排列(3)解排列问题的常用技巧

1、2021年年11月月16日星期二日星期二解排列问题的常用技巧解排列问题的常用技巧 解排列问题，首先必须认真审题，明确问解排列问题，首先必须认真审题，明确问题是否是排列问题，其次是抓住问题的本质题是否是排列问题，其次是抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答，同时，还要注意讲究一些基本策略和方答，同时，还要注意讲究一些基本策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。 下面就不同的题型介绍几种常用的解题下面就不同的题型介绍几种常用的解题技巧。技巧。（一）相邻问题（一）相邻问题捆绑法捆绑法 对于某几个元素要求

2、相邻的排列问题，可先将相对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素邻的元素“捆绑捆绑”在一起，看作一个在一起，看作一个“大大”的元的元（组），与其它元素排列，然后再对相邻的元素（组）（组），与其它元素排列，然后再对相邻的元素（组）内部进行排列。内部进行排列。例例1 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，分别有多少种站法？分别有多少种站法？分析：先将甲，乙，丙三人捆绑在一起看作一个元素，分析：先将甲，乙，丙三人捆绑在一起看作一个元素，与其余与其余4人共有人共有5个元素做全排列，有个元素做全排列，有 种排法，然后种排法，然后对甲，乙，丙三人进行全

3、排列。对甲，乙，丙三人进行全排列。55A由分步计数原理可得：由分步计数原理可得： 种不同排法。种不同排法。5353A A（二）不相邻问题（二）不相邻问题插空法插空法 对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其它对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其它元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可。之间及两端的空隙之间插入即可。例例2 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分别有多少种站法？分别有多少种站法？分析：可先让其余分析：可先让其余4人站好，共有人站好，共有 种排法，再在

4、种排法，再在这这4人之间及两端的人之间及两端的5个个“空隙空隙”中选三个位置让甲、中选三个位置让甲、乙、丙插入，则有乙、丙插入，则有 种方法，这样共有种方法，这样共有 种不种不同的排法。同的排法。44A35A3544AA（1）三个男生，四个女生排成一排，男生、女）三个男生，四个女生排成一排，男生、女生各站一起，有几种不同方法？生各站一起，有几种不同方法？3三个男生，四个女生排成一排，三个男生，四个女生排成一排，男生之间、男生之间、女生之间不相邻，有几种不同排法？女生之间不相邻，有几种不同排法？捆绑法：捆绑法：443322AAA 4433AA 插空法：插空法：2如果有两个男生、四个女生排成一排，

5、要如果有两个男生、四个女生排成一排，要 求男求男生之间不相邻，有几种不同排法？生之间不相邻，有几种不同排法？2544AA 插空法：插空法：练练 习习 1 2：（三）特殊元素的（三）特殊元素的“优先安排法优先安排法” 对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其它元素。殊元素，再考虑其它元素。 例例2 用用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（的三位数，其中偶数共有（ ）A.24 B.30 C.40 D.60 分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数，分析：由于该三位数是偶数，

6、所以末尾数字必须是偶数， 又因为又因为0不能排首位，故不能排首位，故0就是其中的就是其中的“特殊特殊”元素，应优元素，应优先安排。按先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类；排在末尾和不排在末尾分为两类；1) 0排在末尾时，有排在末尾时，有 个；个；2) 0不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排十位有十位有 个；个；由分类计数原理，共有偶数由分类计数原理，共有偶数 30 个个.2A4111233A A AB （1）0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个无重这六个数字可组成多少个无重复数字的五位数？复数字的五位数？4515AA （2）0

7、，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数可组成多少个无重复数字的五位奇数？字的五位奇数？341413AAA 练练 习习 3例例6 有有4名男生，名男生，3名女生。名女生。3名女生名女生高矮互不等，高矮互不等，将将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？排列，有多少种排法？（四）顺序固定问题用（四）顺序固定问题用“除法除法” 对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数排列数除以

