5 2s即为勾TWTE5 I解得s=孝即有Q （零，一芯），、-（脏> F产二百，-亏），田二（一五 由于而二入西，贝U入=4.三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 .在锐角 ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知A, B, C依次成等差数列, 且b=/§,求a+c的取值范围.【考点】正弦定理.-13 -/ 20【分析】由等差数列的性质，三角形内角和定理可得B,由正弦定理，三角函数恒等变换的7T应用可

27、得a+c=2/sin (A+),结合A的范围，利用正弦函数的图象和性质即可求a+c的6取值范围.【解答】(本题满分为10分)解：二角 A, B, C成等差数列，可得：2B=A+C又A+B4C=3Bf,根据正弦定理可得：t二2，sinA sinB sinC-a=2sinA , c=2sinC ,兀 qJ qTT+c=2sinA-b2sinC=2sinA+2si.n(A+-) = 2fsirLA-cosA)=2V3sin(A.+-),又 ABC为锐角三角形，sin(A+-) 2* I1a+cE 2V5n项和为Sn,满足 s=4-an.18 .已知数列an的各项均是正数，其前 (1)求数列an的通项

28、公式；(2)设bn=?-lnA( n e N*),数列b nbn+2的前n项和为Tn,求证:-# - / 20【考点】数列的求和.【分析】(1)利用Sn+L Sn=an+1求出Hn的递推公式，进而判断该数列为等比数列，由此求(2)将(1)中的结论代入解.(nCN*),求出bn,进而求出bnbn+1,利用裂项求和法求出Tn,即可求证Tn的范围;【解答】解：(而 an+1=Sn+1 - S =1)由 Sn=4 an.得 Si=4 - a1,解得 a2, (4- an+1) (4- 3n) =an_ an+1 , 即 2an+1 =an,an+l 1an可见，数列an是首项为2,公比为的等比数歹U.

29、an="亍 1L 11(2)证明：也比_ I%”？-n) 7bnbn+2=n(n+2) 2，数列bnbn+2的前n项和啕(14+(K)+(1)+-)n- 1n+1 n n+215041995110003218能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?19.某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了 100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.(1)若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；(2)学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关

30、系，对年级名次在150名和9511000名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据, 年级名次 是否近视 近视 不近视-15 -/ 20(3)在(2)中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了 9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这 X的分布列和数学期望.附：9人中任取3人，记名次在150的学生人数为 X,求P (K2/0.100.05k)k2.7063.8410.0250.0100.0055.0246.6357.879【考点】离散型随机变量及其分布列；独立性检验；离散型随机变量的期望与方差.【分析】(1)设各组的频率为fi (i=1 , 2, 3, 4, 5,

31、6),由已知得后四组频数依次为27, 24, 21, 18,由此能求出估计全年级视力在5.0以下的人数.(2)求出K2,由此能求出在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.(出)依题意 9人中年级名次在 150名和9511000名分别有3人和6人，X可取0、1、2、3,分别求出相应在的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望.【解答】解：(1)设各组的频率为fi (i=1 , 2, 3, 4, 5, 6),由图可知，第一组有 3人，第二组7人，第三组27人，因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为 27, 24, 21, 18-所以视力在5.0以下的频率为： =0.

32、82 ,100故全年级视力在5.0以下的人数约为10。*奇尸820，一(2)4.1103. 841732 1OQX(41X14 32X9)2二 50X50X73X27因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.(出)依题意 9人中年级名次在 150名和9511000名分别有3人和6人，X可取0、1、2、3,X的分布列为:02084145842188484X的数学期望 曲)二QM 翁+LX 舞+2父普+$ 乂古二1 04£543420.如图四棱锥 PABCM, PAa平面 ABCD AD/ BC, AD)± CR 且 AD=CD=22, BC=4 , P

33、A=2,点M在线段PD上.(1)求证：AB± PC.(2)若二面角 M- AC- D的大小为45° ,求BM与平面PAC所成的角的正弦值.【考点】与二面角有关的立体几何综合题.【分析】（1）设E为BC的中点，连接 AE,证明AB± PC,只需证明ABL平面PAG只需证明 AB± AC, AB± PA（2）设A6 BD=O连接 OP，过点 M作MNLAD,过点N作NGLAC于G,连接 MG证明/ MGN 是二面角 M- AC- D的平面角，即/ MGN=45 , M为PD的中点，连接 PO交BM于H,连接 AH,证明/ BHA是BM与平面PAC所

34、成的角，即可求 BM与平面PAC所成的角的正弦值.【解答】（1）证明：设E为BC的中点，连接 AE,则AD=EC AD/ EC,四边形AECM平行四边形，AE± BC AE=BE=EC=2f2, / ABCh ACB=45 , AB± AC,. PA1平面 ABCD AB?平面 ABCD AB± PA . A6 PA=A .AB,平面 PAG AB± PC.（2）设A6 BD=O连接 OP，过点 M作MNLAD,过点N作NGLAC于G,连接 MG则MM PA,由PA!平面 ABCD可得 MNL平面 ABCD） MNL AC,. NGL AC, MNP N

35、G=N .Ad平面 MNG .Ad MG /MGN!二面角 M- AC- D 的平面角，即/ MGN=45设 MN=x 贝U NG=AG=x. AN=ND=x,可得M为PD的中点，连接 PO交BM于H,连接AH, 由（1） ABL平面 PAC / BHA是BM与平面PAC所成的角在ABW, AB=4, AM=；PD=/3, BM=3/3cos / ABM=9 / BHA/ ABMS余,二 BM与平面PAC所成的角的正弦值为.322y,以原点。为圆心，椭圆的短半轴长21.已知椭圆 C: 七 + -=1 (a>b>0)的离心率为 a b3为半径的圆与直线 x - y?”=0相切.(I)

36、求椭圆C的标准方程；h2(n)若直线l ： y=kx+m与椭圆C相交于A B两点,且koA?koE=-%，判断 AOB的面积是 a否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.【分析】(1)利用直线与圆相切的性质和点到直线的距离公式、椭圆的标准方程及其性质 即可得出；(2)设A (x1, yO , B (x2, y2),把直线的方程与椭圆的方程联立可化为关于x的次方程得到根与系数的关系、再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公 式即可得出.【解答】解：(1)二椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+/=0相切，又 a2=b2+c2解得a2=4,c 1二-a 2b2=3,-# -/ 20故椭圆的方程为(II )设 A (xi, yi),B(X2y2)化为(3+4k2) x2+8mkx+4 (宿-3) =0, =64