应用数值分析 常微分方程

1、第九章第九章 常微分方程数值解常微分方程数值解 9.1 引言引言(基本求解公式基本求解公式)在工程和科学技术的实际问题中，常需要求解微分方程只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解而在实际问题中的微分方程往往无法求出解析解在高等数学中我们见过以下常微分方程：0)(),(yaybxayxfy )(,)(),(0ayyaybxayyxfy-(1)-(2) nybyyaybxayyxfy)(,)(),(0-(3)(1),(2)式称为初值问题,(3)式称为边值问题2002212210012111)(),()(),(yxyyyxfyyxyyyxfy-(4)另外,在实际应用中还经常需要求解常微分方程组:本

2、课程主要研究问题(1)的数值解法,对(2)(4)只作简单介绍我们首先介绍初值问题(1)的解存在的条件定理定理1. ( , )f x yLipschitz如如果果连连续续函函数数满满足足条条件件，即即, , Lxa b 正正数数使使得得，均均有有1212|( ,)( ,)|f x yf x yL yy 1 ( )则则初初值值问问题题的的解解存存在在且且唯唯一一. .对于问题(1),要求它的数值解)(,)(节点上的一系列离散点在区间就是求未知函数baxybxxxxan210),2 , 1()(nkyxykk的近似值上函数值的数值解就是问题而)1(),2 , 1(nkyk0)(),(yaybxayx

3、fy-(1)从(1)的表达式可以看出,求它的数值解的关键在于数值计算问题)(xy0( )( , ( )xay xyf t y t dt或者它的等价的积分方程 中( , ( )xaf t y t dt积分 的数值计算问题求解微分方程的数值方法求解微分方程的数值方法数值积分数值积分数值微分数值微分而数值积分数值积分问题我们已经学习过, 下考虑数值微分数值微分方法微积分中，关于导数的定义导数的定义如下：0()( )( )limhf xhf xfxh自然而又简单的方法就是，取极限的近似值，即差商差商!0( )()limhf xf xhh0()()lim2hf xhf xhh向前差商向前差商hxfhxf

4、xf)()()( 000由Taylor展开hxxfhxhfxfhxf002000),( ! 2)( )()(因此，有误差)()( ! 2)()()( )(000hOfhhxfhxfxfxR向后差商向后差商hhxfxfxf)()()( 000误差:)()( ! 2)()()( )(000hOfhhhxfxfxfxR中心差商中心差商hhxfhxfxf2)()()( 00022212( )()()( )()126hhR xfffO h常微分方程数值解的基本思想常微分方程数值解的基本思想01001( , ), , ,( )( )nnf xxyxabaa baxxyyyy xyyyb：对于微分方程要在区

5、间上的若干离散点处计算解函数的近似值基本问题 , ,0,1, ,kxa bbaahkknhn实际应用中通常取求解区间的等分点作为离散点，即其中步长推导初值问题的数值方法的途径: Taylor展开, 利用差商离散导数, 利用数值积分方法1;kkyy单步法: 只利用来计算1(1,2,1),.kkkjyyyjll多步法: 计算时不仅要利用,还要用到已算出的 若干个并称为 步方法0110121,(),nikyyyyyyyy iky求初值问题数值解的方法是, 即从已知的初值出发 通过一定的计算求然后由或和求出依次计算到即 在计算出后计算步进法这时1. 泰勒展开的求解方法思路：01(,),0,1,)1(k

6、kkkyyyfyyxknha,ky将近似号改等号 则得到数值解序列计算公式:1()()kkyyxhx 可将按泰勒级数展开为211()()()(),2!kkkkkkkyhhxxxyxyxy21()()()()(,)kkkkkkyyxxxxyyfhhhxy 略去得， 2. 化导数为差商的求解方法思路：10(,()()(),0,1,),(1kkkkyyyxxf xxyyknah则微分方程初值问题化为1()()()kkkkyyxhxxyx 若在点处的导数用差商来近似代替， 如向前差商 ,()kkyyx将近似号改等号 精确解改为近似解序列满足，01(,),0,1,)1(kkkkyyyfyyxknha3.

