高中数学-4《坐标系与参数方程》复习提纲

1、精品资料欢迎下载选修 4-4 坐标系与参数方程复习提纲一、选考内容坐标系与参数方程高考考试大纲要求1坐标系： 理解坐标系的作用. 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程. 通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别 .2

2、参数方程： 了解参数方程，了解参数的意义. 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程. 了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.二、基础知识梳理1伸缩变换： 设点 P(x,y) 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换:xx,(0),的作用下，点yy,(0).P(x,y) 对应到点 P ( x , y ) ，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 ，简称 伸缩变换 .2. 极坐标系的概念：在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线x 叫做极轴 ；再选定一个长度单位、一个角度单位 ( 通常

3、取弧度 ) 及其正方向 ( 通常取逆时针方向) ，这样就建立了一个极坐标系 .3点 M的极坐标： 设 M是平面内一点，极点与点M的距离 OM 叫做点 M的极径，记为；以极轴 x为始边，射线 OM为终边的 XOM叫做点 M的极角 ，记为.有序数对 ( ,)叫做点M的极坐标，记为 M( , ).极坐标 (,)与( ,2k )(kZ)表示同一个点 . 极点 O的坐标为 (0,)(R ) .4. 若0, 则0, 规定点 (, )与点( ,) 关于极点对称，即(,) 与 (,) 表示同一点 .如果规定0,02 ，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标( ,) 表示；同时，极坐标( , ) 表示的点也是

4、唯一确定的 .2x2y2 ,xcos,5极坐标与直角坐标的互化：sin, tany0)y( xx6. 圆的极坐标方程：精品资料欢迎下载在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是r ；在极坐标系中，以C (a,0) ( a>0 ) 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是2a cos；在极坐标系中，以C (a,) ( a>0 ) 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是2a sin；27. 直线的极坐标方程：在极坐标系中，(0) 表示以极点为起点的一条射线；(R ) 表示过极点的一条直线 .在极坐标系中，过点A(a,0)( a 0) ，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是co

5、sa .8参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标中x,y 都是某个变数 t 的函数xf (t ),的每一个允许值， 由这个方程所确定的点M(x,y) 都在这条曲线上， 那么这个方程y并且对于 tg(t),就叫做这条曲线的 参数方程 ，联系 x,y 的变数 t 叫做 参变数 ，简称 参数 . 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做 普通方程 .9常见曲线的参数方程（ 1）圆 ( x a)2( y b) 2r 2 的参数方程可表示为xar cos ,(为参数).ybr sin .x2y 21(a>b>0) 的参数方程可表示为xa cos ,为参数).

6、（ 2）椭圆b 2y(a2b sin .（ 3）抛物线 y22 px 的参数方程可表示为x2pt 2 ,(t为参数 ) .y2pt.（ 4）经过点 M O ( xo , yo ) ，倾斜角为的直线 l 的参数方程可表示为xxot cos ,yyo（ t 为参数） .t sin .10 在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围. 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y 的取值范围保持一致 .三、典型例题分析考点 1、极坐标与直角坐标互化例题 1.1 、在极坐标中，求两点P(2,), Q (2,) 之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程.44例 1.2 、已知圆 C： ( x1)2(

7、 y3) 21，则圆心 C 的极坐标为 _ (0, 02)答案：（ (2, 2)）3精品资料欢迎下载考点2、极坐标与直角坐标方程互化例题2.1 、已知曲线C 的极坐标方程是4sin以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C 直角坐标方程.解：曲线C 的极坐标方程4sin可化为24sin, 其直角坐标方程为x2y24y0 ，即x2( y2) 24.例2.2 、设过原点O 的直线与圆C ： ( x1)2y21的一个交点为P ，点M为线段OP 的中点.(1) 求圆 C的极坐标方程；(2) 求点 M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线解：（ 1）圆 (x 1)2y2

8、1的极坐标方程为2cos，（ 2）设点P 的极坐标为 (1, 1) ，点 M 的极坐标为 (, )，点 M 为线段 OP的中点， 12， 1，将12 ， 1代入圆的极坐标方程，得cos 点 M 轨迹的极坐标方程为cos，它表示圆心在点(1 ,0) ，半径为 1 的圆 .22例 2.3、在极坐标系中，求圆2 与直线 cos3 sin6 的位置关系 .考点 3、参数方程与直角坐标方程互化3.1 、已知曲线x210 cos为参数） ，曲线 C 2 的极坐标方程为例题C1 的参数方程为（y10 sin2 cos6 sin（ 1）将曲线 C1 的参数方程化为普通方程，将曲线C2 的极坐标方程化为直角坐标

