抛物线及其性质

1、抛物线(parabola)一：抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线抛物线xyOlFxyOlFlFxyOxyOlF定义平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。=点M到直线的距离范围对称性关于轴对称关于轴对称焦点(,0)(,0)(0,)(0,)焦点在对称轴上顶点离心率=1准线方程准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准线的距离焦点到准线的距离焦半径焦 点弦 长oxFy焦点弦的几条性质以为直径的圆必与准线相切若的倾斜角为，则若的倾斜角为，则

2、 切线方程1. 直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，消y得：（1）当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k0时， 0，直线与抛物线相交，两个不同交点； =0， 直线与抛物线相切，一个切点； 0，直线与抛物线相离，无公共点。（3） 若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线： 抛物线，1 联立方程法： 设交点坐标为,，则有,以及，还可进一步求出， 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如a. 相交弦AB的弦长 或 b. 中点, ， 2 点差法：设交点坐标为，代入抛物线方程，得 将两式相减，可

3、得a. 在涉及斜率问题时，b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为， 即，同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是弦的中点，则有（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）抛物线的参数方程：的参数方程为（为参数），的参数方程为（为参数）.典型例题：题型一：求抛物线的标准方程1.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点（3，2）；（2）焦点在直线x2y4=0上2.已知抛物线x2ay的焦点恰好为双曲线y2x22的上焦点，则a等于 ()A1B4 C8 D163.抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线

4、方程为若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为()A2 B2 C4 D44.已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为（ ）(A) (B)(C)(D)题型二：利用抛物线的定义和几何性质解决问题1.已知动点M的坐标满足方程，则动点M的轨迹是（ ）A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对2.已知点M是抛物线y22px(p>0)上的一点，F为抛物线的焦点，若以|MF|为直径作圆，则这个圆与y轴的关系是()A相交 B相切C相离 D以上三种情形都有可能3.平面内过点A（-2，0），且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是（

5、）A y 2=2xB y 2=4xCy 2=8x Dy 2=16x4.已知动圆M与直线y =2相切，且与定圆C：外切，求动圆圆心M的轨迹方程5.已知抛物线y22px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是 ()A相离 B相交 C相切 D不确定6.已知F为抛物线y28x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，则|FA|FB|的值等于 () A4 B8C 8 D167.抛物线y22px(p>0)的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AKl，垂足为K，若|BC|2|BF|，且|AF|4，则AKF的面积是 ()A4 B3 C4

6、D88.已知F是拋物线y2x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为 ()A. B1 C. D.9.在平面直角坐标系xOy中,有一定点A(2,1).若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,则该抛物线的准线方程是 .题型三：抛物线的最值问题1.设P是抛物线上的一个动点。（1）求点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线的距离之和的最小值；（2）若B（3，2），求的最小值2.在y2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是 ()A(2,1) B(1,2) C(2,1) D(1,2) 3.已知点F是

7、抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时, M点坐标是 ( )A. B. C. D. 4.已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A. B3 C. D.5.已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为 6.设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一 点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是() A(0,2)B0,2 C(2，) D2，)7.已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，

8、点P的坐标为（A）（B）（C）（D）8.抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是（ ）A（1，1）B（）CD（2，4）题型四：直线与抛物线及其抛物线的综合运用1.抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，垂足为，则的面积（ ）A B C D2.在直角坐标系xOy中.直线过抛物线=4x的焦点F.且与该抛物线相交于A，B两点.其中点A在x轴上方.若直线的倾斜角为60º.则OAF的面积为 . 3.设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的斜率为，那么|PF| ()A4 B8 C8 D164.过抛物线y22px(p&

9、gt;0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3则此抛物线的方程为 ( ) Ay2xBy29x Cy2x Dy23x5.过抛物线的焦点F作倾斜角为450的直线交抛物线于A、B两点，线段AB的长为8，则 6.过点A（1，0）作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点，则= 。7.过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2， y2)两点，若x1x26，那么 |AB|等于_8.已知点A(1,0)，抛物线C：y24x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M，P两点.若向量与的夹角为，求POM的面积9.过抛物线y22px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l，交抛物线于A、B两点，且|FA|3，则抛物线的方程是_10.已知过抛物线y22px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若 ，求的值11.已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的