第三章力系的简化

1、定义：定义： 设有一力设有一力F ，在力，在力F的作用线所在平面内任选一的作用线所在平面内任选一x轴，从力轴，从力F的始端和末端分别向的始端和末端分别向x轴的作垂线，可得垂轴的作垂线，可得垂足足a、b，将，将a、b间的直线段间的直线段ab冠以适当的正负号，冠以适当的正负号，称为力称为力F在在x轴上的轴上的，用用Fx表示。表示。Bx baAxabAxxB(a)(b)FFFF(+)(-) 若力若力F 和和x和和Y轴正向之间的夹角分别为轴正向之间的夹角分别为和和，称为力的称为力的方向角方向角，则有，则有ycoscosxFFFF 即即力在坐标轴上的投影等于力在坐标轴上的投影等于力的大小乘以该力与坐标轴

2、正向力的大小乘以该力与坐标轴正向之间夹角的余弦。之间夹角的余弦。 力在轴上的投影是代数量。力在轴上的投影是代数量。 当由力当由力F F的始点垂足到终点垂足的指向与坐标轴的方的始点垂足到终点垂足的指向与坐标轴的方向一致时，投影取正号，反之取负号。向一致时，投影取正号，反之取负号。y y b b a a a ab bF FO Ox xB BF Fx xF Fy y （3-1） 力力F F在直角坐标轴上投影的大小与其沿相应轴方在直角坐标轴上投影的大小与其沿相应轴方向分力的模相等，且投影的正负号与分力的指向对应向分力的模相等，且投影的正负号与分力的指向对应一致。一致。 力力F 可沿直角坐可沿直角坐标轴

3、分解为两个正交标轴分解为两个正交分力：分力：=+xyF FFF FF Fy yF Fx xx xy yj ji io o（3-2） 若以若以i，j分别表示沿分别表示沿 x，y轴方向的单位矢量，轴方向的单位矢量，则力则力 F 的两个正交分力可用力在对应轴上投影与相的两个正交分力可用力在对应轴上投影与相应的单位矢量的乘积表示为：应的单位矢量的乘积表示为：xxyyFFFiFj可得可得解析表达式解析表达式为：为：=+xyFFFij（3-4）（3-3）22cos(, )cos(, )xyxyFFFFFFFF iFj 若已知力若已知力F在两个直角坐标轴上的投影在两个直角坐标轴上的投影Fx、Fy，则，则力力

4、F的大小和方向余弦可用下列各式计算的大小和方向余弦可用下列各式计算： 力沿坐标轴的分力与力在对应轴上的投影是两力沿坐标轴的分力与力在对应轴上的投影是两个不同的概念。个不同的概念。（3-5） 力力F沿坐标轴沿坐标轴x、y、z的分力的分力Fx、Fy是是，它，它有大小、方向、作用线；而力在坐标轴上的投影有大小、方向、作用线；而力在坐标轴上的投影Fx、Fy是是，它无所谓方向和作用线。，它无所谓方向和作用线。 力沿力沿x、y轴方轴方向的分力大小与力向的分力大小与力在该坐标轴上投影在该坐标轴上投影的绝对值的大小不的绝对值的大小不相等。相等。yxo图3-6ab,a,bABFyFxFyxFFR12niFF +

5、 F + FF=LyF2oFnFxio,jF1i图3-7 设有一汇交于设有一汇交于O点的平面汇交力系，点的平面汇交力系，F1、F2、Fn，由力的平行四边形法则可知，该汇交力系可以合，由力的平行四边形法则可知，该汇交力系可以合成为一个合力，合力等于各个成为一个合力，合力等于各个分力的矢量和，即：分力的矢量和，即： （3-6）=( =1,2, )LFijiixiyF +Fin=RRxRyF+ FFij 建立直角坐标系并取单位矢量，则（建立直角坐标系并取单位矢量，则（3-6）式）式右右端端分力的解析表达式为：分力的解析表达式为： （3-9）（3-7）（3-8）将（将（3-7）和（）和（3-8）代入（

6、）代入（3-6）中得）中得RxRyixiyixiyF+FF+FF+Fij =ijij而（而（3-6）式）式左端合左端合力的解析表达式为：力的解析表达式为： RxixRyiyFFFF= 比较（比较（3-9）式等式两端单位矢量）式等式两端单位矢量i、j前面的系数，前面的系数，可得可得（3-10）上式表明：上式表明： RxRyixiyixiyF+FF+FF+Fij =ijijA AF F2 2F F1 1(a)(a)F F3 3F F1 1F F2 2R RF F3 3x xA AB BC CD D(b)(b)证明：证明： 以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力以三个力组成的共点力系为例。设有三

