河南省南阳市-高一上学期期末数学试卷Word版含解析

1、河南省南阳市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷选择题：（每小题5分，共60分）.1.（5分）已知A, B均为集合U=1 , 3, 5, 7,9的子集，且 AAB=3 , A A （?UB） =9,贝U A=（）A. 1, 3B. 3, 7, 9C. 3, 5, 9D. 3, 9D. 150°2. （5分）直线x+如y-3=0的倾斜角为（）A . 30°B. 60°C. 120°3. （5分）一个用斜二侧画法画出的三角形是斜边为&a的等腰直角三角形，则原三角形的面积是（）一 a2-a2B. aC. V2a2D. 2/2 a24. （5分）

2、若直线 ax+2y+a - 1=0与直线2x+3y-4=0垂直，则a的值为（）44A . 3B. -3C.-D.-336. （5分）某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为 正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）B,飞C.D. 47. （5 分）已知 21g （x 2y） =lgx+lgy ,则工的值为（） yA. 1B. 4C.48. （5分）圆心角为135。，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A,则A: B等于（）A. 11: 8B. 3: 8C. 8: 3D. 13: 89. （5 分）直线 l: y=x 与圆 x2+y2 2x

3、6y=0 相交于 A, B 两点，则 |AB|二（）A. 2V2B. 4C. 4瓶D. 810. (5分)如图，圆锥 SO中，AB、CD为底面圆的两条直径，ABACD=0,且AB ± CD , SO=OB=2 ,为SB的中点.异面直线 SA与PD所成角的正切值为()11. （5分）已知x,A . 3y满足（x-1） 2+y2=16,则x?+y2的最小值为（）D. 25D. 0Vx1x2 v 1B. 5C. 912. （5分）设方程10x=|lg （-x） |的两根分别为x1、x2,则（）A . x1x2< 0B . xx2 = 1C . xx2>1二.填空题(每小题 5分

4、，共20分)13. (5分)点(2, 3, 4)关于x轴的对称点的坐标为.14. (5分)方程x2+y2 - x+y+m=0表示一个圆，则 m的取值范围是.15. (5分)已知矩形ABCD的顶点都在半径为 4的球。的球面上，且AB=6 , BC=2j5,则棱锥O - ABCD 的体积为.16. (5分)如果一个函数f (x)在其定义区间内对任意实数 x, y都满足f (耳) 称这个函数是下凸函数， 下列函数：f(x) =2x;f(x) =x3;f(x) =log2x (x>0); 中，是下凸函数的有.三.解答题(本大题共 6小题，共70分)17. (10 分)已知 4ABC 的三个顶点

5、A (4, 0), B (8, 10), C (0, 6).(I )求过A点且平行于BC的直线方程；(n)求过B点且与点A, C距离相等的直线方程.18. (12 分)已知函数 f (x) =ex+ae x,(1)试讨论函数f (x)的奇偶性；+8)上单调递增，求实数 a的取值范围，并说明理由.(2)若函数f (x)在(119. (12分)如图，长方体 ABCD - A1B1C1D1中，E为线段BC的中点，AB=1 , AD=2 , AA 1=、注.(I)证明：DE，平面A1AE；(n)求点A到平面A1ED的距离.20. (12分)已知函数g ( x) =ax2 - 4ax+b (a>0

6、)在区间上有最大值 1和最小值-2.设f (x) =5-(I)求a, b的值；(n)若不等式f(2x)-k?2x可在xC上有解，求实数k的取值范围.21. (12分)如图，在四棱锥 P- ABCD中，底面ABCD (I )求证：AD，平面PQB;(n)点M在线段PC上，PM=tPC,试确定t的值,为菱形，/BAD=60 °,Q 为 AD 的中点，PA=PD=AD=2 .使PA /平面MQB .22. (12分)已知圆 C过点M (0, - 2), N (3, 1),且圆心 C在直线x+2y+1=0上.(I )求圆C的方程；(n)问是否存在满足以下两个条件的直线l: 斜率为1; 直线被

