高中数学必修知识点归纳

1、2 、空间几何体的直观图必修 2 知识点归纳第一章空间几何体1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体常见的 多面体 有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体 有：圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体拼接而成，例如课本图1.1-11中（ 1）（2）物体表示的几何体；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，例如课本图1.1-11中（ 3）（4）物体表示的几何体。简单组合体棱柱 ：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。棱台： 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样

2、的多面体叫做棱台。1、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。（1）定义：正视图 ：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；侧视图 ：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；俯视图 ：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。几何体的 正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图 。（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”（表示空间图形的平面图）.观察者站在某一点观察几何体，画出的图形 .3、斜二测画法的基本步骤： 建立适当直角坐标系xO

3、y （尽可能使更多的点在坐标轴上） 建立斜坐标系'O''，使' ' '00xyxOy=45（或 135 ），注意它们确定的平面表示水平平面； 画对应图形 ，在已知图形平行于 X 轴的线段， 在直观图中画成平行于X 轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段， 在直观图中画成平行于Y 轴，且长度变为原来的一半；一般地，原图的面积是其直观图面积的22倍，即 S2 2S原图直观4、空间几何体的表面积与体积圆柱侧面积 ； S侧面2rlrll侧 2r?lSrABAB=2 r圆锥侧面积：S侧面rlA图中：扇形的半径长为 l，l圆心角为 ，弧 AB 的长

4、VL?l(注：扇形的弧长等于ll圆心角乘以半径 .提醒圆心角h为弧度角，例如60° 弧度，rB3圆锥的侧面展开图是扇形，45° 弧度， 90° 弧度等等 )142扇形面积 S扇形弧长半径2圆台侧面积： S侧面rlR lO 1rhlO 2ROR体积公式：d柱体S hV1S hrO1V；锥体3；d=R2-r21S上 S下S下V台体h S上3球的表面积和体积：S球 4R2，V球4R 3 . 一般地，面积比等于相似比的平方， 体积比等于相似比的立方。第二章点、直线、平面之间的位置关系及其论证1、公理 1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。lAl ,

5、B l ABA, Bl公理 1 的作用：判断直线是否在平面内2、公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。CB A若 A，B， C 不共线，则 A，B，C 确定平面推论 1：过直线的直线外一点有且只有一个平面Al若 Al ，则点 A 和 l 确定平面推论 2：过两条相交直线有且只有一个平面Alm若 mn A ，则 m,n 确定平面推论 3：过两条平行直线有且只有一个平面mn若 mn ，则 m, n 确定平面公理 2 及其推论的作用：确定平面；判定多边形是否为平面图形的依据。3、公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线。PLP, Pl且P l&

6、#183;公理 3 作用：（ 1）判定两个平面是否相交的依据；（ 2）证明点共线、线共点等。4、公理 4：也叫平行公理， 平行于同一条直线的两条直线平行. ab,cbac公理 4 作用：证明两直线平行。5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。aaa , bb 且 1与2方向相同1 21bba 'a1a'22b '方向相反则b 'a , b b1212 180方向相同则a1+2180 °且 与方向相反1 2作用：该定理也叫等角定理，可以用来证明空间中的两个角相等。6、线线位置关系：平行、相交、异面。ab,abA ,a,b异面

7、（ 1）没有任何公共点的两条直线平行a（ 2）有一个公共点的两条直线相交Ab（ 3）不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线7、线面位置关系：aaaA(1)(2)(3)（ 1）直线在平面内，直线与平面有无数个公共点；a（ 2）直线和平面平行，直线与平面无任何公共点；a（ 3）直线与平面相交，直线与平面有唯一一个公共点；aA8、面面位置关系：平行、相交。9、线面平行： （即直线与平面无任何公共点）判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）aba /a / b证明两直线平行的主要方法是： 三角形中位线定理：三角形中位线

8、平行并等于底边的一半； 平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行；3 线面平行的性质： 如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行；aaabb平行线的传递性 ： ab, cbac面面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行；a a bba垂直于同一平面的两直线平行；abb直线与平面平行的性质： 如果一条直线平行于一个平面， 经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行； （上面的）10、面面平行： （即两平面无任何公共点）（ 1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。a

