中考复习之正比例函数与反比例函数

1、中考复习之正比例函数与反比例函数知识考点：1、掌握正、反比例函数的概念；2、掌握正、反比例函数的图象的性质；3、会用待定系数法求正、反比例函数的解析式。精典例题：【例 1】填空：1 、若正比例函数y (m 1)x m25 m 13 的图象经过二、四象限，则这个正比例函数的解析式是。2、已知点 P（ 1， a ）在反比例函数yk （ k 0）的图像上， 其中 a m22m 3（ m 为实数），则这个函数的图像在第x象限。3、如图，正比例函数 y kx （ k0）与反比例函数3y的图像交于 A 、 C 两点，xAB x 轴于 B， CD x 轴于 D ，则 S四边形 ABCD 。yyCAADOBC

2、xPBODx例 1 图例 2 图答案： 1、 y3x ； 2、一、三； 3、 6；4、（ 2， 4）【例 2】如图，直线 yxb （ b 0）与双曲线 yk（ k 0）在第一象限的一x支相交于 A 、 B 两点，与坐标轴交于C、D 两点， P 是双曲线上一点，且 PO PD 。（ 1）试用 k 、 b 表示 C、 P 两点的坐标；（ 2）若 POD 的面积等于 1，试求双曲线在第一象限的一支的函数解析式；（ 3）若 OAB 的面积等于 4 3 ，试求 COA 与 BOD 的面积之和。解析：（ 1）C（ 0， b ）， D（ b ， 0） PO PD xPb P（2（ 2） S POD1 yxO

3、Db2k22， yPb， 2k ）b1 ，有 1 b 2k1 ，化简得： k 12 b（ x 0）（ 3）设 A （ x1， y1 ）， B（ x2， y2），由 S COAS BODS CODS AOB 得：111212， 又得()283， 即bxby2b4 3y2x2bbx1b x2b b22yxbb( x2x1 ) 83 得 b 2( x1x2 ) 24x1 x2192 ，再由y1得 x2bx10 ，x从而 x1x2b ， x1 x21，从而推出 (b4)(b4)(b 212)0 ，所以 b4。故SCOAS BOD8 43评注：利用面积建立方程求解析式中的字母参数是常用方法。求两函数图像

4、的交点坐标，即解由它们的解析式组成的方程组。探索与创新：【问题】如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x 轴、 y 轴分别交于点 A 和点 B，且 OA OB 1。这条曲线是函数 y1的图像在第一象限的一个分2x支，点 P 是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a 、 b ），由点 P 向 x 轴、 y 轴所作的垂线 PM、 PN，垂足是 M 、 N，直线 AB 分别交 PM 、 PN 于点（ 1）分别求出点 E、F 的坐标（用 a 的代数式表示点E 的坐标，用 b 的代数式表示点 F 的坐标，只须写出结果，不要求写出计算过程） ；（ 2）求 OEF 的面积（结果用含 a 、 b

5、的代数式表示）；（ 3） AOF 与 BOE 是否一定相似，请予以证明。E、 F。yBFP(a， b)NE如果不一定相似或一定不相似，简要说明理由。1OM Ax（ 4）当点 P 在曲线 y上移动时， OEF 随之变问题图2x动，指出在 OEF 的三个内角中， 大小始终保持不变的那个角的大小，并证明你的结论。解析：（ 1）点 E（ a ， 1a ），点 F（1 b ， b ）（2） S EOFS矩形 MONPS EMOS FNOS EPF ab1 a(1a)1 b(1 b)1 (a2221 ( a b 1)2（ 3） AOF 与 BOE 一定相似，下面给出证明 OAOB1 FAO EBOBE a

6、2(11a) 22ayAF (11b) 2b22bB点 （a，b ）是曲线y1NP上一点2x 2ab1，即 AF ·BEOB·OA 1 AFOAOOBBE AOF BOEb1) 2F P(a， b)EMAx问题图（ 4）当点 P 在曲线 y1 上移动时， OEF 中 EOF 一定等于 450，由（ 3）2x知， AFO BOE ，于是由 AFO B BOF 及 BOE BOF EOF EOF B 450评注：此题第（3）（ 4）问均为探索性问题，（ 4）以（ 3）为基础，在肯定（3）的结论后，（ 4）的解决就不难了。在证明三角形相似时，EBO OAF 是较明显的，关键是证明

