直线平面简单几何体球ppt课件

1、第九章第九章 直线、平面、简单几何体直线、平面、简单几何体第 讲考点考点搜索搜索球面、球体的概念，球的截面性质球面、球体的概念，球的截面性质地球的经纬度，球面间隔地球的经纬度，球面间隔 球的外表积和体积高考球的外表积和体积高考高考高考猜测猜测1. 考察有关球的外表积、体积和球面考察有关球的外表积、体积和球面间隔间隔 等的计算等的计算.2. 考察球的截面问题的分析与计算考察球的截面问题的分析与计算. 1. 与定点的间隔与定点的间隔 _的点的的点的集合集合,叫做球体叫做球体,简称球简称球,定点叫做球心定点叫做球心,定长叫做球定长叫做球的半径的半径,与定点间隔与定点间隔 _的点的集合叫做的点的集合叫

2、做球面球面. 2. 用一个平面截一个球用一个平面截一个球,所得的截面是所得的截面是_,且球心与截面圆心的连线且球心与截面圆心的连线_截面截面. 3. 设球心到截面的间隔设球心到截面的间隔 为为d,球半径为球半径为R,截截面圆半径为面圆半径为r,那么三者的关系是那么三者的关系是_. 等于或小于定长等于或小于定长等于定长等于定长一个圆一个圆垂直于垂直于R2=r2+d24. 球面被球面被_的平面截得的圆叫的平面截得的圆叫做大圆，被做大圆，被_的平面截得的圆叫的平面截得的圆叫做小圆做小圆.5. 经过球面上两点的大圆在这两点间的经过球面上两点的大圆在这两点间的_的长度的长度,叫做这两个点的球面间隔叫做这

3、两个点的球面间隔 .6. 过球面上一点从北极到南极的半个大过球面上一点从北极到南极的半个大圆圆,与子午面所成的与子午面所成的_的度数就是这个的度数就是这个点的经度点的经度;过球面上一点的球半径与过球面上一点的球半径与_所所成的角的度数就是这个点的纬度成的角的度数就是这个点的纬度. 7. 半径为半径为R的球的体积是的球的体积是V=_，外表，外表积是积是S= _.经过球心经过球心不经过球心不经过球心一段劣弧一段劣弧二面角二面角赤道面赤道面34 3R24R1.长方体的一个顶点上三条棱长为长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的外且它的八个顶点都在一个球面上，这个

4、球的外表积是表积是 A. B. C. D. 解：设球的半径为解：设球的半径为R，那么那么2R2=32+42+52=50，所以，所以R= .所以所以S球球=4R2=50.20 2C25 2502005 222.过球面上过球面上A、B、C三点的截面和球心的间三点的截面和球心的间隔隔 等于球半径的一半，且等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，那么，那么球面面积是球面面积是 A. B. C. D. 解：由于解：由于AB=BC=CA=2，所以所以ABC的外接圆半径为的外接圆半径为r= .设球的设球的半半径为径为R，那么，那么 所以所以 ，所以所以 1694D2 33836492214()23RR21

5、69R 2448SR球球3.球面上有球面上有3个点，其中恣意两点的球面间个点，其中恣意两点的球面间隔隔 都等于大圆周长的都等于大圆周长的16，经过这，经过这3个点的小圆个点的小圆的周长为的周长为4，那么这个球的半径为，那么这个球的半径为 A. B. C. 2 D. 解法解法1：设球面上的：设球面上的3个点分别为个点分别为A，B，C，球心为球心为O.过过O作作OO平面平面ABC，O是垂足，是垂足，那么那么O是是ABC的中心，那么的中心，那么OA=r=2.又由于又由于AOC= ，OA=OC知知OA = AC OA,所以所以OAOA2OA. 由于由于OA=R，所以，所以2R4.因此，因此，排除排除A

6、、C、D，应选，应选B. 解法解法2：设球面上的：设球面上的3个点分别为个点分别为A，B，C，球心为球心为O. 在正三角形在正三角形ABC中，中，ABC的外接圆半径的外接圆半径r=2.运用正弦定理，得运用正弦定理，得AB=2rsin60= . 由于由于AOB= ，所以侧面，所以侧面AOB是是正三角形，得球半径正三角形，得球半径R=OA=AB= .2 332 3解法解法3：设球面上的：设球面上的3个点分别为个点分别为A，B，C，球心为球心为O. 由于正三角形由于正三角形ABC的外接圆半径的外接圆半径r=2，故高，故高AD= r=3，D是是BC的中点的中点.在在OBC中，中，BO=CO=R，BOC

7、= ，所以所以BC=BO=R，BD= BC= R.在在RtABD中，中，AB=BC=R，所以由所以由AB2=BD2+AD2，得得 ，解得，解得R= .332121222194RR2 31. 球面上有三点球面上有三点A、B、C，其中恣意两，其中恣意两点间的球面间隔点间的球面间隔 都等于大圆周长的都等于大圆周长的 ，经过这三个点的小圆经过这三个点的小圆的周长为的周长为4，求这个球的外表积求这个球的外表积.解：设解：设O为球心，球半径为球心，球半径为为R，经过，经过A、B、C三点的小圆半径为三点的小圆半径为r.61题型题型1 球的外表积的计算球的外表积的计算由，由，2r=4，所以，所以r=2.又由于