7、 数值积分的求解方法思路：101()()( , ( ),0,1),(1kkxkkxyyyyyaxxf xx dxkn11()(),kkkkyyy xy x用和近似和右边用数值积分公式，如用矩形数值积分公式可得，10(,),0,1,)1(kkkkayyhxyyknyf111( , )d( , )dx,d( , ),0,1,1kkkkxxkkxxyyyyf xf xxxf xdxkyyn如果将微分方程化成， 然后在各小区间上对其两边进行积分， 即01(,),0,1,)1(kkkkyyyfyyxknha以上三种方法推导出同一个数值求解公式:这个数值公式称为欧拉欧拉(Euler)公式0( , ),(1

8、) , ,0 , ,( ),1nkayyf xbabaa bah hxxknknyy 等分 对于微分方程初值问题求解区间01( )(,),0,1,1kkkkyyaf xyyyknh 向前差商代替导数数值积分法中采用矩形公式1. 欧拉(Euler)（显示欧公式拉公式）： 9.2 欧拉欧拉(Euler)(Euler)方法方法0111(,),0,1(,1)kkkkaf xknyyyyhy 向后差商代替导数微分方程初值问题(1)Eule011rEuler1(,)(,) ,20,1,1(,)kkkkkkaf xfyyyyknyxhy 将公式和隐式公式作算术平均或在数值积分法中采用梯形公式微分方程初值问题

9、(1)（2隐. 式欧后退欧拉公式拉公式）：3（. 隐梯形公式式公式）误差分析误差分析01111112( )()()(,),0,1,1()()kkkkkkkkkkkkyyyyyyyy xy xxy xyyhxyaf xknO h假设已知且是准确的，即，用表示这一点的解函数准确值；计算步的截断误差为欧拉公式01111311(,)( ),) ,20,1,1()()kkkkkkkkkhhyyyyyaf xf xknOyyy xy 类似的,计算步的截断误差为梯形公式这种误差称为局部截断误差局部截断误差.01(,),0,1,)1(kkkkyyyfyyxknha显示Euler公式隐式梯形公式0111(,)(

10、,)( ),20,1,1kkkkkkaf xf xyyyynyhyk比较下面两个公式比较下面两个公式：改进欧拉改进欧拉(Euler)(Euler)方法方法1111111(,)(,)(,)2kkkkkkkkkkkkkyyyyyyf xf xfyxhyyyh首先计算出初步的近似值，称之为预估值；然后用该预估值替代梯形公式右端中的进行计算，从而得到最后的校正值，即预估公式校正公式01-1(,)(,)1()(2kkpkkckpkpcaf xf xhhyyyyyyyyyyy改写为预估 校正公式可避免函数值的重复计算Euler或预估称为改进的欧正式-校拉公方法常微分方程数值解的截断误差常微分方程数值解的截

11、断误差评价一个微分方程求解公式的标准当然是其精度:)(11的差与计算值也就是精确值jjyxy111()( )jjjy xyeh而在求解公式 中1(,)jjjjyyhf xy误差项误差项0,1,1jn()jjjyyy x一般都是近似值，即111( )()1jjjehy xyj只能表示求解公式第步的误差定义定义1(a). 111111()()jjjjjjjyy xyey xyxj 称称为为计计算算的的求求解解公公式式在在处处( (即即第第步步) )的的局局部部截截断断误误差差定义定义1(b). ,一般的 单步法可以写称统一的增量形式11(, )jjjjjyyhxyyh-(*)1111( ),()(

12、)(, (), (), )(*).jjjjjjjy xTy xy xhxy xy xhx 设设为为初初值值问问题题的的精精确确解解 则则称称为为单单步步法法在在处处的的局局部部截截断断误误差差上两定义本质是一样的,前者意义直观,后者用于计算推导较方便!1()jjjyy xy 时时计计算算出出的的在一般情况下,求解公式的每一步都存在误差,因此有定义定义2. ( ),jje hyj设设为为计计算算的的求求解解公公式式第第步步的的截截断断误误差差 且且1( )( )kkjjEhe h ( )kEhk则则称称为为该该求求解解公公式式第第步步的的累累计计截截断断误误差差kx即即该该求求解解公公式式在在点点上上的的整整体体截截断断误误差差定义定义3. 1( )()pje hO h 若若求求解解公公式