7、圆C截得的弦为AB,以AB为直径的圆Ci过原点.若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，说明理由.河南省南阳市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：(每小题5分，共60分)1. (5 分)已知 A, B 均为集合 U=1 , 3, 5, 7, 9的子集，且 AAB=3 , A n (?UB) =9,则 A=()A. 1, 3B. 3, 7, 9C. 3, 5, 9D. 3, 9考点：交、并、补集的混合运算.专题：集合.分析： 由A与B的交集，以及A与B补集的交集，得到 3与9属于A ,确定出A即可.解答： 解：: A, B 均为集合 U=1 , 3, 5,

8、 7, 9的子集，且 AAB=3 , AA （?uB） =9, A=3 , 9.故选：D.点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键.2. （5分）直线x+我y 3=0的倾斜角为（）D. 150°A . 30°B. 60°C. 120°考点：直线的倾斜角.专题：直线与圆.分析：将直线方程化为斜截式，求出斜率再求倾斜角.解答:解：将已知直线化为 y=-所以直线的斜率为-吏,3所以直线的倾斜角为150。,点评：本题考察直线的倾斜角， 属基础题，涉及到直线的斜率和倾斜角问题时注意特殊角对应的斜率值,不要混淆.3. （5分）一个用斜

9、二侧画法画出的三角形是斜边为Ma的等腰直角三角形，则原三角形的面积是（）A 寺 B a2C "2反考点： 斜二测法画直观图.专题： 计算题；空间位置关系与距离.分析： 根据斜二测画法的规则，分别判断原三角形对应的边长关系，即可求出三角形的面积.解答： 解：二.三角形的直观图是斜边为血a的等腰直角三角形，根据斜二测画法师则可知，原三角形为直角三角形，且直角边分别为二a, 2a,原三角形的面积为-x/2a>2a=V2a2,故选：C.点评： 本题主要考查斜二测画法的应用，熟练掌握斜二测画法的基本原则.4. （5分）若直线 ax+2y+a - 1=0与直线2x+3y-4=0垂直，则a的

10、值为（）“ cc c 4C _ 4A . 3B.-3C. -D.考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系.专题：直线与圆.分析：利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出.解答： 解：二直线 ax+2y+a 1=0与直线2x+3y 4=0垂直，一且X （2）=1,解得a=-3.23故选：B.点评： 本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，属于基础题.5. （5分）下列图象中表示函数图象的是（）考点： 函数的图象；函数的概念及其构成要素.专题：作图题.分析：根据函数的定义，对任意的一个 x都存在口t一的y与之对应可求解答：解：根据函数的定义，对任意的一个x都存在唯一的y与之对应而A、B、D都是一对多

11、，只有 C是多对一.故选C点评：本题主要考查了函数定义与函数对应的应用，要注意构成函数的要素之一：必须形成一一对应或多对一，但是不能多对一，属于基础试题6. （5分）某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为 正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）C. 6D. 4考点：由三视图求面积、体积.专题：计算题.分析：根据三视图，还原成几何体，再根据长度关系，即可求得几何体的体积解答： 解：由三视图知，原几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥其中正方体的棱为 2,正四棱柱的底面边长为正方体的上底面，高为 1，原几何体的体积为，-. ' ,' -

12、 ： /故选A点评：本题考查三视图，要求能把三视图还原成原几何体，有比较好的空间想象力，能根据三视图找到原几何体中的垂直平行关系和长度关系.属简单题7. (5 分)已知 21g (x-2y) =lgx+lgy ,则工的值为() yD.工或44A. 1B. 4C. 14考点：对数的运算性质.分析：根据对数的运算法则，21g (x-2y) =1g (x-2y) 2=1g (xy),可知：x2+4y2 - 4xy=xy ,即可得答解答： 解： 21g (x-2y) =1g (x-2y) 2=1g (xy),x2+4y2- 4xy=xy-1 (x-y) (x-4y) =01- x=y (舍)或 x=4

13、y1. 1 =4y故选B.点评：本题主要考查对数的运算性质.A,则A: B等于（）8. （5分）圆心角为135。，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为B. 3: 8C. 8: 3D. 13: 8考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）.专题：空间位置关系与距离.分析：设扇形半径为1, 1为扇形弧长，也为圆锥底面周长，由扇形面积公式求得侧面积，再利用展开图的弧长为底面的周长，求得底面半径，进而求底面面积，从而求得表面积，最后两个结果取比即可.解答： 解：设扇形半径为1,则扇形弧长为 3344设围成圆锥的底面半径为r,则2兀二空，4. r= r=8扇形的面积 B= - >1 出=,248圆