9、, b a b A a ,b判定定理的推论： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面上的两条直线分别平行，两平面平行a,babAa a ,b b a ,b（ 2）两平面平行的性质：性质：如果一个平面与两平行平面都相交，那么它们的交线平行；aabb性质：平行于同一平面的两平面平行；性质：夹在两平行平面间的平行线段相等；A,CACBDB, DABCD性质：两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行；a或aaa11、线面垂直：定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。l m l nlmn

10、Am, n性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。aabbl性质：垂直于同一直线的两平面平行l12、面面垂直：定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。l（只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直）l性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。mlllm证明两直线垂直和主要方法：利用勾股定理证明两相交直线垂直；利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直；利用线面垂直的定义证明（特别是证明异面直线垂直）；利用三垂线定理证明两直线垂直（“三垂”指的是“线面垂” “线影垂”，

11、“线斜垂”）P如图：POOA是 PA在平面上的射影斜又直 线a, 且 aa PAOAAa即：线影垂直线斜垂直，反之也成立。影 O线利用圆中直径所对的圆周角是直角，此外还有正方形、菱形对角线互相垂直等结论。空间角及空间距离的计算1. 异面直线所成角： 使异面直线平移后相交形成的夹角，通常在在两异面直线中的一条上取一点，过该点作另一条直线平行线，如图：直线a与 b异面， b/b，直线 a与直线 b 的夹角为两异面直线 a与 b所成的角，异面直线所成角取值范围是（0，90 2. 斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。如图： PA 是平面的一条斜线， A 为斜足， O为垂足， OA叫斜线

12、PA 在平面上射影，PAO 为线面角 。3. 二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角l，二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直如图：在二面角- l -中， O棱上一点， OA， OB，且OAl ,OBl ,则AOB为二面角- l -的平面角。用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是：明确构成二面角两个半平面和棱；明确二面角的平面角是哪个？而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。（求空间角的三个步骤是“一找”、“二证”、“三计算”）4. 异面直线间的距离：指夹在两异面直线之间的公垂线段的长度

13、 。如图 PQ 是两异面直线间的距离（异面直线的公垂线是唯一的，指与两异面直线垂直且相交的直线）5. 点到平面的距离：指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。如图： O为 P 在平面上的射影，线段 OP的长度为点P 到平面的距离求法通常有：定义法和等体积法等体积法：就是将点到平面的距离看成是三棱锥的一个高 。如图在三棱锥 VABC中有： VSABCVA SBC VB SAC VC SAB第三章直线与方程1. 直线方程的概念：一条直线 l 与一个二元一次方程F(x, y)Ax By C0有如下两个对应：直线 l 上任意一点的坐标( x, y) 都满足方程F(x, y) Ax By C 0 ；以方

14、程 F(x, y) Ax ByC 0的解为坐标的点( x, y) 都在直线 l 上。则称方程 F (x, y)AxByC0为直线 l 的方程 ，直线 l 为方程的直线。2. 直线倾斜角的定义：把直线向上的方向与x 轴的正方向形成的最小正角叫直线的倾斜角。3. 直线倾斜角的范围：0180 ，当直线与x 轴平行或者是重合时，倾斜角为04. 直线斜率的定义 ：倾斜角不为 90 直线， 倾斜角的正切值叫直线的斜率 。记作 ktan(90 )当倾斜角为90 时直线的斜率不存在。5、直线 l 过点 P1 ( x1 , y1 ), P2 (x2 , y2) ，则直线的斜率为：ky2y1 ( x1x2 )x2

15、x16、直线方程的表示形式：点斜式 ： yy 0kxx 0，当斜率不存在 时，直线与 x 轴垂直，倾斜角为90，此时直线方程为： xx0，如右图，特 别地 y 轴所在直线方程为 x0 。当直线斜率k0 时，直线与 x 轴平行或者是重合直线方程为： yy0， x 轴所在的直线方程为y0 。斜截式：ykxb （ b 为直线在 y 轴上的 截距）当直线过 y 轴上一定点 (0, b) 时，通常设直线方程为：ykxb ，例如直线 l 过定点(0, 2) ，设 l : y kx2 。当直线过 x 轴上一定点（a,0）时，通常设直线方程为：xmya ，例如直线 l 过定点 (2, 0) ，设 l : xm

