2020年中考数学二轮冲刺核心重点第07讲 角的存在性-2020年中考数学《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》(全国通用)解析版（免费下载）

1、硬核：狙击2020中考数学重点/难点/热点一、相似三角形的性质 1. 两个三角形相似，对应角相等；2. 两个三角形相似，对应边成比例； 2. 两个三角形相似，对应线之比（高线、角平分线、中线）等于相似比； 3. 两个三角形相似，周长比等于相似比； 4. 两个三角形相似，面积比等于相似比的平方.二、一线三等角 1. 如图1，若ACB=D=E=90°，若AC=BC，即ACB为等腰直角三角形，则有ACDCBE； 2. 如图2，若ACB=D=E=90°，此为一线三直角，也称“K字型”，则有ACDCBE； 3. 如图3，若ACB=D=E，此为一般的一线三等角，则有ACDCBE. 图1

2、 图2 图3一、构造一线三等角 1. 当出现特殊角度45°时，联想到直角三角形，联想到一线三垂直，如图4有ACDCBE；图4 2. 当出现特殊角度30°时，联想到直角三角形，联想到一线三垂直，如图5有ACDCBE；图5 3. 当出现时，联想到直角三角形，联想到一线三垂直，如图6有ACDCBE；二、构造子母型相似 BACBEA BA2=BC·BE则 BD2+AD2=BC·BE 三、整体旋转法如图，已知点，将点A绕原点O顺时针旋转45°角，求其对应点A的坐标. 解题： 【例题1】如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y（x0）同时经过点B，且点

3、A在点B的左侧，点A的横坐标为，AOBOBA45°，则k的值为【解析】过A作AMy轴于M，过B作BDx轴于D，直线BD与AM交于点N，如图所示：则ODMN，DNOM，AMOBNA90°，AOM+OAM90°，AOBOBA45°，OABA，OAB90°，OAM+BAN90°，AOMBAN，在AOM和BAN中，AOMBAN（AAS），AMBN，OMAN，OD+，BD，B（+，），双曲线y（x0）同时经过点A和B，（+）（）k，整理得：k22k40，解得：k1±（负值舍去），k1+；故答案为：1+【例题2】（2018武汉模拟）如图

4、，在矩形ABCD中，AB6，AD12，E为边AB上一点，AE2，P、Q分别为边AD、BC上的两点，且PEQ45°，若EPQ为等腰三角形，则AP的长为【解析】（1）如图1，当PEPQ时，作QFAD，则四边形ABQF是矩形，可得QFAB6APFQEPQ90°，APE+QPF90°，APE+AEP90°，AEPQPF，PEPQ，AEPFPQ（AAS），APFQ6；（2）如图2，当QEQP时，作PFBC，则四边形ABFP是矩形，可得PFAB6，同法可得：BEQFQP（AAS），BEFQ4，BQFP6，APBF10；（3）如图3，当EPEQ时，作PMPE交EQ的延

5、长线于点M，作MFAD于点F，MF交BC于点HEPEQ，BEMH，同法可得AEPFPM（AAS），综合（1）、（2）、（3）可知：AP6或AP10或故答案是：6或10或4+2【例题3】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2,0）（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是；（2）设点P为线段OB的中点，连结PA，PC，若CPAABO，则m的值是【解析】（1）当直线AB经过点C时，点A与点C重合，当x2时，y2+m0，即m2，所以直线AB的解析式为yx+2，则B（0，2）OBOA2，AB2设点O到直线AB的距离为d，由SOABOA2ABd，得

6、42d，则d故答案是：（2）作ODOC2，连接CD则PDC45°，如图，由yx+m可得A（m，0），B（0，m）所以OAOB，则OBAOAB45°当m0时，APCOBA45°，所以，此时CPA45°，故不合题意所以m0因为CPAABO45°，所以BPA+OPCBAP+BPA135°，即OPCBAP，则PCDAPB，所以，即，解得m12故答案是：12【例题4】如图，已知点A（2，3）和点B（0，2），点A在反比例函数y的图象上，作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为【解析】

7、解法一：如图所示，过A作AEx轴于E，以AE为边在AE的左侧作正方形AEFG，交AB于P，根据点A（2，3）和点B（0，2），可得直线AB的解析式为yx+2，由A（2，3），可得OF1，当x1时，y+2，即P（1，），PF，将AGP绕点A逆时针旋转90°得AEH，则ADPADH，PDHD，PGEH，设DEx，则DHDPx+，FD1+2x3x，RtPDF中，PF2+DF2PD2，即（）2+（3x）2（x+）2，解得x1，OD211，即D（1，0），根据点A（2，3）和点D（1，0），可得直线AD的解析式为y3x3，解方程组，可得或，C（1，6），故答案为：（1，6）解法二：如图，过A作

