Matlab笔记——模糊聚类分析原理及实现023

1、23. 模糊聚类分析原理及实现聚类分析，就是用数学方法研究和处理所给定对象，按照事物间的相似性进行区分和分类的过程。 传统的聚类分析是一种硬划分，它把每个待识别的对象严格地划分到某个类中，具有非此即彼的性质，这种分类的类别界限是分明的。随着模糊理论的建立，人们开始用模糊的方法来处理聚类问题，称为模糊聚类分析。由于模糊聚类得到了样本数与各个类别的不确定性程度，表达了样本类属的中介性，即建立起了样本对于类别的不确定性的描述，能更客观地反映现实世界。本篇先介绍传统的两种（适合数据量较小情形，及理解模糊聚类原理）：基于择近原则、模糊等价关系的模糊聚类方法。（一）预备知识一、模糊等价矩阵定义1设R=(r

2、ij)n×n为模糊矩阵，I为n阶单位矩阵，若R满足i) 自反性：IR （等价于rii =1）；ii) 对称性：RT=R;则称R为模糊相似矩阵，若再满足iii) 传递性：R2R（等价于）则称R为模糊等价矩阵。定理1设R为n阶模糊相似矩阵，则存在一个最小的自然数k（k<n）, 使得Rk为模糊等价矩阵，且对一切大于k的自然数l，恒有Rl=Rk. Rk称为R的传递闭包矩阵，记为t(R).二、模糊矩阵的-截矩阵定义2设A=(aij)n×m为模糊矩阵，对任意的0,1, 作矩阵其中，称为模糊矩阵A的-截矩阵。显然，A为布尔矩阵，且其等价性与与A一致。意义：将模糊等价矩阵转化为等价的

3、布尔矩阵，可以得到有限论域上的普通等价关系，而等价关系是可以分类的。因此，当在0,1上变动时，由A得到不同的分类。若12, 则A1A2, 从而由A2确定的分类是由A1确定的分类的加细。当从1递减变化到0时，A的分类由细变粗，逐渐归并，形成一个分级聚类树。例1设U=u1, u2, u3, u4, u5, 对给定的U上的模糊等价关系让从1到0变化，观察分类过程。 (1) 当=1时，分类结果为5类：（每行代表一类，1代表对应元素在该类）u1, u2, u3, u4, u5 (2) 当=0.8时，分类结果为4类：u1, u3, u2, u4, u5 (3) 当=0.6时，分类结果为3类：u1, u3,

4、 u2, u4, u5 (4) 当=0.5时，分类结果为2类：u1, u3, u4, u5, u2 (4) 当=0.4（R中的最小值）时，分类结果为1类：u1, u2, u3, u4, u5整个动态分类过程如下：（二）基于择近原则的模糊聚类择近原则就是利用贴近度来实现分类操作，贴近度用来衡量两个模糊集A和B的接近程度，用N(A,B)表示。贴近度越大，表明二者越接近。设论域有限或者在一定区间，即U=u1, u2, , un或U=a,b, 常用的贴近度有以下三种： (1) 海明贴近度(2) 欧氏贴近度(3) 格贴近度其中，.Matlab实现：格贴近度的实现函数fuz_closing.mfuncti

5、on y=fuz_closing(A,B,type)%要求A与B列数相同的行向量m,n=size(A);switch typecase 1 %海明贴近度 y=1-sum(abs(A-B)/n; case 2 %欧氏贴近度 y=1-(sum(A-B).2)(1/2)/sqrt(n); case 3 %格贴近度 y1=max(min(ones(m,n)-A,ones(m,n)-B); %ones(m,n)-A等于Ac y2=max(min(A,B); y=min(y1,y2);end例2 设某产品的质量等级分为5级，其中一级有5种评判因素u1, u2, u3, u4, u5. 每一等级的模糊集为B

6、1=0.5 0.5 0.6 0.4 0.3B2=0.3 0.3 0.4 0.2 0.2B3=0.2 0.2 0.3 0.1 0.1B4=0.1 0.1 0.2 0.1 0B5=0.1 0.1 0.1 0.1 0假设某产品各评判因素的值为A=0.4 0.3 0.2 0.1 0.2, 问该产品属于哪个等级？代码：A=0.4 0.3 0.2 0.1 0.2;B=0.5 0.5 0.6 0.4 0.3; 0.3 0.3 0.4 0.2 0.2; 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1; 0.1 0.1 0.2 0.1 0; 0.1 0.1 0.1 0.1 0;fori=1:5haiming(i)=fu

7、z_closing(A,B(i,:),1);oushi(i)=fuz_closing(A,B(i,:),2);ge(i)=fuz_closing(A,B(i,:),3);endhaimingoushige运行结果：haiming = 0.7800 0.9200 0.9000 0.8600 0.8400oushi = 0.5081 0.9106 0.8658 0.6870 0.6422ge = 0.4000 0.3000 0.2000 0.2000 0.1000可见样本A与各等级的格贴近度分别为0.4, 0.3, 0.2, 0.2, 0.1, 故可认为该产品属于B1等级。若按令两种贴近度判断，该

8、产品属于B2等级。（三）基于模糊等价关系的模糊聚类一、算法步骤1. 样本数据归一化设X=x1, x2, , xn为要分类的n个样本，每个样本有m个指标，即xi= xi1, xi2, , xim, i=1,2,.,n得到原始数据矩阵X=(xij)n×m.由于不同指标的数据量纲不同，为了使数据能够比较，要先对X做归一化处理。2. 建立模糊相似矩阵R先建立样本xi与xj相似程度rij, 进而构造模糊相似矩阵R=(rij)n×n建立rij常用的方法有：(1) 相似系数法夹角余弦法：相关系数法：(2)距离法一般取rij=1-c(d(xi,xj), 其中c和为适当选取的参数，使得0ri