14、锥的表面积A=B+ #=主匕+亚二理工86464A : B=11 : 8故选：A.点评：本题主要考查圆锥的侧面积和表面积的求法，同时，还考查了平面与空间图形的转化能力，属基 础题.9. （5 分）直线 1: y=x 与圆 x2+y2 2x 6y=0 相交于 A, B 两点，则 |AB|=（）A . 2及B. 4C. 4&D, 8考点：直线与圆相交的性质.专题：直线与圆.分析：根据直线和圆相交的弦长公式进行求解即可.解答： 解：圆的标准方程为（x- 1） 2+ （y-3） 2=10,圆心坐标为（1, 3）,半径R=V10，则圆心到直线x- y=0的距离dl二 一="5, V2

15、V2"V则1AB尸 2"r2 - *=230 - 2 二2五=4.，故选：C.点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据直线和圆相交的弦长公式是解决本题的关键.AB nCD=0 ,且 AB ± CD , SO=OB=2 , P10. （5分）如图，圆锥 SO中，AB、CD为底面圆的两条直径, 为SB的中点.异面直线 SA与PD所成角的正切值为（）D, 272.考点：异面直线及其所成的角.专题：空间角.分析： 连结PO,则PO/SA,从而/ DPO为异面直线SA与PD所成角，由此能求出异面直线 SA与PD 所成角的正切值.解答：解：连结PO,P、O分别为SB、

16、AB的中点，PO/ SA, / DPO为异面直线SA与PD所成角，CD± AB , CDXSO, AB ASO=O,CD，平面 SOB, ODXPO,在 RtDOP 中，OD=2, OP=-SB=V2,2.tan / DPO= = &,OP V2，异面直线SA与PD所成角的正切值为 血.故选：B.D点评：本题考查异面直线 SA与PD所成角的正切值的求法，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养.11. 5分）已知x, y满足（x 1 2+y2=16,则x2+y2的最小值为（）A. 3B. 5C. 9D. 25考点：圆的标准方程.专题：直线与圆.分析：由圆的方程可得其参数方程，

17、从而可表示X2+y2,即可求得最小值.解答： 解：.（ X- 1） 2+y2=16,. .可令 x=1+4cos a, y=4sin a,x2+y2= （1+4cosa） 2+ （ 4sin a） 2=17+8cos a,.cos a= - 1时，x2+y2的最小值为 9.故选C.点评：本题考查圆的方程，考查圆的参数方程，考查学生的计算能力，属于基础题.12. (5分)设方程10x=|lg (-x) |的两根分别为x1、x2,则()A . x1x2< 0B . x1x2=1C . x1x2>1D. 0vx1x2<1考点：指数函数与对数函数的关系.专题：函数的性质及应用.分析：

18、作出函数对应的图象，判断两个根的取值的大体范围，然后利用对数的运算法则和指数函数的性质进行判断大小即可.0)解答：解：作出函数y=10x, y=|lg （-x） |的图象，由图象可知，两个根一个小于-1, 一个在（-1,之间，不妨设 x1V - 1 , - 1Vx2<0,则 10 Xl = lg （ - x1）, 10 叼= |lg ( x2)|=- lg ( x2).两式相减得：lg ( x1) ( lg ( x2)=lg ( x1)+lg ( x2)=lg (x1x2)=10 *1 10 叼 V0,即 0v xix2V 1.故选：D.点评：本题主要考查方程根的取值范围的判断，利用数形

19、结合以及对数的运算法则和指数函数的性质是解决本题的关键，综合性较强.填空题（每小题 5分，共20分）13. (5分)点(2, 3, 4)关于x轴的对称点的坐标为(2, - 3, - 4).考点：空间中的点的坐标.专题：空间位置关系与距离.分析： 利用点(x, y, z )关于x轴的对称点是(x, - y, - z)即可得出.解答： 解：点(2, 3, 4)关于x轴的对称点的坐标为(2, - 3, - 4).故答案为：(2, - 3, - 4).点评：本题考查了关于 x轴的对称点的特点，属于基础题.14. (5分)方程x2+y2 - x+y+m=0表示一个圆，则 m的取值范围是(-A).T考点：