8、这几个元素的全排列数.所以共有所以共有 种。种。 473377AAA分析：先在分析：先在7个位置上作全排列，有个位置上作全排列，有 种排法。其中种排法。其中3个女生因要求个女生因要求“从矮到高从矮到高”排，只有一种顺序故排，只有一种顺序故 只只对应一种排法，对应一种排法，33A77A（1） 五人排队，甲在乙前面的排法有几种？五人排队，甲在乙前面的排法有几种？练练 习习 42三个男生，四个女生排成一排，其中三个男生，四个女生排成一排，其中甲、乙、丙甲、乙、丙三人的顺序不变，有几种不同排法？三人的顺序不变，有几种不同排法？473377AAA分析：若不考虑限制条件，则有分析：若不考虑限制条件，则有

9、种排法，而甲，种排法，而甲，乙之间排法有乙之间排法有 种，故甲在乙前面的排法只有一种种，故甲在乙前面的排法只有一种符合条件，故符合条件，故符合条件的排法有符合条件的排法有 种种.55A22A5522AA35A即（五）分排问题用（五）分排问题用“直排法直排法” 把把n个元素排成若干排的问题，若没有其他个元素排成若干排的问题，若没有其他的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理.例例7 七人坐两排座位，第一排坐七人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐人，第二排坐4人，则有多少种不同的坐法？人，则有多少种不同的坐法？ 分析：分析：7个人，可以在前后排随意就坐，

10、再无个人，可以在前后排随意就坐，再无其他限制条件，故两排可看作一排处理，所以其他限制条件，故两排可看作一排处理，所以不同的坐法有不同的坐法有 种种.77A（1）三个男生，四个女生排成两排，前排三人、）三个男生，四个女生排成两排，前排三人、后排四人，有几种不同排法？后排四人，有几种不同排法？或：七个人可以在前后两排随意就坐，再无其他或：七个人可以在前后两排随意就坐，再无其他条件，所以条件，所以两排可看作一排来处理两排可看作一排来处理不同的坐法有不同的坐法有 种种77A774437AAA （2）八个人排成两排，有几种不同排法？八个人排成两排，有几种不同排法？88A练练 习习 5 例例3 用用0，1

11、，2，3，4这五个数，组成没有重复这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中数字的三位数，其中1不在个位的数共有不在个位的数共有_种。种。（六）否定问题总体淘汰法（六）否定问题总体淘汰法(剔除法或间接法）剔除法或间接法） 对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的减去，此时应注意既符合要求的减去，此时应注意既不能多减又不能少减不能多减又不能少减。 分析分析：五个数组成三位数的全排列有五个数组成三位数的全排列有 个，个，0排在首位的排在首位的有有 个个 ，1排在末尾的有排在末尾的有 ，减掉这两种不合条件的排，减掉这两种不合条件的排法数，再加回百位

12、为法数，再加回百位为0同时个位为同时个位为1的排列数的排列数 （为什么？）（为什么？）故共有故共有 种。种。24A24A35A13A392132435AAA或或3913132414AAAA（1）三个男生，四个女生排成一排，甲不）三个男生，四个女生排成一排，甲不在最左，乙不在最右，有几种不同方法？在最左，乙不在最右，有几种不同方法？5566772AAA （2）五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，）五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第二个位置，那么不同的站法有（乙不站第二个位置，那么不同的站法有（ ） A.120 B.96 C.78 D.72782334455AAA间接41134333

13、78AA A A种直接练练 习习 6 （3）0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个无重复数字这六个数字可组成多少个无重复数字且个位数字不是且个位数字不是4的五位数？的五位数？个）(2344556AAA种）(1008) ! 4! 52! 6(2（4）用间接法解例）用间接法解例1“6个同学和个同学和2个老师排成一排个老师排成一排照相，照相， 2个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？站排尾，共有多少种不同的排法？”（七）实验法（画树行图）（七）实验法（画树行图） 题中附加条件增多，直接解决困难时，用实验逐题中附加条件增多，直接

14、解决困难时，用实验逐步寻求规律有时也是行之有效的方法。步寻求规律有时也是行之有效的方法。 例例8 将数字将数字1，2，3，4填入标号为填入标号为1，2，3，4的的四个方格内，每个方格填四个方格内，每个方格填1个，则每个方格的标号个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有（与所填的数字均不相同的填法种数有（ ）A.6 B.9 C.11 D.23分析：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法较为困难，分析：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法较为困难，可用实验法逐步解决。可用实验法逐步解决。第一方格内可填第一方格内可填2或或3或或4。如填。如填2，则第二方格中内可填，则第二方格中