9、j1. 常用的距离有：海明距离：欧氏距离：切比雪夫距离：(3) 贴近度法最大最小法：算术平均最小法：几何平均最小法：3. 求出R的传递闭包t(R)即改造相似关系为等价关系：令, 再令, , 直到满足与Rl相等，即为t(R), 仍记为R. 4. 选取合适的, 利用-截矩阵R进行分类（参考例1）。二、Matlab实现求模糊相似矩阵R的函数：fuz_distance.mfunction R=fuz_distance(x,type)%x为归一化的数据矩阵, type选择计算相似程度的方法%返回模糊相似矩阵Rn,m=size(x);%距离法的选择参数c和a, 需要根据具体情况修改以保证R(i,j)属于0

10、,1c=0.1;a=1;fori=1:nfor j=1:nswitch typecase 1 %夹角余弦法 R(i,j)=(x(i,:)*x(j,:)')/(norm(x(i,:),2)*norm(x(j,:),2); case 2 %相关系数法Dxi=abs(x(i,:)-mean(x(i,:);Dxj=abs(x(j,:)-mean(x(j,:); R(i,j)=(Dxi*Dxj')/(norm(Dxi,2)*norm(Dxj,2);case 3 %海明距离法 d=sum(abs(x(i,:)-x(j,:);R(i,j)=1-c*da;case 4 %欧氏距离法 d=nor

11、m(x(i,:)-x(j,:),2);R(i,j)=1-c*da;case 5 %切比雪夫距离法 d=max(abs(x(i,:)-x(j,:);R(i,j)=1-c*da;case 6 最大最小(贴近度)法R(i,j)=sum(min(x(i,:);x(j,:)/sum(max(x(i,:);x(j,:);case 7 算术平均最小(贴近度)法 R(i,j)=2*sum(min(x(i,:);x(j,:)/sum(x(i,:)+x(j,:);case 8 %几何平均最小(贴近度)法R(i,j)=sum(min(x(i,:);x(j,:)/sum(sqrt(x(i,:).*x(j,:);end

12、endend求R的传递闭包t(R)的函数：tran_R.mfunction B,k=tran_R(R)%R为模糊相似矩阵, 循环构造满足传递性的t(R)%k为满足R2k = Rk的最小的自然数kn=length(R);B=zeros(n,n);flag=0;k=1/2;while flag=0 B=fco(R,R); %做模糊合成运算 k=2*k;if B=Rflag=1;else R=B; %循环计算R传递闭包endend上面的函数tran_R.m调用函数矩阵模糊合成算子函数：fco.mfunction B=fco(Q,R)%实现模糊合成算子的计算, 要求Q的列数等于R的行数n,m=size

13、(Q); m,l=size(R);B=zeros(n,l);fori=1:nfor k=1:l B(i,k)=max(min(Q(i,:);R(:,k)'); endend求t(R)的-截矩阵的函数：fuz_lamda.mfunction y=fuz_lamda(X,m)%用-截矩阵将样本分成m类, m总样本数lamda=unique(X)' %根据R中的值取值%unique函数取矩阵不重复元素组成向量并从小到大排好序X(find(X<lamda(m)=0;X(find(X>=lamda(m)=1;y=X;例3某地区设有11个雨量站，其分布如图所示：10年来各雨量站

14、测得的年降雨量表如下：现因经费问题，希望撤销几个雨量站，问撤销哪些雨量站而不会太多地减少降雨信息？分析：对11个雨量站进行模糊聚类，同一类的只需保留一个即可。比如，已知该市决定撤销6个只保留5个雨量站，则模糊聚类为5类。代码：loaddata;%数据归一化X,ps=mapminmax(data',0,1);X=X'%选择计算相似程度的方法type=3; %c=0.1, a=1, 此时也称绝对值减数法%求模糊相似矩阵R0R0=fuz_distance(X,type)%将模糊相似矩阵R0改造成模糊等价矩阵RR,k=tran_R(R0)%求将样本分成8类的-截矩阵R_lamda=fu

15、z_lamda(R,8)运行结果及说明：归一化后的数据矩阵X:模糊相似矩阵R0:由R0改造成的模糊等价矩阵R:k = 8说明R16=R8.将样本分为5类的-截矩阵R_lamda:可以判断5类分别是：x1,x7 x2, x4,x5,x6 x3, x9 x8, x11 x10注：对于这类C均值模糊聚类问题，也可以直接调用Matlab自带的模糊聚类函数fcm.m求解。调用方式：center,U, obj_fcn,=fcm(data,cluster_n)其中，data为归一化后的样本数据，每一行是一个样本；cluster_n为聚类数；center返回最终的聚类中心矩阵；U为最终的模糊分区矩阵；obj_fcn为迭代过程中的目标函数值（越小越好）。代码：（X为前面已归一化的样本数据）center,U, obj_fcn=fcm(X,5)maxU=max(U);index1 = find(U(1,:)=maxU); %第一类index2 = find(U(2,:)=maxU); %第二类index3 = find(U(3,:)=maxU); %第三类index4 = find(U(4,:)=maxU); %第四类index5 = find(U(5,:)=maxU);