8、ADy轴于D，将AB绕着点B顺时针旋转90°，得到A'B，过A'作A'Hy轴于H，由ABBA'，ADBBHA'90°，BADA'BH，可得ABDBA'H，BHAD2，又OB2，点H与点O重合，点A'在x轴上，A'（1，0），又等腰RtABA'中，BAA'45°，而BAC45°，点A'在AC上，由A（2，3），A'（1，0），可得直线AC的解析式为y3x3，解方程组，可得或，C（1，6），故答案为：（1，6）解法三：如图，过B作BFAC于F，过F作FDy

9、轴于D，过A作AEDF于E，则ABF为等腰直角三角形，易得AEFFDB，设BDa，则EFa，点A（2，3）和点B（0，2），DF2aAE，ODOBBD2a，AE+OD3，2a+2a3，解得a，F（，），设直线AF的解析式为ykx+b，则，解得，y3x3，解方程组，可得或，C（1，6），故答案为：（1，6）【例题5】如图1，平面直角坐标系中，直线yx+1与抛物线yx2+bx+c交于A，B两点，点A在y轴上，点B的横坐标为，点P是直线AB上方的抛物线上的一动点（不与点A，B重合），作PCAB于点C（1）求抛物线的解析式；（2）设点P的横坐标为m用含m的代数式表示PC的长；求PC长的最大值；（3）如

10、图2，连接PA，若PAB45°，求点P的坐标【解析】（1）将x0代入yx+1得：y1，A（0，1）将x代入yx+1得：y，B（，），把A、B两点坐标代入yx2+bx+c得到，解得，抛物线的解析式为yx2+4x+1；（2）如图1，作PFx轴于F，交AB于E，直线AB交x轴于D把y0代入yx+1得：x+10，解得x2，D（2，0）设P（m，m2+4m+1），则E（m，m+1），点P在直线AB上方，PEm2+4m+1（m+1）m2+m，OA1，OD2，AD，PFOA，DAODEFPEC，AODPCE90°，PCEDOA，即PC（m2m），PC（m2m）（m）2+，0，m时，PC有

11、最大值，最大值为；（3）如图2所示，过点A作ACx轴，交抛物线与点C，作CDy轴交AB与点D，将ACD旋转90°得到AEF，延长EF交AP与点G，连结GD将y1代入抛物线的解析式得：x2+4x+11，解得：x0或x4点C的坐标为（4，1）将x4代入直线AB的解析式得：y3，点D的坐标为（4，3）由旋转的性质可知：AFAC4，EFDC2，AEAD点E的坐标为（2，5）在AEG和ADG中，AEGADGEGDG设点D的坐标为（x，y），由两点间的距离公式可知：（x+2）2+（y5）2（x4）2+（y3）2，整理得：y3x+1直线AG的解析式为y3x+1将y3x+1代入yx2+4x+1得：3

12、x+1x2+4x+1，整理得：x2x0，解得：x0或x1点P的横坐标为1将x1代入y3x+1得：y4点P的坐标为（1，4）1（2018龙岗区一模）如图，已知反比例函数y（x0）的图象经过点A（3，4），在该图象上面找一点P，使POA45°，则点P的坐标为 【解析】作AEy轴于E，将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到OA，作AFx轴于F，则AOEAOF，可得OFOE4，AFAE3，即A（4，3）反比例函数y（x0）的图象经过点A（3，4），所以由勾股定理可知：OA5，4，OA5，k12，y，AA的中点K（，），直线OK的解析式为yx，由，解得或，点P在第一象限，P（2，），故

13、答案为（2，）2（2017孝感）如图，在平面直角坐标系中，OAAB，OAB90°，反比例函数y（x0）的图象经过A，B两点若点A的坐标为（n，1），则k的值为【解析】作AEx轴于E，BFx轴于F，过B点作BCy轴于C，交AE于G，如图所示：则AGBC，OAB90°，OAE+BAG90°，OAE+AOE90°，AOEGAB，在AOE和BAG中，AOEBAG（AAS），OEAG，AEBG，点A（n，1），AGOEn，BGAE1，B（n+1，1n），kn×1（n+1）（1n），整理得：n2+n10，解得：n（负值舍去），n，k；故答案为：3（2017