15、内可填1或或3或或4。若第二方格内填若第二方格内填1，则第三方格只能填，则第三方格只能填4，第四方格应填，第四方格应填3。若第二方格内填若第二方格内填3，则第三方格只能填，则第三方格只能填4，第四方格应填，第四方格应填1。同理，若第二方格内填同理，若第二方格内填4，则第三方格只能填，则第三方格只能填1，第四方格应，第四方格应填填3。因而，第一格填。因而，第一格填2有有3种方法。种方法。不难得到，当第一格填不难得到，当第一格填3或或4时也各有时也各有3种，所以共有种，所以共有9种。种。（八）特征分析（八）特征分析 研究有约束条件的排数问题，须要紧扣题目所提研究有约束条件的排数问题，须要紧扣题目所

16、提供的数字特征，结构特征，进行推理，分析求解。供的数字特征，结构特征，进行推理，分析求解。 例例11 由由1，2，3，4，5，6六个数字可以组成多少六个数字可以组成多少个无重复且是个无重复且是6的倍数的五位数？的倍数的五位数？分析数字特征：分析数字特征：6的倍数既是的倍数既是2的倍数又是的倍数又是3的倍数。的倍数。其中其中3的倍数又满足的倍数又满足“各个数位上的数字之和是各个数位上的数字之和是3的的倍数倍数”的特征。把的特征。把6分成分成4组，（组，（1，2，3），（），（6），），（1，5），（），（2，4），每组的数字和都是），每组的数字和都是3的倍数。的倍数。因此可分成两类讨论；因此可分

17、成两类讨论；第一类：由第一类：由1，2，4，5，6作数码；首先从作数码；首先从2，4，6中任选一个作个位数字有中任选一个作个位数字有 ，然后其余四个，然后其余四个数在其他数位上全排列有数在其他数位上全排列有 ，所以，所以13A44A14341NA A第二类：由第二类：由1，2，3，4，5作数码。依上法有作数码。依上法有14242NA A12=+=120()N N故个N（1，2，3），（），（6），（），（1，5），（），（2，4）总的原则总的原则合理分类和准确分步合理分类和准确分步 解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，

18、做到分类标准分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。明确，分步层次清楚，不重不漏。解法解法1 分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：根据分步及分类计数原理，不同的站法共有根据分步及分类计数原理，不同的站法共有例例1 6个同学和个同学和2个老师排成一排照相，个老师排成一排照相， 2个个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？尾，共有多少种不同的排法？1）若甲在排尾上，则剩下的）若甲在排尾上，则剩下的5人可自由安排，有人可自由安排，有 种方法种方

19、法.55A2) 若甲在第若甲在第2、3、6、7位，则位，则排尾的排法有排尾的排法有 种，种，1位的排法位的排法有有 种种, 第第2、3、6、7位的排法有位的排法有 种种，根据分步计数，根据分步计数原理，不同的站法有原理，不同的站法有 种。种。14A14A44A441414AAA再安排老师，有再安排老师，有2种方法。种方法。.(1008)(244141455种）AAAA解法解法2 见练习见练习3（2）（1）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字可组成多少个无重复数字的五位偶数？的五位偶数？个位数为零：个位数为零：个位数为个位数为2或或4：45A341412AAA 34141245AAAA

20、所以所以练练 习习 1（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数可组成多少个无重复数字且能被五整除的五位数？字且能被五整除的五位数？分类：后两位数字为分类：后两位数字为5或或0：个位数为个位数为0：45A个位数为个位数为5：216341445 AAA3414AA （3）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数可组成多少个无重复数字且大于字且大于31250的五位数？的五位数？分类：分类：（4）31250是由是由0，1，2，3，4，5组成的无重复组成的无重复数字的五位数中从小到大第几个数？数字的五位数中从小到大第几个数？3251231234134512 AAAAAA2753254515 A

