弹性力学第二章第三节

1、l前几节中给出的力分量、应力分量、应变分量和前几节中给出的力分量、应力分量、应变分量和位移分量，其表示方法引用的是记号法；位移分量，其表示方法引用的是记号法；这是一种公认的弹性力学参量表示方法。这是一种公认的弹性力学参量表示方法。2-7 弹性力学参量的指标表示法弹性力学参量的指标表示法l近年来，数学理论中的指标表示法开始出现在力近年来，数学理论中的指标表示法开始出现在力学文献及教科书中。学文献及教科书中。l指标表示法书写简洁，便于力学问题的理论推导。指标表示法书写简洁，便于力学问题的理论推导。一一.指标表示法指标表示法1. 指标符号指标符号 具有相同性质的一组物理量，可以用一个带下标的具有相同

2、性质的一组物理量，可以用一个带下标的字母表示：字母表示：如：位移分量如：位移分量u、v 、w表示为表示为u1 、u2、u 3，缩写为，缩写为ui（i=1,2,3）坐标坐标x、y、z表示为表示为x1、 x2、 x3 ，缩写为，缩写为xi（i=1,2,3）。）。单位矢量单位矢量i、j、k表示表示ei（i=1,2,3）。）。应力分量：应力分量：zzzyzxyzyyyxxzxyxx可表示为：可表示为：333231232221131211缩写为：缩写为：)3 , 2 , 1; 3 , 2 , 1(jiij同理，应变分量可表示为：同理，应变分量可表示为：)3 , 2 , 1; 3 , 2 , 1(jiij

3、向量向量 表示为表示为a31332211iiieaeaeaeaa三阶线性方程组三阶线性方程组333323122322211131211PzayaxaPzayaxaPzayaxa)3 , 2 , 1(31iPxaijjij可表示为可表示为缩写为缩写为)3 , 2 , 1(332211iPxaxaxaiiii2.爱因斯坦求和约定爱因斯坦求和约定在表达式的某项中，某指标重复出现一次，则表示要把在表达式的某项中，某指标重复出现一次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。重复指标称为该项在该指标的取值范围内遍历求和。重复指标称为哑指标（简称（简称哑标）)3 , 2 , 1( ieaaii例)3 ,

4、 2 , 1; 3 , 2 , 1(jiPxaijij求和指标j求和指标i非求和指标称为自由指标333323213123232221211313212111PxaxaxaPxaxaxaPxaxaxa332211eaeaeaa说明：说明：l（1）对于重复次数大于）对于重复次数大于1的指标，求和约定无效。的指标，求和约定无效。例：例：l（2）哑标的有效范围仅限于本项。）哑标的有效范围仅限于本项。l（3）多重求和可采用不同的哑标表示。）多重求和可采用不同的哑标表示。例：例：l（4）哑标可局部地成对替换。）哑标可局部地成对替换。l（5）自由指标必须整体换名。）自由指标必须整体换名。l（6）当自由指标恰

5、好在同一项中重复出现一次，为避免混淆，）当自由指标恰好在同一项中重复出现一次，为避免混淆，应声明对该指标不求和。应声明对该指标不求和。l例例iiiiiiicbacbacbacbacba313332221113131ijjiijjiijxxaxxa)( 不求和ibaCiiii3.求导数的简记方法求导数的简记方法l微分算符简记法微分算符简记法 iix, ijjixx,2iix,l例例:jijiuxu,jkikjiuxxu,3 , 32, 21 , 1,uuuuxuiiii求和约定求和约定33 ,22,11 ,dxudxudxudxudxxuiiiijjjijijiiuuuuxxu3 , 32, 2

6、1 , 1,4.克罗内克克罗内克(Kroneker)符号符号)cos(jiijeejieejijiij01100010001333231232221131211ij具有如下性质具有如下性质ij(1)3ii(2)jiijAA ij也称也称换名算子换名算子同理同理:ijkjikAaijkjikA4. 置换符号置换符号表示，有个分量。定义：表示，有个分量。定义：ijke为非循环序列为逆循环序列为循环序列),(0),(1),(1kjikjikjieijk有两个以上的指标相同置换符号用于简化公式的书置换符号用于简化公式的书写写行列式：行列式：333231232221131211aaaaaaaaaakji