7、个共点力F F1 1、F F2 2、F F3 3 如图。如图。合力合力 R 在在x 轴上投影：轴上投影：F F1 1F F2 2R RF F3 3x xA AB BC CD D(b)(b) 推广到任意多个力推广到任意多个力F1、F2、 Fn 组成的平面组成的平面共共点力系，可得：点力系，可得：a ab bc cd d各力在各力在x 轴上投影：轴上投影：abFx1bcFx2dcFx3RFxadabbcdcR123FxxxxFFFR123FxxxxnxxFFFFF 汇交力系的合成可以采用汇交力系的合成可以采用几何法几何法和和解析法解析法，本书，本书主要介绍使用较多的解析法。主要介绍使用较多的解析法

8、。12LxxnxF ,F ,F12LyynyF ,F ,FRxixRyiyFFFF如图所示的平面汇交力系如图所示的平面汇交力系F1、F2、Fn，各力在直角坐标系的各力在直角坐标系的x、y轴上投影是：轴上投影是：和和利用合力投影定理，可得合力利用合力投影定理，可得合力在在x、y轴的投影为轴的投影为yF2oFnFxio,jF1i图3-7 2222cos(, )cos(, )RRxRyRxRRRyRRFFFFFxyFFFFiFjF合力合力FR的大小和方向余弦分别为的大小和方向余弦分别为确定。确定。通常合力通常合力FR的方向也可由合力的方向也可由合力FR与与x轴所夹锐角轴所夹锐角tanRyRxFF再由

9、再由FRx和和FRy的正负号来判定的正负号来判定FR的指向的指向。的值由下式确定：的值由下式确定： 用力多边形求汇交力系合力的方法称为几何法用力多边形求汇交力系合力的方法称为几何法 力的平行四边形法则；力的平行四边形法则； 力多边形法则：力多边形法则： A443A2AO3211A4321O(a)(b)FFFFFFFFF4F3F1FRFa1bFRFe24Fd3cFcFdb1F(c)RFaR2FFFe4R12F3F2(d)(e)力的平行力的平行四边形法则四边形法则中间过程可以省掉中间过程可以省掉力多边形法则力多边形法则作力多边形与力作力多边形与力的次序无关的次序无关 从任一点出发，依次从任一点出发

10、，依次将力系中各分力首尾相连将力系中各分力首尾相连（次序可变），再连接第（次序可变），再连接第一力矢的始点和最后一力一力矢的始点和最后一力矢的终点所得力多边形的矢的终点所得力多边形的封闭边，即为原力系的合封闭边，即为原力系的合力矢。力矢。121.nRniiFFFFF4aR132dcbeFFFFF力多边形的封闭边的长度；力多边形的封闭边的长度；力多边形的封闭边起点到终点的指向；力多边形的封闭边起点到终点的指向；通过原力系的汇交点。通过原力系的汇交点。FFac1bF2F3ReF4dOA4F42AA1F2F1F3RFA3 若汇交力系由若汇交力系由 n n个力组成的，汇交力系可以个力组成的，汇交力系可

11、以合成为一个作用线通过汇交点的合力，合力的大合成为一个作用线通过汇交点的合力，合力的大小和方向由力多边形的封闭边确定。小和方向由力多边形的封闭边确定。 即：即：。简写为：简写为： 121.nRniiFFFFF1nRiiFF452ooo6069.5oxy1kN图3-9比例尺(a)(b)A BCDEFF13F4FRFFR1FF4F3F2如图所示一平面汇交力系，已知如图所示一平面汇交力系，已知:F13kN，F21kN，F31.5kN，F42kN。各力方向如图。各力方向如图所示。求此力系的合力所示。求此力系的合力FR。452ooo6069.5oxy1kN图3-9比例尺(a)(b)A BCDEFF13F

12、4FRFFR1FF4F3F200R23400cos60cos451kN1.5kN cos602kN cos451.164kN= -+= -+=xxiFFFFF00R13400sin60sin453kN1.5kN sin602kN sin453.115kN= -+-= -+-= -yyiFFFFF22221.164kN3.115kN3.325kNRRxRyFFF合力合力FR的大小的大小合力合力FR的与的与x轴所夹锐角轴所夹锐角RR3.115tan2.6761.164q=yxFF=69.5o452ooo6069.5oxy1kN图3-9比例尺(a)(b)A BCDEFF13F4FRFFR1FF4F3