20、二元二次方程表示圆的条件.专题：直线与圆.分析：根据圆的一般方程即可得到结论.解答： 解：若方程x2+y2- x+y+m=0表示一个圆，则满足1+1 - 4m >0,即m v工2故答案为：2点评：本题主要考查圆的一般方程的应用，比较基础.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件是 D2+E24F>0.15. (5分)已知矩形ABCD的顶点都在半径为 4的球。的球面上，且AB=6 , BC=2V3,则棱锥O - ABCD 的体积为8不.考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积.专题： 计算题；压轴题.分析：由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥

21、的高，即可求出棱锥的体积.解答： 解：矩形的对角线的长为：7区百尸二4相，所以球心到矩形的距离为：所以棱锥O-ABCD的体积为:故答案为：8二<><6然2伤乂2=8正点评：本题是基础题，考查球内几何体的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型.x+y f (x) +f (y)工，K<0算 )016. (5分)如果一个函数f (x)在其定义区间内对任意实数x, y都满足f (号)<,则 称这个函数是下凸函数， 下列函数：f(x) =2x;f(x) =x3;f(x) =log2x (x>0);中，是下凸函数的有 考点： 函数的图象；函数的值.专题：函数的

22、性质及应用.分析： 根据函数f (x)在其定义区间内对任意实数x, y都满足f (史2)*,可得f(x)22用，再对四个函数分别求导，即可得到结论.解答： 解：函数f (x)在其定义区间内对任意实数 x, y都满足f (兰力 /3 +f,可得f(x) 22我(1) f (x) =2x,贝U f' (x) =2x?in2,，f(x) =2x?ln22>0, 函数是下凸函数；(2) f(x)=x3,贝Uf'(x)=3x2,. f"(x) =6x,函数不是下凸函数；(3)f(x)=log2x,贝U f' (x) =,. f" (x) = -<0

23、,函数不是下凸函数；(4) x<0 时，f' (x) =1,，f"(x) =0; x用时，f' (x) =2,，f" (x) =0,函数是下凸函数故答案为.点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.三.解答题(本大题共 6小题，共70分)17. (10 分)已知 4ABC 的三个顶点 A (4, 0), B (8, 10), C (0, 6).(I )求过A点且平行于BC的直线方程；(n)求过B点且与点A, C距离相等的直线方程.考点：点到直线的距离公式；直线的一般式方程与直线的平行关系.专题： 计算题；直线与圆.分析： (I )利

24、用斜率公式可求得直线BC的斜率，利用点斜式即可求得过A点且平行于BC的直线方程；(n)依题意，满足过 B点且与点A, C距离相等的直线有两条，设 AC直线的中点D, BD是一条，过B (8, 10)且与AC平行的直线l是另一条，利用点斜式分别求之即可.解答： 解：(I) B (8, 10), C (0, 6),直线 BC 的斜率 kBc=W"=1,又 A (4, 0), 0 - 8 2，过A点且平行于BC的直线方程为y- 0=- (x-4),2整理得：x - 2y - 4=0.6 - Q ?(n) AC直线的中点 D (2, 3),直线AC的斜率kAc=-一卷,0-42直线BD即为与

25、点A, C距离相等的直线，3-10 7- kBD=一2-8 6'7x 6y+4=0 ;直线BD的方程为：y-3=(x-2),整理得:6又过B (8, 10)且与AC平行的直线l也满足与点A, C距离相等, kAC=-,3由点斜式得l的方程为：y - 10=（x- 8）,即3x+2y - 44=0 .ii-d过B点且与点A , C距离相等的直线方程为：7x - 6y+4=0与3x+2y - 44=0.点评：本题考查直线的点斜式，考查平行关系的应用，考查分类讨论思想与逻辑思维能力，属于中档题.18. (12 分)已知函数 f (x) =ex+ae x,(1)试讨论函数f (x)的奇偶性；(

26、2)若函数f (x)在(1, +8)上单调递增，求实数 a的取值范围，并说明理由.考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明.专题：函数的性质及应用.分析： (1)利用函数奇偶性的定义即可判断函数 f (x)的奇偶性；(2)利用函数单调性的定义进行证明即可.解答： 解：(1)当 a=1 时，f (x) =ex+e x, f (-x) =ex+e x=f (x),f (x)是偶函数;当 a= - 1 时，f (x) =ex- e x, f ( x) =e x-e x= f (x),，f (x)是奇函数；当a力且aw- 1,函数f (x) =ex+aex是非奇非偶函数.(2)用定义法说明：对任

