高中数学圆与直线知识点与各类提高习题(附答案)

1、圆与直线知识点圆的方程：（ 1）标准方程： ( xa) 2( yb) 2r 2（圆心为 A(a,b), 半径为 r）（ 2）圆的一般方程：x 2y2DxEyF0（ D2E24F 0）DE1D2E 24 F圆心（- 2 ，-2）半径 2点与圆的位置关系的判断方法：根据点与圆心的距离d 与 r 在大小关系判断直线与圆的位置关系判断方法（ 1）几何法：由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。d=r 为相切， d>r 为相交， d<r 为相离。适用于已知直线和圆的方程判断二者关系，也适用于其中有参数，对参数谈论的问题。利用这种方法，可以简单的算出直线与圆相交时的相交弦的长，以及当直线

2、与圆相离时，圆上的点到直线的最远、最近距离等。（ 2）代数法：由直线与圆的方程联立得到关于x 或 y 的一元二次方程 ,然后由判别式来判断。=0 为相切， >0 为相交， <0 为相离。利用这种方法，可以很简单的求出直线与圆有交点时的交点坐标。4圆与圆的位置关系判断方法（ 1）几何法：两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：1）当 lr1r2 时，圆 C1 与圆 C2 相离； 2）当 lr1r2 时，圆 C1 与圆 C2 外切；3）当 | r1r2| l r1r2 时，圆 C1 与圆 C2 相交； 4）当 l| r1r 2 | 时，圆 C1 与圆 C2 内切；

3、5）当 l| r1r2 | 时，圆 C1 与圆 C2 内含；（ 2）代数法：由两圆的方程联立得到关于x 或 y 的一元二次方程, 然后由判别式来判断。=0 为外切或内切， >0 为相交， <0 为相离或内含。若两圆相交，两圆方程相减得公共弦所在直线方程。5. 直线与圆的方程的应用：利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系选择题1圆 (x 1)2( y3) 21 的切线方程中有一个是（）A x y 0B xy0C x0D y 02若直线 ax2 y10 与直线 xy 20 互相垂直，那么a 的值等于（）A 1B1C223D33设直线过点 (0, a), 其斜率为 1，且与圆 x2y2

4、2 相切，则 a 的值为（） 4 22 224平面的斜线 AB 交于点 B ，过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直，且交于点 C ，则动点 C 的轨迹是（）A 一条直线B 一个圆C一个椭圆D双曲线的一支x2（ 为参数）所表示的曲线是（）5参数方程tanycotA 圆 B直线 C两条射线 D线段6如果直线 l1, l2 的斜率分别为二次方程 x24x 1 0 的两个根，那么 l1 与 l2 的夹角为（）ABCD34687已知 M( x, y) | y9x2 , y0 ， N( x, y) | yxb ，若 MN，则 b（）A3 2,32 B( 3 2,32)C ( 3,32D3,3 28一束

5、光线从点A(1,1)出发，经 x 轴反射到圆 C : ( x2) 2( y3)21 上的最短路径是（）A 4B5C3 2 1D2 69若直线 ax2by2 0(a,b0) 始终平分圆 x2y24x2y80 的周长，则12ab的最小值为（）A 1B5C4 2D3 2 210已知平面区域 D 由以 A 1,3 、 B5,2 、 C 3,1 为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域 D 上有无穷多个点x, y 可使目标函数 zxmy 取得最小值，则 m（）A 2B 1C 1D 411、设 M1020001 , N1020011 ， P1020009 ,Q1020019 ，则 M 与 N、P与Q的大小关

6、10200111020021102001100102002100系为()A. M N,P Q B.M N,P QC.M N,P QD.M N,P Q12、已知两圆相交于点A(1,3)和点B(m, 1)，两圆圆心都在直线l : xyc0 上，则 mc 的值等于A -1B 2C3D013、三边均为整数且最大边的长为11 的三角形的个数为()A.15B.30C.36D.以上都不对14、设 m0，则直线2( xy) m10 与圆 x2y 2m 的位置关系为（）A. 相切B.相交C. 相切或相离D.相交或相切15 、 已 知 向 量 m( 2 cos, 2 sin n),(3 cos, 3 sin若 m