13、F2OAhB 在力的作用下，物体将可能发生移动和转动，在力的作用下，物体将可能发生移动和转动，力的转动效应用力对点之矩来衡量。力的转动效应用力对点之矩来衡量。：力力F F 的小大与的小大与O O点到力点到力 F F 作用线的垂直距离作用线的垂直距离h h 的乘积，的乘积， 再再冠以适当的正负号，表冠以适当的正负号，表示力示力F F对对O O 点的矩，用点的矩，用符号符号M MO O( (F F) )表示。表示。 MO(F)Fh 其其中中O点称为点称为，简称简称；h 称为称为； 力力F 与矩心所决定的平面称为与矩心所决定的平面称为； 正负号表示在力矩平面内力使物体绕矩心的转向，正负号表示在力矩平

14、面内力使物体绕矩心的转向，即：绕过矩心且垂直于力矩平面的轴的转向。即：绕过矩心且垂直于力矩平面的轴的转向。OAhB：度量力：度量力F 使物体绕使物体绕 O 点的转动效应。点的转动效应。(-)(+)OAOAFF 平面力系中的力对点之矩仅仅取决于力矩的平面力系中的力对点之矩仅仅取决于力矩的大小和转向，因而力对点之矩是代数量；大小和转向，因而力对点之矩是代数量； 约定：约定：；：MO(F)Fh2OAB的面积的面积：Nm，kNm（a）当力）当力F 的大小等于零，或者力的作用线通过矩的大小等于零，或者力的作用线通过矩 心，即力臂心，即力臂h0 时，对矩心的力矩等于零。时，对矩心的力矩等于零。（b b）力

15、）力F 沿其作用线移动时，并不改变力对指定点沿其作用线移动时，并不改变力对指定点 之矩。之矩。（c c）一个力对不同点的矩一般不同，因此必须指明）一个力对不同点的矩一般不同，因此必须指明 矩心，力对点之矩才有意义。矩心，力对点之矩才有意义。BA,d 大小相等，方向相反，作大小相等，方向相反，作用线不共线但相互平行的一对用线不共线但相互平行的一对力所构成的力系称为力偶。力所构成的力系称为力偶。 记作（记作（F,F） 力偶中两力作用线所决定的平面称为力偶作用力偶中两力作用线所决定的平面称为力偶作用平面；平面； 两力作用线间的垂直距离两力作用线间的垂直距离d称为力偶臂。称为力偶臂。 力偶的大小；力偶

16、的大小； 在力偶作用面内力偶的转向。在力偶作用面内力偶的转向。 因此，平面力系中可用一个代数量表示力偶的因此，平面力系中可用一个代数量表示力偶的转动效应。转动效应。后所得后所得的的，来表示力偶的转动效应，称为，来表示力偶的转动效应，称为。用符号用符号 表示。表示。 ()mFd F,F(,)mF F为当力偶使得物体逆时为当力偶使得物体逆时针转动时取针转动时取，逆时针转，逆时针转动时取动时取。N.mN.m或或kN.mkN.m(+)(-) 组成组成的两个平行力满足等值、反向、不共的两个平行力满足等值、反向、不共线的条件，与单独一个力一样，都线的条件，与单独一个力一样，都。 力偶不能与一个力等效，即力

17、偶不能合成力偶不能与一个力等效，即力偶不能合成为一为一个合力，因此力偶也就不能与一个力相平衡个合力，因此力偶也就不能与一个力相平衡，力，力偶偶只能与力偶平衡；只能与力偶平衡； 力偶中的两力在任一轴上投影的代数和都力偶中的两力在任一轴上投影的代数和都等于等于零零，但力偶不是平衡力系。，但力偶不是平衡力系。 力偶是最简单的力系。力偶是最简单的力系。力和力偶是两个独立的力学元素力和力偶是两个独立的力学元素 这一性质是这一性质是力偶力偶与与力对点之矩力对点之矩的主要区别。的主要区别。 称为称为性质。性质。F1F2F2F1F1F1F2F2由力偶的这一性质，可得出如下由力偶的这一性质，可得出如下： 常用一