14、新区一模）（1）如图1，已知ABC，以AB，AC为边分别向ABC外作等边ABD和等边ACE，连结BE，CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：BECD；（2）如图2，利用（1）中的方法解决如下问题：在四边形ABCD中，AD3，CD2，ABCACBADC45°，求BD的长（3）如图3，四边形ABCD中，CAB90°，ADCACB，tan，CD5，AD12，求BD的长【解析】（1）如图1，分别以点A、B为圆心，以AB为半径画弧，交于点D，连接AD、BD，再分别以A、C为圆心，以AC为半径画弧，交于点E，连接AE、CE，则ABD、ACE就是所求作的等边三角

15、形；证明：如图1，ABD和ACE都是等边三角形，ADAB，ACAE，DABEAC60°，DACBAE，DACBAE（SAS），BECD；（2）如图2，过A作AEAD，使ADAE3，连接DE、CE，由勾股定理得：DE3，EDA45°，ADC45°，EDCEDA+ADC90°，ACBABC45°，CAB90°，CAB+DACEAD+DAC，即EACDAB，AEAD，ACAB，DABEAC（SAS），ECBD，在RtDCE中，EC，BDEC；（3）如图3，作直角三角形DAE，使得DAE90°，DEAACB，连接EC，容易得到DAE

16、BAC，即，DAEBAC90°，DAE+DACBAC+DAC，即EACDAB，EACDAB，在DCE中，ADCACB，EDAABC，EDC90°，AD12，AE9，DAE90°，DE15，CE5，由EACDAB，BD4（2019成都一模）如图，反比例函数的图象过格点（网格线的交点）A（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P是该双曲线第一象限上的一点，且AOP45°，填空：直线OP的解析式为yx；点P的坐标为（，）【解析】（1）由图知，点A（1，3），点A（1，3）在反比例函数y图象上，k1×33，反比例函数的解析式为y；（2）如图，过点O作OA

17、的垂线OE，取x轴上点（3，0），记D，则D（3，0），OD3，过点D作BDx轴，交OE于B，OP于C，易知，B（3，1），OAOB，AOP45°，BOCAOBAOP45°AOC，OCOC，AOCBOC（SAS），ACBC，设C（3，m），A（1，3），B（3，1），AC，BCm+1，m+1，m，C（3，），设直线OP的解析式为ykx，3k，k，直线OP的解析式为yx，故答案为：yx；由知，直线OP的解析式为yx（），由（1）知，反比例函数解析式为y（），联立（）（）解得，或（由于点P在第一象限内，所以，舍去），P（，），故答案为：（，）5如图，已知抛物线yx2+bx+c经

18、过点A（0，3），C（3，0）；过A作ABx轴交抛物线于点B，连接AC、BC，点P为抛物线上动点（1）求抛物线解析式；（2）当PABBCA时，求点P的坐标；（3）当点P在抛物线上BC两点之间移动时，点Q为x轴上一动点，连接AP、AQ，使得tanPAQ2，且AP交BC于点G，过G作GHAQ交AQ于点H，设点H的坐标为（m，n），求n关于m的函数关系式 【解析】（1）将A（0，3），C（3，0）代入得：，解得b2，c3抛物线的解析式为yx2+2x+3；（2）如图1中，当点P在抛物线上BC两点之间时，连接PA交BC于E，作BMOC于M，ENBM于NPABACB，ABEABC，ABECBA，AB2BE

19、BC，BEBC4，BC，BE，ENMC，BN，EN，E（，），A（0，3），直线AE的解析式为yx+3，由解得或，A（0，3），P（，），根据对称性直线AP关于直线AB的对称的直线AP的解析式为yx+3，由解得或，P（，），综上所述，满足条件的点P坐标为P（，）或（，）；（3）如图2中，作HMOA于M，GNMH于NAHGH，AHG90°，由AHMHGN，tanGAH2，H（m，n），HN62n，GN2m，G（62n+m，2m+n），直线BC的解析式为y3x+9，点G在直线BC上，2m+n3（62n+m）+9，nm+6（2018成都模拟）如图1，平面直角坐标系中，抛物线yax24ax+