7、 与 n 的 夹 角 为 60，则直线l : x cosysin10 与圆 C : (xcos)2( ysin)21的位置关系是（） A相22交但不过圆心B相交过圆心C 相切D相离16、已知圆 O : ( x 3)2( y5)236 和点 A(2,2), B( 1,2) , 若点 C 在圆上且ABC 的面积为5,则满足条件的点 C 的个数是2（）A.1 B.2 C.3D.417、若圆 C1 : ( xa)2( yb)2b21 始终平分圆 C2: (x1)2( y1)24的周长 , 则实数 a, b 应满足的关系是()A a22a230B a22a2b 50bC a2222a21 0D3a22b

8、22a2b 10bb18、在平面内 , 与点A(1,2) 距离为 1,与点B(3,1)距离为 2的直线共有()A.1条B.2条C. 3条D. 4条填空题1、直线 2x y4=0 上有一点 P，它与两定点A(4， 1)，B(3， 4)的距离之差最大，则 P 点坐标是 _2、设不等式 2x1m(x21) 对一切满足m2 的值均成立，则x 的范围为。3、已知直线 l : xy40 与圆 C : x12y122，则 C 上各点到 l 的距离的最大值与最小值之差为。x21 t4、直线2(t为参数 ) 被圆 x2y24截得的弦长为 _ 。y 1 1 t25、已知圆 M : ( xcos ) 2( ysin

9、 ) 21，直线 l : ykx ，以下命题成立的有_。对任意实数 k 与，直线 l和圆 M 相切；对任意实数 k 与，直线 l和圆 M 有公共点；对任意实数，必存在实数k ，使得直线 l 和圆 M对任意实数k ，必存在实数，使得直线 l 和圆 M相切相切6、点 A( 3，3)发出的光线l 射到 x 轴上被 x 轴反射，反射光线与圆C : x2y24x4y70 相切，则光线 l 所在直线方程为_。7、直线 ym x 与圆 x2 y 2 mx ny 4 0 交于 M 、N 两点，且 M 、N 关于直线 x y 0 对称，2则弦 MN 的长为。8、过圆 x2y24 内一点 A(1,1) 作一弦交圆

10、于B、 C 两点 , 过点 B、 C 分别作圆的切线PB、 PC ，两切线交于点 P ，则点 P 的轨迹方程为。解答题1、设数列 an 的前 n 项和 Snna n(n 1)b ， (n 1,2,) ， a、 b 是常数且 b 0 。（ 1）证明： an是等差数列；（2）证明：以an, Sn1为坐标的点 Pn ， ( n 1,2,) 落在同一直线上，并求直线方程。n（ 3）设 a 1,b1， C 是以 (r , r ) 为圆心， r 为半径的圆 (r 0) ，求使得点 P1、 P2、P3 都落在圆 C2外时， r 的取值范围。2、求与圆 x2y25 外切于点 P( 1,2) ，且半径为 2 5

11、 的圆的方程y3、如图，已知圆心坐标为 M (3,1) 的圆 M 与 x 轴及直线Dy3x 均相切，切点分别为A、 B，另一圆 N 与圆 M 、Nx 轴及直线 y3x 均相切，切点分别为 C 、 D 。（ 1）求圆 M 和圆 N 的方程；B（ 2）过 B 点作 MN 的平行线 l ，求直线 l 被圆 NM截得的弦的长度；xOAC4、如果实数x 、 y 满足 ( x 2)2 y2 3 ，求 y 的最大值、 2y x 的最小值。x5、已知圆 C : (x1)2( y2)225 ，直线 l : (2 m1)x(m1)y7m40 ， (mR) 。（ 1）证明：不论 m 取什么实数，直线 l（ 2）求直