16、y2两点式 ：yy1xx1y2y1x2x1截距式 ：xy1(a0, b0) ，ab一般地，问题中出现两个截距时，通常设直线方程为xy1(a 0, b0) 。ab方程中 a,b 分别表示直线的 横截距和纵截距 ，一般地，在直线方程中，令y0 可求得横截距 a ，令 x0可求得纵截距 b一般式 ： AxByC0 (A2B20)，所有直线方程都可化为一般式。当 B0 ，直线的 斜率 kAC，当 B0 时，直线 斜率不存在 ，方程可化为 xBA7、 两直线的位置关系的判定：当两直线倾斜角相等时，即时，两直线 平行 ；当两直线倾斜角满足| 90 时，两直线 垂直 ；当两直线倾斜角不相当时，两直线相交。对

17、于直线l1 : yk1 xb1 , l 2: yk 2 xb2 有： l 1 / /l 2k1k2 ； l1 和 l2 相交k1k2 ；b1b2 l 1 和 l 2 重合k1k2； l1l 2k1 k21 .b1 b2对于直线 l 1 : A1 x B1 yC10, l 2: A2 xB2 yC20 有： l 1 / /l 2A1 B2A2 B1 ；（2） l1 和 l 2 相交A1 B2A2B1；B1 C2B2C1 l 1 和 l 2 重合A1 B2A2 B1 ； l1l 2A1 A2B1B20 .B1 C2B2 C18、交点与距离公式（ 1）两直线 l 1 : A1 xB1 yC10, l

18、 2 : A2 xB2 yC20 的交点坐标需将两直线方程组成A1 xB1 yC10方程组求解，即：A2 xB2 yC20当有唯一解时， 两直线相交； 当无解时， 两直线平行； 当有无数个解时，两直线重合 。（ 2）过两直线 l1 : A1 x B1 yC1 0, l 2 : A2 x B 2 y C2 0 交点的 直线系方程 为：A1 x B1 y C1( A2 x B2 y C 2 ) 0将含有一个参数的直线方程化为直线系方程的样式就可解决直线恒过定点问题。（ 3）两点间距离公式：22PP2x 2 x1y2 y11（4）点 0 0)到直线 l : AxByc0 距离公式： dAx0 By0

19、 C0P ( x , yA2B2（ 5）两平行线间的距离公式：对于直线l1 : A x B yC10,l2: A xB yC20 ， l 1 与 l 2间的距离为： d|C2 C1 |22ABxx1x22（ 6）线段中点坐标公式：， A(x1 , y1 ), B(x2 , y2) ， M(x, y) 是线段 AB的中点。y1yy22第四章圆与方程1、圆的第一定义 ：到定点的距离等于定长的点的集合. P M ( x, y) | MO |r 圆的第二定义 ：到两个定点的距离之比等于常数（不等于1）的点的集合。2、圆的标准方程：x aybr 2 ，圆心为(a, b) ，半径为 r。223、圆的一般方

20、程：22DxEyF0( D224F0) 。xyEDE1D 2E 24 F 。圆心为 (,) ，半径 r222当 D 2E 24F0 时，方程 x2y2DxEyF0DE表示点(,)222E24F2y2EyF0 不表示任何图形。当 D0 时，方程 xDxP ( x , y )222与圆 xaybr的位置关系的判定：4、点 000（1）当 0满足22200x0ay0br时点 P 在圆上；P ( x , y )（2）当222时点 P 在圆内；000满足x0ay0brP ( x , y )（3）当 P ( x , y )满足222时点 P 在圆外；x0ay0br0005、求圆方程的方法，主要有两种：（

21、1）待定系数法 ：使用待定系数法求圆方程的一般步骤：根据提设，选择标准方程或一般方程；根据条件列出关于 a、b、 r 或 D、E、F 的方程组 ；解出 a、b、 r 或 D、E、F，代入标准方程或一般方程。（ 2）利用三角形外心的定义及其垂径定理求圆心坐标； 三角形 外心 的定义 ：三角形三边垂直平分线的交点就是外心；垂径定理 ：垂直于弦的半径平分弦并平分弦所对的弧；弦的垂直平分线必经过圆心 ，因此求出两条弦的垂直平分线方程，联立解方程组求得圆心坐标，而圆心到圆上任意一点的距离都等于半径，最终写出圆的标准方程。6、直线与圆的位置关系的判定：几何法 （ 1）相切：圆心到直线的距离d r ；（ 2