7、ijkaaaea321二二. 弹性力学方程的指数表示弹性力学方程的指数表示(1) 平衡平衡(运动运动)微分方程微分方程22,0tuFiijji000222222twZzyxtvYzyxtuXzyxzyzxzzyyxyzxyxxxyzxyyxyzzyzxxzuxvywzvuxywvyzwuxz (2) 几何方程几何方程ijjiijuu,21(3) 物理方程物理方程ijkkijijEvEv1xyxyxyE12EEyy1EEzz1yzyzyzE12zxzxzxE12EExx1kkkkEv21E21ijijkkijG2xyxyxyzzzxzxzxyyyzyzyzxxGGGGGGGGG2,22,22,2

8、(4) 边界条件边界条件力边界条件力边界条件:ijijTn 位移边界条件位移边界条件:iiuu 1. 迭加原理迭加原理: 弹性体受几组外力同时作用时的解弹性体受几组外力同时作用时的解(应力、应变和位移应力、应变和位移)等于每一组外力单独作用时等于每一组外力单独作用时对应解的和对应解的和.2-8 弹性力学的几个基本定义弹性力学的几个基本定义(1) 迭加原理成立的条件是微分方程和边界条件迭加原理成立的条件是微分方程和边界条件是线性的是线性的.说明说明:(2) 对大变形问题对大变形问题, 几何方程将出现二次非线性项几何方程将出现二次非线性项, 平衡方程将受到变形的影响平衡方程将受到变形的影响, 迭加

9、原理不再适用。迭加原理不再适用。(3) 对非线弹性或弹塑性材料对非线弹性或弹塑性材料, 应力应变关系为非应力应变关系为非线性线性, 迭加原理不成立。迭加原理不成立。(4) 对非线性边界条件对非线性边界条件, 迭加原理也失效。迭加原理也失效。2. 解的唯一性定理：解的唯一性定理： 在给定载荷作用下，处于平衡状态的弹性体，其内部在给定载荷作用下，处于平衡状态的弹性体，其内部各点的应力、应变解是唯一的，如物体刚体位移受到约束，各点的应力、应变解是唯一的，如物体刚体位移受到约束，则位移解也是唯一的。则位移解也是唯一的。 无论何方法求得的解，只要能满足全部基本方程和边无论何方法求得的解，只要能满足全部基

10、本方程和边界条件，就一定是问题的真解。界条件，就一定是问题的真解。3.圣维南原理圣维南原理: 提法一：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，则提法一：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，则 此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生影响只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。影响只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。提法二：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，该提法二：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，该力系在物体中引起的应力将随离力系作用部分的距离力系在物体中引起的应力将随离力系作用部分的距离的增大而迅速衰减，在

11、距离相当远处，其值很小，可的增大而迅速衰减，在距离相当远处，其值很小，可忽略不计。忽略不计。提法三：若作用在物体局部表面上的外力，用一个静力等效提法三：若作用在物体局部表面上的外力，用一个静力等效的力系的力系(具有相同的主矢和主矩具有相同的主矢和主矩)代替，则离此区域较代替，则离此区域较远的部分所受影响可以忽略不计。远的部分所受影响可以忽略不计。l利用圣维南原理可放宽边界条件，扩大弹性力学利用圣维南原理可放宽边界条件，扩大弹性力学的解题范围。的解题范围。l例题例题：（习题：（习题2-2）l1. 由平衡方程由平衡方程000yxxzxxyyzyyzxzzXxyzYxyzZxyz不计体力，则不计体力，则X，Y，Z等于零等于零将应力分量代入方程，将应力分量代入方程，1式，式，3式满足。式满足。2式为：式为：0)4(462230yyhlhxqy)4(232230yhlhxqyy积分：积分：)()34(233230 xCyyhlhxqyl由边界条件求积分常数由边界条件求积分常数C(x)xlqxCyyhlhxqhy023230)()34(23上表面的方向余弦上表面的方向余弦l =0，m =-1，n =0；面力分部为：；面力分部为：xlqY0l由边界条件公式由边界条件公式Ynmlyzyx