18、段带箭头的弧线表示力偶，其中弧线所在常用一段带箭头的弧线表示力偶，其中弧线所在平面代表力偶作用面，平面代表力偶作用面，箭头表示力偶在其作箭头表示力偶在其作用面内的转向，用面内的转向，M M表表示力偶矩大小。示力偶矩大小。dm=Fd图3-13m=Fd 同时作用在刚体上的一群力偶称为力偶系。同时作用在刚体上的一群力偶称为力偶系。力偶系力偶系空间力偶系空间力偶系平面力偶系平面力偶系 力偶不能与一个力等效，因此力偶系合成的结力偶不能与一个力等效，因此力偶系合成的结果不可能是一个力，而只能是一个力偶，此力偶果不可能是一个力，而只能是一个力偶，此力偶称为力偶系的称为力偶系的合力偶合力偶。（3 3）平面力偶

19、系的合成）平面力偶系的合成 M=m1+ m2mnmi(a)(b)(c)FFFFFAAABdBdMB 作用于刚体上某点的力可以平行移动到该刚体作用于刚体上某点的力可以平行移动到该刚体上的任一点去，但须附加一力偶且此附加力偶的矩上的任一点去，但须附加一力偶且此附加力偶的矩等于原力对平移点的力矩。等于原力对平移点的力矩。 这称为这称为。( )B=m MFdF 一个力可与同一个平面内的一个力和一个一个力可与同一个平面内的一个力和一个力偶等效，亦即可以把一个力分解为作用在同力偶等效，亦即可以把一个力分解为作用在同一平面内的一个力和一个力偶。反之，作用在一平面内的一个力和一个力偶。反之，作用在同一平面内的

20、一个力和一个力偶必定可以合成同一平面内的一个力和一个力偶必定可以合成为一个合力。为一个合力。注注：（：（1 1）力的平移定理只适用于刚体；力的平移定理只适用于刚体； （2 2）力只能在同一刚体上进行平移。）力只能在同一刚体上进行平移。AOOAFFM=Fe 偏心受压柱比中心受压柱相当于多受到一个力偶偏心受压柱比中心受压柱相当于多受到一个力偶的作用，此力偶之矩为的作用，此力偶之矩为M=Fe （e 为为偏心距偏心距）。）。 用丝锥攻丝时，用丝锥攻丝时，为什么单手操作比双为什么单手操作比双手操作容易使丝锥折手操作容易使丝锥折断？请思考。断？请思考。ABLFPFPM 力的平移定理不适用于变形体，例如图示

21、力的平移定理不适用于变形体，例如图示的悬臂梁的悬臂梁AB，若将作用于粱端，若将作用于粱端B的力平移至固的力平移至固定端定端A，两者的变形效应显然不同。，两者的变形效应显然不同。 平面一般力系是作用线位于同一平面的力系，平面一般力系是作用线位于同一平面的力系，利用力的利用力的平移定理平移定理、平面汇交力系的合成平面汇交力系的合成以及以及平面平面力偶系的合力偶矩的合成方法力偶系的合力偶矩的合成方法，可对平面一般力系，可对平面一般力系进行简化。进行简化。(a)(b)(c)nAAA12OOOxyyxyx图3-16n12FFFn21FFF12MMMnOMRF 设一平面一般力系由分别作用于同一平面内设一平

22、面一般力系由分别作用于同一平面内A1、A2、An的力的力F1、F2、Fn组成，如组成，如图图3-16（a）所示。）所示。1122nn， ，FFFFFF1O12O2nOn,mMmMmM，FFF(a)(b)(c)nAAA12OOOxyyxyx图3-16n12FFFn21FFF12MMMnOMRFRiiF =FFOiMmyyxxFFFFRR22RRRRRcos(, )/cos(, )/xyxyFFFFFFFRRFiFjOiOiMMMF 原力系向简化中心简化所得汇交力系原力系向简化中心简化所得汇交力系的合力，等于力系中各力的矢量和，作用线通过简的合力，等于力系中各力的矢量和，作用线通过简化中心；化中心