7、两夹边对应成比例，这里用到了点P（ a ， b ）在双曲线 y1上这一重要条件，挖2x掘形的特征，并把形的因素转化为相应的代数式形式是解本题的关键。跟踪训练：一、选择题：1、下列命题中：函数 y3x （ 2 x 5）的图像是一条直线；若 y 与3z 成反比例， z 与 x 成正比例，则 y 与 x 成反比例；如果一条双曲线经过点（a ， b ），那么它一定同时经过点（b ， a ）；如果 P1（ x1 ， y1 ），P2（ x2， y2 ），是双曲线 y4同一分支上的两点，那么当xx1 x2 时， y1 y2 。正确的个数有（）A、1个B、2 个C、3 个D、4 个2、已知 M 是反比例函数y

8、k轴于 A，若 S4，（ k ）图像上一点， MA xAOMx0则这个反比例函数的解析式是（）A 、 y8B 、 y8xxC、 y88D 、 y44或 yx或 yxxx3、在同一坐标系中函数ykx 和 yk 1 的大致图像必是（）xyyyyxxxxABCD1m 2的图像上有三点（ x1 ， y1 ），（ x2 ， y2），（ x3 ， y3 ）若 x14、在反比例函数 yx x2 0 x3 ，则下列各式正确的是（）A 、 y3 y1 y2B 、 y3 y2 y1C、 y1 y2 y3D 、 y1 y3 y25、在同一坐标系内， 两个反比例函数k1yk 3y的图像与反比例函数的图像（ kxx为常

9、数）具有以下对称性：既关于x 轴，又关于 y 轴成轴对称，那么k 的值是（）A 、 3B 、 2C、 1D 、 0二、填空题：1、若反比例函数 y( m25) xm2 m 7在每一个象限内， y 随 x 的增大而增大，则m。2、A 、B 两点关于 y 轴对称， A 在双曲线 y1x 上，则 A 点上，点 B 在直线 yx坐标是。3、已知双曲线 yk 上有一点 A（ m ， n ），且 m 、 n 是方程 t 24t20 的两根，则 k x，点 A 到原点的距离是。y4、已知直线 y(m2n) x 与双曲线 y3nm 相交于点 （ 1 ，2），那么它们的另一个交点为x2A。5、如图， Rt AO

10、B 的顶点 A 是一次函数yx m3 的图像BOx与反比例函数 ym 的图像在第二象限的交点，且S ABO1，则 A选择第 5 题图x点坐标是。三、解答题：1、如图，直线 l 交 x 轴、 y 轴于点 A 、 B ，与反比例函数的图像交于C、 D 两点，如果 A（ 2，0），点 C、D 分别在一、三象限，且OA OB AC BD ，求反比例函数的解析式。yyyANBPCMOAxBD第 1题图OxEDBQOCa A x第 3题图第 4题图2、已知 yy1y2 ， y1 与 x2 成正比例，y2 与 x1 成反比例，当x 1 时， y 3；当 x 2 时， y 3，（ 1）求 y 与 x 之间的函

11、数关系式；（ 2）当 x2 时，求 y 的值。83、如图，反比例函数y 与一次函数 y x 2的图像交于 A、 B 两点。 x（ 1）求 A 、 B 两点的坐标；（ 2）求 AOB 的面积。34、如图，已知双曲线y（ x 0）与经过点A（ 1， 0），B（ 0，1）的直线交于16xP、Q 两点，连结OP、OQ。（ 1）求证： OAQ OBP；（ 2）若 C 是 OA 上不与 O、A 重合的任意一点，CA a (0a1) ，CD AB 于 D ，DE OB 于 E。 a 为何值时， CEAC ？线段 OA 上是否存在点 C，使 CE AB ？若存在这样的点，则请写出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由。参考答案一、