8、又由于A、B、C中恣意两点的球面间中恣意两点的球面间隔隔 都是大圆周长的都是大圆周长的 ，即，即 ，所以所以AOB=AOC=BOC= .又又OA=OB=OC=R，所以，所以AB=BC=AC=R.在在ABC中，由正弦定理，中，由正弦定理，得得AB=2rsin60= ，所以所以R= ，所以，所以S球球=4R2=48.3162 33R2 3点评：求球的外表积的关键是求球点评：求球的外表积的关键是求球的半径的半径.求半径时，普通是根据截面圆的求半径时，普通是根据截面圆的圆心与球的圆心的连线段、截面圆的弦圆心与球的圆心的连线段、截面圆的弦长、球的半径三者之间的关系，经过解长、球的半径三者之间的关系，经过

9、解三角形来求得三角形来求得. 如图，如图，A、B、C是外表积为是外表积为48的球面上三点，的球面上三点，AB=2，BC=4，ABC =60，O为为球心球心.求直线求直线OA与截面与截面ABC所成的角的大小所成的角的大小.解：连结解：连结AC，设，设O在在截面截面ABC上的射影是上的射影是O，那么那么O为截面三角为截面三角形形ABC外接圆的圆心，外接圆的圆心，连结连结AO，那么，那么OAO为直线为直线OA与截面与截面ABC所成的角所成的角.设球的半径为设球的半径为R，小圆的半，小圆的半径为径为r.由于球的外表积为由于球的外表积为48，所以，所以R= .在在ABC中，由余弦定理，得中，由余弦定理，

10、得AC2 = AB2 + BC2-2ABBCcosABC=4+16-16cos60=12由正弦定理，得由正弦定理，得 ，即即 ，所以，所以r=2.所以所以 .故所求角的大小为故所求角的大小为arccos .2 32sinACrABC02 32sin60r23cos32 3O ArOAOOAR332. 设设A、B、C为球面上三点，为球面上三点，AC=BC =6，AB=4，球心，球心O到平面到平面ABC的间隔的间隔 等于球半径的等于球半径的一半，求这个球的体积一半，求这个球的体积.解：过球心解：过球心O作作OO1平面平面ABC，那么点，那么点O1为过为过点点A、B、C的截面圆的圆的截面圆的圆心，即

11、心，即O1是是ABC的外心的外心.连结连结CO1，延伸交，延伸交AB于于M点点.题型题型2 球的体积的计算球的体积的计算由于由于AC=BC，所以，所以M是是AB的中点，的中点，且且CMAB.设设O1M=x.由于由于O1A=O1C，而而 ，O1C=CM-O1M=所以所以 ，解得，解得x= .所以所以O1A= 设球设球O的半径为的半径为R.由由OO1=R2，OA=R.在在RtAO1O中，由于中，由于AO2=OO21+AO21，所以所以 解得解得R= .222114O AAMO Mx22221624 2BC - BM-O Mxx244 2x- x7 2429 244x2229 2()()24RR 3

12、 62所以所以 点评：球的体积是关于半径的函点评：球的体积是关于半径的函数，故求体积必需先求半径数，故求体积必需先求半径.涉及到涉及到截面问题时，普通是化球为圆，再截面问题时，普通是化球为圆，再解直角三角形可求得半径解直角三角形可求得半径.3427 63VR球球 球面上有三点球面上有三点A、B、C，A和和B及及A和和C之间的球面间隔之间的球面间隔 是大圆周长的是大圆周长的 ，B和和C之间的球面间隔之间的球面间隔 是大圆周长的是大圆周长的 ，且球心到，且球心到截面截面ABC的间隔的间隔 是是 ，求球的体积，求球的体积.解：设球心为解：设球心为O，由，由，易得易得AOB = AOC= ，BOC=

13、.过过O作作ODBC于于D，连结，连结AD，再过再过O作作OE AD于于E，那么那么OE平面平面ABC于于E，所以，所以OE= .141621723217由于由于OAOB，OAOC，所以所以OA平面平面BOC，所以，所以OAOD.设设OA=R,那么那么AB=AC=2R,BC=R，AD= R, OD= R.在在RtAOD中，由中，由ADOE=OAOD,得得OA=R=1.所以所以 .723234433VR球球3. 在地球北纬在地球北纬30圈上有圈上有A、B两点，两点，点点A在西经在西经10，点，点B在东经在东经110，设地球，设地球半径为半径为R，求，求A、B两点的球面间隔两点的球面间隔 .解：如