21、A27512212233445 AAAA方法一：（排除法）方法一：（排除法）方法二：（直接法方法二：（直接法）（1）三个男生，四个女生排成一排，甲不能）三个男生，四个女生排成一排，甲不能在中间，也不在两头，有几种不同方法？在中间，也不在两头，有几种不同方法？（2）三个男生，四个女生排成一排，三个男生，四个女生排成一排，甲只能甲只能在中间或两头，有几种不同排法？在中间或两头，有几种不同排法？6614AA 6613AA 找位置：找位置：找位置：找位置：练练 习习 7例例1 1：7 7名师生站成一排表演节目，其中老师名师生站成一排表演节目，其中老师1 1人，男生人，男生4 4人，女生人，女生2 2人

22、，在下列情况下，各人，在下列情况下，各有多少种不同的方法？有多少种不同的方法？：两名女生必须相邻而站；：两名女生必须相邻而站；：4 4名男生互不相邻；名男生互不相邻；：若：若4 4名男生身高都不等，按从高到低一种名男生身高都不等，按从高到低一种顺序站；顺序站；：老师不站中间，女生不站两端。：老师不站中间，女生不站两端。6622AA 4433AA 44772AA441424551412AAAAAA例例2 2：七名同学站队，其中：七名同学站队，其中4 4名男生，名男生，3 3名女生。名女生。：若甲乙两位同学必须排在两端；：若甲乙两位同学必须排在两端；：若甲乙不得排在两端；：若甲乙不得排在两端；：若

23、男生必须相邻；：若男生必须相邻；：若：若3 3名女生互不相邻；名女生互不相邻；：若：若4 4名男生互不相邻；名男生互不相邻；：若甲乙两名女生相邻且不与第三名女生：若甲乙两名女生相邻且不与第三名女生相邻。相邻。5522AA 5525AA 4444AA 3344AA 3344AA 254422AAA例例3 3：用数字：用数字0 0、1 1、2 2、3 3、4 4、5 5组成无重复数组成无重复数字的数，依下列条件能组成多少个？字的数，依下列条件能组成多少个？：六位偶数；：六位偶数； ：六位奇数；：六位奇数；：被：被3 3整除的五位数；整除的五位数；：被：被5 5整除的六位整除的六位数；数； ：被：被

24、6 6整除的五位数；整除的五位数；：比：比102345102345大的自然数；大的自然数； ：若把所有的六位数组成的六位数按从小：若把所有的六位数组成的六位数按从小到大的顺序排列，则到大的顺序排列，则321045321045是第几个数字？是第几个数字？ ：求由：求由1 1、2 2、3 3、4 4、5 5构成的所有五位数构成的所有五位数之和；之和；例例1: 5个人站成一排个人站成一排.（l）共有多少种不同的排法？）共有多少种不同的排法？（2）其中甲必须站在中间有多少种不同排法？）其中甲必须站在中间有多少种不同排法？（3）其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？）其中甲、乙两人必须相邻有多少种不

25、同的排法？（4）其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？）其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？解：（解：（1）由于没有条件限制，）由于没有条件限制，5个人可作全排列，有个人可作全排列，有（2）由于甲的位置已确定，其余）由于甲的位置已确定，其余4人可任意排列，有人可任意排列，有55A44A（3）因为甲、乙两人必须相邻，可视甲、乙在一起为一个元）因为甲、乙两人必须相邻，可视甲、乙在一起为一个元素与其他素与其他3人排列有人排列有 44A而甲、乙又有而甲、乙又有 22A根据分步计数原理共有根据分步计数原理共有 4242A A48（捆绑法）（捆绑法）（4）甲、乙两人外的其余）甲、乙两人外的其余3人先

26、排有人先排有 33A要使甲、乙不相邻只有排在他们的空档位置，有要使甲、乙不相邻只有排在他们的空档位置，有 24A所以共有所以共有 种排法种排法3234A A72或用（或用（1）（）（3）（间接法）（间接法）（插空法）（插空法）【演练反馈【演练反馈】1某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、体育、某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、体育、音乐六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一音乐六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？共有多少种不同的排法？6546542504AAA51145444504AA A A4名男生和名男生和3名女生站成一排名女生站成一排（2）甲、乙必须站在两端有多少种站法。）甲、乙必须站在两端有多少种站法。（1）一共有多少种站法）一共有多少种站法（3）甲、乙不能站在两端有多少种站法。）甲、乙不能站在两端有多少种站法。（4）甲不站排头和排尾有多少种站法）甲不站排头和排尾有多少种站法。（5）甲只能站排头或排尾有多少种站法