12、线被圆 C 截得的弦长最小时 l与圆恒交于两点；的方程 .6、已知 O 为原点， 定点 Q(4,0) ，点 P 是圆 x2y24 上一动点。P（ 1）求线段 PQ 中点的轨迹方程；R（ 2）设 POQ 的平分线交 PQ 于 R ，求 R 点的轨迹方程。OQ7、如图所示，过圆O : x2y24y轴正半轴的交点A 作圆的切线ll上任意一点，再过M作圆与， M为的另一切线，切点为Q，当点 M在直线 l 上移动时，求三角形MAQ的垂心的轨迹方程。8、已知圆 M : x2( y2) 21， Q 是 x 轴上的动点， QA ， QB 分别切圆 M 于 A ， B 两点，求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程

13、。yMBPA1C圆心为 （ 1，3 ），半径为 1，故此圆必与 y 轴（ x=0 ）相切，OQx选 C.2D 由 A1A2 B1 B20 可解得3 C直线和圆相切的条件应用，x y a 0,a2,选 C;2, a24A 过点 A 且垂直于直线 AB 的平面与平面的交线就是点C 的轨迹，故是一条直线 .x25 C原方程2| y |6A 由夹角公式和韦达定理求得7 C数形结合法，注意y9 x, y 0xy9( y 0)2等价于228 A 先作出已知圆C 关于 x 轴对称的圆 C ' ，问题转化为求点A 到圆 C ' 上的点的最短路径，即|AC'| 14 9D 已知直线过已知

14、圆的圆心（2，1），即 ab1所以1 2( 1 2 )( a b) 3b 2a322a baba b10 C由 A 1,3、 B5,2 、 C 3,1 的坐标位置知，ABC 所在的区域在第一象限，故x 0, y 0 .由z x my 得 y1 xz ，它表示斜率为1.mmm（ 1）若 m0 ，则要使 zxmy 取得最小值，必须使zm（ 2）若 m0 ，则要使 zxmy 取得最小值，必须使zm与 m0 矛盾 .综上可知， m 1.最小，此时需1kAC13 ，即m31最小，此时需1kBC12 ，即m35mm1；2，11 解：设点 A( 1, 1) 、点 B(102001 ,102000 ) 、点

15、C(102002 ,102001 ) ，则 M、N 分别表示直线AB、AC的斜率， BC 的方程为 y1x ，点 A 在直线的下方，K ABK AC ，即 MN；10同理，得 P Q 。答案选 B 。 仔细体会题中4 个代数式的特点和“数形结合”的好处12A, B 关于直线 xyc0 对称 , kAB41解：由题设得：点m11 m 5；kl线段 AB 的中点(3,1)在直线 x yc0上， c2mc3 ，答案选 C。13解：设三角形的另外两边长为x,y,则0x110y11；注意“ =”号，等于11 的边可以多于一条。xy11点 (x, y) 应在如右图所示区域内：当 x=1 时， y=11；当

16、 x=2 时， y=10,11；当 x=3 时， y=9,10,11；当x=4 时， y=8,9,10,11；当 x=5 时， y=7,8,9,10,11。以上共有15 个， x,y 对调又有 15 个。再加 (6， 6）， (7， 7）， (8，8）， (9， 9），(10， 10）、 (11， 11），共 36 个，答案选C。14 解：圆心(0,0) 到直线的距离为1md，圆半径 rm 。2 d r1 mm1 ( m 1)20 ，22直线与圆的位置关系是相切或相离，答案选C。15 解：m n6(cos cos sin sin)cos()cos6001 ，| m | | n |2 32圆心

17、C (cos ,sin ) 到直线 l 的距离 d| cos()1 |12r ，22直线与圆相离，答案选D。复习向量点乘积和夹角余弦的计算及三角函数公式16 解 : 由题设得：AB5 ，S ABC5点 C 到直线 AB 的距离 d1,，2直线 AB 的方程为4x3y20, 与直线 AB 平行且距离为1 的直线为l1 : 4x3 y30l2 : 4x3 y70得：圆心 O(3,5) 到直线 l1 的的距离 d16r , 到直线 l2 的距离为 d24r ,圆 O 与直线 l1 相切；与直线 l2 相交 ,满足条件的点 C 的个数是 3，答案选 C17 解：公共弦所在的直线l 方程为：( x1)2