14、图，设解：如图，设O为球心，为球心，C为北纬为北纬30圈所在小圆的圆心圈所在小圆的圆心.由，由，ACB=120，AOC=BOC=60，OA=OB=R，OC平面平面ABC，所以所以AC=BC=Rsin60= .题型题型3 球面间隔球面间隔 的分析与计算的分析与计算32R在在ACB中，中，所以所以AB= R.在在AOB中，中，所以所以AOB=arccos .故故A、B两点的球面间隔两点的球面间隔 是是Rarccos .322221cos28AOBO - ABAOBAOBO 222029-2cos1204ABACBCACBCR1818点评：普通地，求球面上两点点评：普通地，求球面上两点A、B间间的球

15、面间隔的球面间隔 的详细步骤是：的详细步骤是：计算线段计算线段AB公共弦的长；公共弦的长；计算计算A、B到球心到球心O的张角；的张角；计算球的大圆上计算球的大圆上A、B间的劣弧长间的劣弧长. 正三棱锥正三棱锥P-ABC内接于半径为内接于半径为R的球，其底面三顶点在同一个大圆上的球，其底面三顶点在同一个大圆上.某质点某质点从点从点P动身沿球面运动，经过动身沿球面运动，经过A、B、C三点后三点后前往前往P点，求所经路程的最小值点，求所经路程的最小值. 解：设球心为解：设球心为O，据题意，据题意，O为正三角形为正三角形ABC的中心，的中心，且且PO平面平面ABC，所以，所以POA=POC= ，AOB

16、=BOC= .由于球面上恣意两点的球面间隔由于球面上恣意两点的球面间隔 是经过这两是经过这两点的最短路程，其中点的最短路程，其中P与与A、P与与C的球面间隔的球面间隔 是是 ，A与与B、B与与C的球面间隔的球面间隔 是是 ，所以所求路程的最小值是所以所求路程的最小值是2323R22R2722233RRR. 1. 正三棱锥正三棱锥P-ABC的外接球半径为的外接球半径为R，两侧棱的夹角为两侧棱的夹角为，求这个正三棱锥的侧棱，求这个正三棱锥的侧棱长长. 解：如图，过点解：如图，过点P作作PD平面平面ABC，垂足为，垂足为D，那么，那么D为为ABC的中心的中心.延伸延伸PD交球面于交球面于E，那么，那

17、么PE为球的直为球的直径径.连结连结AD、AE，那么，那么PAAE，ADPE.设设PAD=，那么，那么AED=.设正三棱锥设正三棱锥P-ABC的侧棱长为的侧棱长为a，由，由， 从而从而 又又AD=PAcos=acos，所以，所以所以所以在在RtPAE中，中，PA=PEsin= .故这个正三棱锥的侧棱长为故这个正三棱锥的侧棱长为 .2 sin2aABa232 3sin3232aADABa2 3cossin32a 2224sin1 cos1sin32a-2421sin32aR-2421sin32aR-2. 如图，如图，AC是四面体是四面体ABCD的外接的外接球直径，球直径，BC是经过是经过B、C、

18、D三点的截三点的截面圆直径，球心面圆直径，球心O到截面到截面BCD的间隔的间隔 等等于球半径的于球半径的 . 1假设假设CBD=60，求异面直线求异面直线AC和和BD的夹角的夹角; 2假设假设BD DC= 2，求二面角求二面角B-AC-D的大小的大小.123解：解：1过点过点C作作CEDB交球面于交球面于E，连连结结AE，那么，那么ACE为所求的角为所求的角.由于由于CBD=60，所以所以BCE=60. 取取BC的中点的中点O，那么那么O为截面圆圆心为截面圆圆心.设球设球O的半径为的半径为R，由，由OO= .在在RtCOO中中所以所以BC= R.由于由于BECE，所以所以CE=BCcos60=

19、 .2R2232COCO -OOR.332R由于由于AC是球的直径，所以是球的直径，所以AEEC.在在RtAEC中，中， .故异面直线故异面直线AC和和BD的夹角为的夹角为arccos . 2过点过点D作作DFBC，垂足为，垂足为F. 由于由于OODF，所以，所以DF平面平面ABC.过点过点F作作FHAC，垂足为，垂足为H，连结，连结DH. 根据三垂线定理，有根据三垂线定理，有DHAC.所以所以DHF为二面角为二面角B-AC-D的平面角的平面角.3cos4CEACEAC34由于由于BD DC= 2，BC= R，BD2+DC2=BC2，所以，所以那么那么DC= R，所以，所以BD= DC= R.由于由于DFBC=BDCD,所以所以由于由于ADCD，DHAC，所以所以DHAC=ADCD.332223()( 3 )2DCDCR127323731 267773RRD FRR而而所以所以在在RtDFH中中,sinDHF= ，所以所以DHF=60.故二面角故二面角B-AC-D的大小为的大小为60.2222124477ADAC -CDR -RR412437727RRDHRR32DFDH3. 一个球与底面边长为一个球与底面边长为a的正四棱锥的底面的正四棱锥的底面和侧面都相切和侧面都相切.假设平行于棱锥假设平行于棱锥 底面且与球相切的平面截棱锥，底面且与球相切的平面截棱锥，