23、； 原力系向简化中心简化所得的附加力偶原力系向简化中心简化所得的附加力偶系的合力偶矩，等于力系中各力对简化中心之矩的系的合力偶矩，等于力系中各力对简化中心之矩的代数和，作用面即力系所在的平面。代数和，作用面即力系所在的平面。1).1). 若若 则力系可简化为一作用在力系平面内的力偶，则力系可简化为一作用在力系平面内的力偶，其力偶矩等于主矩：其力偶矩等于主矩： FMMMOOR0,0O FM此时主矩与简化中心位置无关。此时主矩与简化中心位置无关。FFFRR2).2).若若 则力系可简化为一作用线过简化中心的合力则力系可简化为一作用线过简化中心的合力FR。R0,0O FM0,0ROMFRRFFF3)

24、. 3). 若若则力系可进一步简化为一合力则力系可进一步简化为一合力FR，且，且 合力合力FR的作用线位置可由简化中心的作用线位置可由简化中心O 到合力到合力作用线的垂直距离作用线的垂直距离d 表示；亦可由合力作用线与表示；亦可由合力作用线与x 轴的交点坐标轴的交点坐标x表示。表示。其中其中d 为：为：RO/ FdM(x,0)OyOx(c)FFF(a)OFM(b)OFOx由下式计算：由下式计算：yFMxRO/0, 0RoMF4).4).若若 ，则，则。最后简化结果：最后简化结果： 1）若）若FR=0，MO0，则简化为，则简化为； 2）若）若FR0， MO=0，或者，或者FR0，MO0，则可简化

25、为则可简化为； 3）若）若FR=0，MO=0，则，则。 FMFMFMMFFMOROOORROd 即即 平面一般力系的合力对力系所在平平面一般力系的合力对力系所在平面内任意点之矩面内任意点之矩等于力系中所有等于力系中所有的各力对同一点的各力对同一点之矩的代数和。之矩的代数和。(a)(b)(c)OyxxyOFMROxyOFRRFRFOddOFR(x,0)图3-18abABC图3-19yxFFF 当求力对某点之矩时，可以利用合力之矩定理当求力对某点之矩时，可以利用合力之矩定理简化计算简化计算。例：例： 如当如当a、b、F、均为已知，力均为已知，力F对对A点之矩。点之矩。2222( )( )( )0s

26、insinAAxAyMMMFabF ab FFF 图示为平面一般力系各力作用线位置，且图示为平面一般力系各力作用线位置，且F1=130N，F2=100N，F3=50N，M=500Nm图中尺寸单位为图中尺寸单位为m，试求，试求该力系合成的结果。该力系合成的结果。(3.87,0)O45(-3,2)20(0,-4)(2,1)yx125FF3F1012301212/13cos4570N5/13sin45150NRxxRyyFFFFFFFFF ：(1)(1)以以O点为简化点为简化中心，建立图示直角中心，建立图示直角坐标系坐标系Oxy。(2) (2) 计算主矢量计算主矢量FRF(3.87,0)O45(-3

27、,2)20(0,-4)F3(2,1)yx12F51FRO220165.3Ncos( , ) /0.423( , )65RRxRyRRxRRFFFFiFFFi70N150NRxRyFF 000011223( )12512cos45 2sin45 341313580NmMMFFFFFM F(3) (3) 计算主矩计算主矩MOF(3.87,0)O45(-3,2)20(0,-4)F3(2,1)yx12F51FRO(3.87,0)O45(-3,2)0(0,-4)x125(2,1)yFROFRF2F3F1 由于主矢量、主矩都不为零，所由于主矢量、主矩都不为零，所以这个力系简化的最后结果为一合力以这个力系简

28、化的最后结果为一合力FR。FR的大小和方向与主矢量的大小和方向与主矢量FR相相同，而合力同，而合力FR 与与x轴的轴的交点坐标为：交点坐标为： x=MO/F Ry =3.87m 合力合力FR的作用线如的作用线如图所示。图所示。oM580N.m150NRyF ( ) xxxAyqcxdBxFdF 在狭长面积或体积上平行分布的荷载，都可在狭长面积或体积上平行分布的荷载，都可抽象简化为线荷载。抽象简化为线荷载。 平面结构所受的平面结构所受的线荷载，常见的是沿线荷载，常见的是沿某一直线连续分布的某一直线连续分布的同向平行力系。同向平行力系。 选取图示选取图示Axy坐标系，沿横坐标为坐标系，沿横坐标为x处的处的线荷载线荷载集集度为度为 q(x)，在微段，在微段dx 上的线荷载集度上的线荷载集度可视可视为常量，为常量，则：作用在微段则：作用在微段dx 上分布力系上分布力系合力的合力的大小为：大小为： ( )dFq xdxd