20、c与直线ykx+1（k0）交于y轴上一点A和第一象限内一点B，该抛物线顶点H的纵坐标为5（1）求抛物线的解析式；（2）连接AH、BH，抛物线的对称轴与直线ykx+1（k0）交于点K，若SAHB，求k的值；（3）在（2）的条件下，点P是直线AB上方的抛物线上的一动点（如图2），连接PA当PAB45°时，）求点P的坐标；）已知点M在抛物线上，点N在x轴上，当四边形PBMN为平行四边形时，请求出点M的坐标【解析】（1）抛物线yax24ax+c与直线ykx+1交于y轴上一点AA（0，1），即c1抛物线yax24ax+ca（x2）24a+c顶点坐标为（2，c4a）c4a5a1抛物线解析式yx2

21、+4x+1（x2）2+5（2）抛物线与直线相交kx+1x2+4x+1x10，x24kB点横坐标为4k点B在第一象限4k0即k4SAHBHK×（4k）（52k1）×（4k）解得：k1，k2（不合题意舍去）（3）如图：将AB绕B点顺时针旋转90°到BC位置，过B点作BDx轴，过点C点作CDBD于D，过A点作AEBD于Ek，B（，）A（0，1），B（，）AE，BE旋转BCAB，ABC90°CAB45°，CBD+ABE90°且CBD+DCB90°ABEDCB且ABBC，DAEB90°ABEBCDAEBD，BECDC（，）设

22、AC解析式ybx+1b+1b3AC解析式y3x+1P是直线AC与抛物线的交点3x+1x2+4x+1x10，x21P（1，4）如图2：设PM与BN的交点为H四边形PBMN为平行四边形PHNH，BHMH设点M坐标为（x，y）y（x2）2+5解得：x1，x2点M坐标为（，），（，）7（2014白银）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线yx23向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3（1）求点M、A、B坐标；（2）连接AB、AM、BM，求ABM的正切值；（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为，当AB

23、M时，求P点坐标【解析】（1）抛物线yx23向右平移一个单位后得到的函数解析式为y（x1）23，顶点M（1，3），令x0，则y（01）232，点A（0，2），x3时，y（31）23431，点B（3，1）；（2）过点B作BEAO于E，过点M作MFAO于M，EBEA3，EABEBA45°，同理可求FAMFMA45°，ABEAMF，又BAM180°45°×290°，tanABM；（3）过点P作PHx轴于H，y（x1）23x22x2，设点P（x，x22x2），点P在x轴的上方时，整理得，3x27x60，解得x1（舍去），x23，点P的坐标为（

24、3，1）；点P在x轴下方时，整理得，3x25x60，解得x1（舍去），x2，x时，x22x2×，点P的坐标为（，），综上所述，点P的坐标为（3，1）或（，）8（2018宿迁三模）如图，二次函数yx2+2x+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C（1）求顶点D的坐标；（2）若点P（0，t） （t1）是y轴上的点，将点Q （5，0）绕着点P按顺时针方向旋转90度得到点E，当点E恰好落在该二次函数的图象上时，求t的值；（3）在（2）的条件下，连接AD、AE，若M是该二次函数图象上的一点，且DAEMCB，求点M的坐标【解析】（1）二次函数的表达式为：yx2+2x+3（x1）24，所以顶点

25、D的坐标为（1，4）；（2）如图1，过点E作EHy轴于点H，PQO+OPQ90°，OPQ+HPE90°，HPEPQO，由旋转知，PQPE，在EPH和PQO中，EPHPQO（AAS），EHOPt，HPOQ5E（t，5+t）当点E恰好在该二次函数的图象上时，有5+tt22t+3解得t12，t21（由于t1所以舍去），（3）设点M（a，a2+2a+3）若点M在x轴上方，如图2，过点M作MNy轴于点N，过点D作DFx轴于点FEABOCB45°，DAEMCBMCNDAFMCNDAF，即a1，a20（舍去）M（ ，），若点M在x轴下方，如图3，过点M作MNy轴于点N，过点D作

26、DFx轴于点FEABOCB45°，DAEMCBMCNADFMCNADF，即a14，a20（舍去）M（4，5）综上所述，M（ ，）或M（4，5）9（2009武汉）如图，抛物线yax2+bx4a经过A（1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且DBP45°，求点P的坐标【解析】方法一：解：（1）抛物线yax2+bx4a经过A（1，0）、C（0，4）两点，解得，抛物线的解析式为yx2+3x+4；（2）点D（m，m+