27、意的x1 , x2>1,且x1x2,则. ./ I 一士10<巳 屋】，对任意的x1，x2>1恒成立，_2a至.点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，要求熟练掌握函数奇偶性和单调性的定义.19. (12 分)如图，长方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E 为线段 BC 的中点，AB=1 , AD=2 , AA 1=72 .(I)证明：DEL平面A1AE；(n)求点A到平面A1ED的距离.B考点： 点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定.专题：计算题；解题方法；空间位置关系与距离.分析： (I)欲证 DEL平面AAE,根据线面垂直的判定定理可知只需证AEXDE

28、, A1AXDE,即可；(II)利用第一问的结果，推出平面AA1E,平面A1ED,作出垂线，求解即可.解答： 证明：(I)长方体 ABCD - A1B1C1D1中，E为线段BC的中点，AB=1, AD=2, A/=加，在 AED 中，AE=DE=Mj, AD=2 , AEXDE .A1AL平面 ABCD , A1AXDE, DEL平面 A1AE .(n)由 DE,平面 A1AE, 平面 AA1EL平面 A1ED过A作AM ±AiE,交A1E于M ,由平面与平面垂直的性质定理可知，AM，平面A1ED,AM就是A到平面AiED的距离，在 AAAiE中，您=国 久卜广如，AELAAl,AM

29、=1 .点A到平面AiED的距离为：1.点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.20. (12分)已知函数 g (x) =ax2-4ax+b (a>0)在区间上有最大值 1和最小值-2.设f (x)吏 x(I)求a, b的值；(n)若不等式f(2x)-k?2x可在xC上有解，求实数k的取值范围.考点：二次函数的性质；其他不等式的解法.专题：函数的性质及应用.分析： (I)根据函数的单调性得到方程组从而求出a, b的值；(n)将问题转化为 kW+ (1)4? (-),令 t=,贝U 1+ (1-)4? ( ) =t2 4

30、t+1 ,令2K2X 2X2K2Z(t) =t2-4t+1, te,从而得到答案.解答： 解：(I)由题知 g (x) =a (x-2) 2-4a+b,. a>0, .g (x)在上是减函数，K-1 ,解得41；g (1) =-2 (b=l(n)由于 f (2x) - k?2x用，则有 2x+1-4-k?2x用，2Z之i整理得k«+ (上)-4?(),2K2X121令 t=,贝U 1+ () 4? () =t2 4t+1 ,2X 2K2k,. x, . . te,令 h (t) =t2- 4t+1 , te,则 h (t) J k<h (t)有解，k司故符合条件的实数 k

31、的取值范围为(-1.点评：本题考查了二次函数的性质，考查了转化思想，考查了求函数的最值问题，是一道中档题.21. (12分)如图，在四棱锥 P- ABCD中，底面ABCD 为菱形，/ BAD=60 °,Q为AD的中点，PA=PD=AD=2，.(I )求证：AD，平面PQB;(n)点 M在线段PC上，PM=tPC,试确定t的值，使PA/平面MQB .考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质.专题：综合题；空间位置关系与距离.分析： (I)利用线面垂直的判定证明，关键是证明AD ± BQ , AD XPQ;(n )当十一时，PA /平面 MQB .连接AC交BQ于N,连

32、接 MN ,证明 MN / PA, 1-3解答： (I)证明：连接 BD.因为四边形 ABCD为菱形，/ BAD=60 °,所以4ABD为正三角形.又Q为AD中点，所以ADXBQ.因为PA=PD, Q为AD的中点，所以 ADXPQ.又BQ nPQ=Q,所以AD，平面PQB.(II)解：当 十J时，PA/平面MQB .下面证明：连接AC交BQ于N,连接MN .因为AQ / BC ,所以理要NCFCU因为PA/平面 MQB , PA?平面PAC,平面 MQB n平面PAC=MN ,所以 MN / PA.即可得到结论.所以PMAN L.所以 PH=1PC，即因为ph|pc,所以罂耳. 3山£所以