18、( y1)2 -4 -(xa)2( yb)2 -b2 -1 =0 ，即： 2(1a)x2(1)a210 ，b y圆 C1 始终平分圆 C2 的周长，圆 C2 的圆心1,1 在直线 l 上,2(1a)2(1b)a210，即 a22a2b50 ，答案选。B18 解：直线 l与点 A(1,2)距离为 1，所以直线 l 是以 A 为圆心1 为半径的圆的切线，同理直线l 也是以 B 为圆心2 为半径的圆的切线，即两圆的公切线，AB5 3，两圆相交，公切线有2 条，答案选 B。想一下，如果两圆相切或相离，各有几条公切线？B填空题1 解： A 关于 l 的对称点 A， A B 与直线 l 的交点即为所求的

19、P 点。得 P(5， 6）。C想一想，为什么，B与直线l的交点即为所求的P点？AA如果 A、 B两点在直线的同一边，情况又如何？B2 解：原不等式变换为( x21)m(12x)0 ，PA设： f (m)(x21)m(12x) ， (2m2) ，按题意得： f (0, f (2)0 。2)2x22x 3071x31。P即：2x102x2223 解：圆心 C 1,1 到直线的距离 =11422r2 ，直线与圆相离，11C 上各点到 l 的距离的最大值与最小值之差= 2r = 22 。4解：直线方程消去参数t 得： xy10，圆心到直线的距离d122，弦长的一半为222(2 ) 214，得弦长为14

20、 。225 解：圆心坐标为Mcos,sindk cossin2（ ）sin()1r ，所以命题成立。1ksin1 k 21 k 2仔细体会命题的区别。6 解：光线 l 所在的直线与圆C 关于 x 轴对称的圆 C ' 相切。圆心 C ' 坐标为2, 2 ，半径 r1，直线过点 A(3， 3)，设 l 的方程为： y3k( x3) ，即： kxy3k30圆心 C'到直线 l 的距离 d2k23k31，12k225K12043k21解得： k3 y 30 或 3x 4y30。或 k，得直线 l 的方程： 4x347 解：由直线 ym x 与直线 xy0垂直m2，由圆心在直线x

21、y0上n2 ，2圆方程为 (x1)2( y 1)26 ，圆心为1,1 ，圆心到直线的距离d111 02 ，1弦 MN 的长 = 2 r 2d 226248 解：设 P( x0 , y0 ) , 根据题设条件，线段BC 为点 P 对应圆上的切点弦，直线 BC 的方程为 x0 xy0 y4 ,A点在 BC 上，x0y04 ,即 P 的轨迹方程为：xy4。注意掌握切点弦的证明方法。1、设数列an的前 n 项和 Snnan(n1)b ， (n1,2,) ， a、 b 是常数且 b0 。（ 1）证明： an是等差数列；（2）证明：以an , Sn1为坐标的点 Pn ， ( n1,2,) 落在同一直线上，

22、并求直线方程。n（ 3）设 a1,b1， C 是以 (r , r ) 为圆心，r为半径的圆 (r0) ，求使得点1、 P2、P3 都落在圆 C2P外时， r 的取值范围。1 解：（ 1）证明：由题设得a1S1a ；当 n 2 时，anSnSn1nan(n1)b( n1)a( n1)( n2)ba2(n1)b ，anan1a 2(n1)ba2(n2)b2b 。所以an 是以 a 为首项，2b 为公差的等差数列。证毕；（ 2）证明： b0 ，对于 n 2，Sn1S11nan(n1)ba(n1)b1kP Pn1an 1ana1a 2( n 1)ba2(n1)b2以an, Sn1为坐标的点Pn， (n

23、1,2,) 落在过点P1 (a,a1)，斜率为1 的同一直线上，n2此直线方程为：y( a1)1 (xa) ，即 x2 ya20。12（ 3）解：当 a1,b时，得 P11,0、 P22,1、 P33,1，都落在圆 C 外的条件是22( r 1)2r 2r 2(r 1)20( r 1)2(r1 ) 2r 2r 25r17024( r 3) 2( r 1)2r 2r 28r 10 0由不等式，得r 152 或 r5+2由不等式，得r22由不等式，得r 46 或 r 4+6再注意到 r 0，1 52 46 = 5+ 24+622使 P1、 P2、P3 都落在圆 C 外时， r 的取值范围是 (0，