27、1）在抛物线上，m+1m2+3m+4，即m22m30m1或m3点D在第一象限点D的坐标为（3，4）由（1）知OCOBCBA45°设点D关于直线BC的对称点为点EC（0，4）CDAB，且CD3ECBDCB45°E点在y轴上，且CECD3OE1E（0，1）即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）；（3）方法一：作PFAB于F，DEBC于E，由（1）有：OBOC4OBC45°DBP45°CBDPBAC（0，4），D（3，4）CDOB且CD3DCECBO45°DECEOBOC4BC4BEBCCEtanPBFtanCBD设PF3t，则BF5t，OF5

28、t4P（5t+4，3t）P点在抛物线上3t（5t+4）2+3（5t+4）+4t0（舍去）或tP（，）；方法二：过点D作BD的垂线交直线PB于点Q，过点D作DHx轴于H，过Q点作QGDH于G，PBD45°，QDDB，QDG+BDH90°，又DQG+QDG90°，DQGBDH，QDGDBH，QGDH4，DGBH1由（2）知D（3，4），DH4，OH3HGOH3，QGDH4，QFQGGF431Q（1，3）B（4，0）直线BQ的解析式为yx+，解方程组，得，点P的坐标为（，）方法二：（1）略（2）点D（m，m+1）在抛物线上，m+1m2+3m+4，即m22m30m1或m3

29、点D在第一象限点D的坐标为（3，4）B（4，0），C（0，4），lBC：yx+4，D，E关于BC对称，DEBC，DE与BC的交点F为DE的中点，KDE×KBC1，KBC1，KDE1，lDE：yx+1，lBC：yx+4，lDE与lBC的交点F（，），FX，FY，E（0，1）（3）过点D作直线BF的垂线，垂足为H，设点H（a，b），DBP45°，DHB为等腰三角形，点B可视为点D绕点H顺时针旋转90°而成，将点H平移至原点得点H，则点D（3，4）平移后为D（3a，4b），将点D顺时针旋转90°，则点B（4b，a3），将H平移至H，则B平移后即为点B（4+ab

30、，a+b3），B（4，0），4+ab4，a+b30，ab，H（，），P在直线BH上，KBH，lBH：yx，点P的坐标为（，）10（2020青浦区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x2，点A的坐标为（1，0）（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），联结PC当PCBACB时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D，点P的对应点为点Q，当ODDQ时，求抛物线平移的距离【解析】（1）对称轴为直线x2，点A的坐标为（1，0），点B

31、的坐标是（3，0）将A（1，0），B（3，0）分别代入yx2+bx+c，得解得则该抛物线解析式是：yx24x+3由yx24x+3（x2）21知，该抛物线顶点坐标是（2，1）；（2）如图1，过点P作PNx轴于N，过点C作CMPN，交NP的延长线于点M，CON90°，四边形CONM是矩形CMN90°，COMN、yx24x+3，C（0，3）B（3，0），OBOC3COB90°，OCBBCM45°又ACBPCB，OCBACBBCMPCB，即OCAPCMtanOCAtanPCM故设PMa，MC3a，PN3aP（3a，3a），将其代入抛物线解析式yx24x+3，得（

32、3a）24（3a）+33a解得a1，a20（舍去）P（，）（3）设抛物线平移的距离为m，得y（x2）21mD（2，1m）如图2，过点D作直线EFx轴，交y轴于点E，交PQ延长线于点F，OEDQFDODQ90°，EOD+ODE90°，ODE+QDP90°EODQDFtanEODtanQDF，解得m故抛物线平移的距离为11（2017咸宁）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OBOC6（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当FABEDB时，求点F的坐标；（3）平行于

33、x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQMN时，求菱形对角线MN的长【解析】（1）OBOC6，B（6，0），C（0，6），解得，抛物线解析式为yx22x6，yx22x6（x2）28，点D的坐标为（2，8）；（2）如图1，过F作FGx轴于点G，设F（x，x22x6），则FG|x22x6|，在yx22x6中，令y0可得x22x60，解得x2或x6，A（2，0），OA2，则AGx+2，B（6，0），D（2，8），BE624，DE8，当FABEDB时，且FGABED，FAGBDE，即，当点F在x轴上方时，则有，解得x2（舍去）或x7，此进F点坐标为（7，）；当点F在x轴下方时，则有，解得x2（舍去）或x5，此进F点坐标为（5，）；综上可知F点的坐标为（7，）或（5，）；（3）点P在x轴上，由菱形的对称性可知