9、方程；（ 2）曲线 C1 ， C 2 是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由解：（ 1）由x210 cos得 ( x2) 2y210曲线 C1的普通方程为 (x2)2y210y10 sin，2cos6sin，22 cos6sin，2x2y 2 , xcos, ysin x 2y22x 6 y ， 即 (x 1) 2( y 3) 210，曲线C2的直角坐标方程为(x 1) 2( y 3) 210（ 2） 圆 C1 的圆心为 (2,0) ，圆 C2 的圆心为(1,3) ， C1C2( 21) 2(03)232 210精品资料欢迎下载两圆相交， 设相交弦长为 d ，因为两圆半径相等，

10、 所以公共弦平分线段C1C2 ， ( d )2( 32 ) 2(10) 222 d22 例 3.2、在椭圆x2y21上找一点，写出椭圆的参数方程并在椭圆上找这一点到直线x2 y120 的1612距离的最小值解：设椭圆的参数方程为x4cos， d4cos4 3 sin12y23 sin545 cos3sin345 2cos()3 ，当cos()1时， dmin45，此时所求点为55335(2,3) .例题 3.3、已知直线 l经过点P(1,1), 倾斜角6，写出直线 l的参数方程 ;设 l 与圆 x 2y24 相交与两点 A, B ，求点 P 到 A, B 两点的距离之积 .x1t cos6 ，

11、即x13 t解 ：（ 1）直线的参数方程为2 y1t sin6y11 t2x13 t3 t) 21 t) 2（ 2）把直线2代入 x 2y24，得 (1(14, t 2( 31)t20 ，y11 t222t1t22 ， 则点 P 到 A, B 两点的距离之积为2 x14 t例题 3.4、求直线5（ t为参数 ）被曲线2 cos() 所截的弦长 .y134t54解：将方程x15 t，2 cos(4) 分别化为普通方程：3x4 y10，3y1t5x2y2xy圆心 C（ 1 ， 1），半径为2 圆心到直线的距离d 1，0,22210精品资料欢迎下载22117弦长 2 rd2100.25考点 4：利用

12、参数方程求值域例题 4.1 、已知点 P(x, y) 是圆 x2y22 y 上的动点，求2xy 的取值范围 .C1 ：x1(为参数）C 2 ：x221 t(t为参数 ）例题 4.2 、在曲线2cos上求一点，使它到直线1ysiny1t2的距离最小，并求出该点坐标和最小距离.解：直线 C 化成普通方程是x+y+2 2-1=0 ，设所求的点为P（ 1+cos,sin),则C到直线C 的距离22d= |1cossin221 |=|sin(+)+2| ，当3时，即=5时， d 取最小值1此时，点 P的24424坐标是（ 1-2， -2）22四、基础练习1曲线 C:xcos1.为参数 ) 的普通方程为

13、()ysin(1A、 (x-1) 2+(y+1) 2=1B、 (x+1) 2+(y+1) 2 =1C 、(x+1) 2+(y-1) 2=1D、 (x-1)2 +(y-1) 2=12. 在极坐标系中，圆心在(2，) 且过极点的圆的方程为（）A.22 cosB.22 cos C.22 sin D.22 sin3. 极坐标方程2 cos21 所表示的曲线是（）A两条相交直线BC椭圆D4在极坐标系中，直线l 的方程为sin3，则点 (2 ，) 到直线 l 的距离为65. 在平面直角坐标系xt 3R) ，圆 C 的参数方程为xOy 中，直线 l 的参数方程为3(参数 tytx2cos参数，则圆 C 的圆

14、心坐标为，圆心到直线l的距离y2sin(0 2)2为.精品资料欢迎下载6已知曲线 C1 , C 2 的极坐标方程分别为cos3,4 cos（0,0），则曲线 C1 与 C2 交2点的极坐标为 _.7. 在极坐标系中，已知点A（1， 3）和 B (2,) ,则 A、 B两点间的距离是448. 在极坐标系中， 直线R ）与圆4cos4 3sin交于 A 、B 两点，则 AB（39. 在极坐标系中，圆cos 与直线cos1的位置关系是10.在极坐标系中，圆2上的点到直线cos3 sin6的距离的最小值是_ 11.在极坐标系中，过点22,作圆4sin的切线，则切线的极坐标方程是412在极坐标系中，已知

15、直线过点（1，0），且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为，则直3线的极坐标方程为 _.13.已知圆 C 的参数方程为x cos1,为参数 ),则点P4,4 与圆 C 上的点的最远距离ysin(是.14.在平面直角坐标系xOy 中，点 P 的直角坐标为 (1,3) . 若以原点 O为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点 P 的极坐标可以是15.在极坐标系中，点1,0 到直线cossin2 的距离为16. 已知直线 l : x y 40与圆 C:x 1 2cosy 1 2sin，则 C 上各点到 l 的距离的最小值为.17.在极坐标系 (, )（02 ）中，过点 (2 ,) 作极轴的垂线，垂足为M ，则 M 点的极坐标3为18.x3t ,（