24、 1) (1, 5 2 ) (4+6 ,+ )。22、求与圆 x2y25 外切于点 P( 1,2) ，且半径为 2 5 的圆的方程(a1)2(b 2)2(2 5)232 解一：设所求圆的圆心为C (a,b) ，则b2a，（ ）b6a11所求圆的方程为 ( x 3)2( y 6)220 。 注：因为两圆心及切点共线得（1）式解二：设所求圆的圆心为C (a,b) ，由条件知 OP1 OC( 1,2)1 ( a, b)33a3，所求圆的方程为(x 3)2( y6) 220。yb6仔细体会解法 2，利用向量表示两个圆心的位置关系，同时体现了共线关系和长度关系，显得更简洁明快，值得借鉴。3、如图，已知圆

25、心坐标为M ( 3,1) 的圆 M 与 x 轴及直线y 3x 均相切，切点分别为 A 、 B ，另一圆 N 与圆 M 、x 轴及直线 y3x 均相切，切点分别为C 、 D 。（ 1）求圆 M 和圆 N 的方程；（ 2）过 B 点作 MN 的平行线 l ，求直线 l 被圆 N 截得的弦的长度；解：（ ）由于圆M与 BOA 的两边相切，故MO3到 OA 及 OB 的距离均为圆1BOA 的角平分线上，同理，N 也在BOA 的角平分线上，即 O、 M、N 三点共线，且OMN 为BOA 的角平分线，DNBMxCM 的A半径，则 M 在M 的坐标为 M(3,1)，M 到 x 轴的距离为1，即：圆 M 的半

26、径为 1，圆 M 的方程为 ( x3)2( y1)21 ；设圆 N 的半径为 r ，由 RtOAM RtOCN ，得： OM : ONMA:NC,即21r3， OC33 ，圆 N 的方程为： (x33)2( y3) 29 ；3rrA 点的 MN 的平行线被圆N 截得的弦长，（ 2）由对称性可知，所求弦长等于过此弦所在直线方程为y3 ( x3) ，即 x3 y30 ，3圆心 N 到该直线的距离d333333，则弦长 = 2r 2d 233132注：也可求得 B 点坐标3 , 3，得过 B 点 MN 的平行线 l 的方程 x3y30 ，再根据圆心 N 到22直线 l 的距离等于3 ，求得答案33

27、；还可以直接求A 点或 B 点到直线的距离，进而求得弦长23 ，求 y 的最大值、 2y4、如果实数 x 、 y 满足 ( x2)2y2x 的最小值。xy 的最大值。41( x2)2y23上点到原点的连线的斜率k解：（ ）问题可转化为求圆x设过原点的直线方程为ykx ，由图形性质知当直线斜率取最值时，直线与圆相切。得：2k03，k3 ，x3k 21ymax（ 2） x, y 满足 (x 2)2y23，x23 cosy3 sin2x y423cos3sin415sin()2xy min415 。注意学习掌握解（2）中利用圆的参数方程将关于x,y 的二元函数转化为关于角的一元函数，从而方便求解的技

28、巧。5、已知圆 C : (x1)2( y 2)225 ，直线 l : (2 m 1)x (m 1)y 7m 40 ， (m R) 。（ 1）证明：不论 m 取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；（ 2）求直线被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程 .5 解：（ 1）解法 1： l 的方程 ( xy4)m(2 xy7)0 ， ( mR)2xy7 0,x3,即 l 恒过定点A(3,1)xy 40,y1,圆心坐标为 C (1,2) ，半径 r5， AC5r ，点 A 在圆 C 内，从而直线l 恒与圆 C 相交于两点。3)2解法 2：圆心到直线 l 的距离 d|3m1|， d 25(4m05m26m25m26m2d 5 5 r ，所以直线 l 恒与圆