22、）相交：圆心到直线的距离dr ；（ 3）相离：圆心到直线的距离dr 。l:Ax+By+C=0l:Ax+By+C=0l:Ax+By+C=0dddrrr|Ax0 +By0+C|C(a,b)00C(a,b)|Ax +By+C|d=|Ax +By +C|d=00C(a,b) d=22A2+B2A2+B2A +B圆C:（ x-a)2 +(y-b)2=r2圆 C:（x-a) 2+(y-b) 2=r2圆 C:（x-a) 2 +(y-b) 2 =r2相切： d=r相切： d<r相离： d>rykxb代数法 ：将直线方程与圆的方程联立组成方程组y2x2Dx Ey F 0（ 1）若方程有 唯一 一个解

23、， 直与圆相切 ；（ 2）若方程有唯 两个不等实数个解， 直线与圆相交 ；（ 3）若方程有 无解，直线与圆相离。特别地，当直线 l 与圆 C 相离时， P 为圆上的动点， | PH | 为点 P 到直线 l 的距离，设 d为圆心到直线l 的距离，则| PH |dr, | PH |dr .maxmin直线与圆相切，求 圆的切 线方程：一般用圆心到直 线的距离等于半径来 求解1 过圆外一点的切线：k不存在，验证是否成立；k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离半径，求解k，得到直线方程【一定有两解】2 过圆上一点的切线方程：圆2yb22，圆上一点为 ( x0， y0 )，则x ar过此点的切线方程

24、为x0 ax ay0 byb2r注意解决直线与圆位置关系问题时，经常需要设定直线方程，设直线方程的技巧： 若直线 l过轴上的定点( a, 0) 则可设直线 l : xmya若直线过定点为(0, b) ,则一般设直线 l : ykx b ；若直线过点 ( x0 , y0 ) ，则设直线 l : yy0k( xx0 ) 。7、两圆位置关系的判定：设圆心距d C1C2几何法相离： dRr ； 外切： dRr ；相交： | Rr | dR r内切： d| Rr |；内含： d| Rr | .相离 :无共点，圆心距C 1C 2 >r 1 +r 2外切 :有一个公共点，相交 :有两个公共点，圆心距圆

25、心距 C1C2 r1+r 2|r 1 -r2 |< C1C2 r 1 +r 2r 1C 2r 1C2r 1C 2r 2r2C1C1C1r 2圆 C1:x 2+y2+D 1 x+E 1y+F 1=0圆 C1:x 2+y2+D 1x+E1 y+F1=0圆 C1 :x2 +y2 +D1 x+E1y+F 1=0圆 C2:x 2+y2+D 2 x+E 2y+F 2=0圆 C2:x 2+y2+D 2x+E2 y+F2=0圆 C2 :x2 +y2 +D2 x+E2y+F 2=0x2y2D1 x E1 y F10代数法 ; 将两圆的方程组成方程组220x y D2 x E2 y F2（ 1）若方程有 一

26、个解，两圆 相切（内切或外切） ；（ 2）若方程有 两个不同解， 两圆相交；（ 3）若方程有 无解，两圆外离或内含特别地，方程 x2y2D1 x E1 y F1(x2y2D2 x E2 y F ) 0 表示过两圆交点的圆系方程。x2y2DxE yF0在这个方程组中111用消去平方项后得一个直线方程，该x2y2DxE yF0222若圆心 C1 到公共弦的距离等于半径 r1 ，或者是圆心C 2 到公共弦的距离等于半径 r2 ，则两圆相切（外切或者内切） ；若圆心 C1 到公共弦的距离等于小于 r1 ，或者是圆心C 2 到公共弦的距离小于 半径 r2 ，则两圆相交；8、坐标法是解决几何问题的重要方法，其步骤是：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论9、 空间直角坐标系确定空间直角坐标系中点的坐标的知识要点:1. 空间直角坐标系 ：从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox , Oy, Oz ，这样的坐标系叫