计算机图形学第7讲图形变换

1、中南大学地球科学与信息物理学院中南大学地球科学与信息物理学院GISGIS中心中心图形变换本讲内容本讲内容l齐次坐标表示法齐次坐标表示法l常见的二维图形几何变换常见的二维图形几何变换n平移变换平移变换n比例变换比例变换n旋转变换旋转变换n对称变换对称变换n错切变换错切变换l变换矩阵的功能分区变换矩阵的功能分区l图形的复合变换图形的复合变换2图形变换图形变换l指将图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形指将图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形n坐标系不动而图形变动（几何变换）坐标系不动而图形变动（几何变换）n图形不动而坐标系变动（坐标变换）图形不动而坐标系变动（坐标变换）l几何变换通常是以点变

2、换为基础，即对图形对象的几何变换通常是以点变换为基础，即对图形对象的每个点进行变换；但作为线框图形，可以取一系列每个点进行变换；但作为线框图形，可以取一系列顶点作几何变换，连接新的顶点序列即可产生变换顶点作几何变换，连接新的顶点序列即可产生变换后的新图形后的新图形l图形的拓扑关系不变图形的拓扑关系不变3本讲内容本讲内容l齐次坐标表示法齐次坐标表示法l常见的二维图形几何变换n平移变换n比例变换n旋转变换n对称变换n错切变换l变换矩阵的功能分区l图形的复合变换4齐次坐标表示法齐次坐标表示法l将一个原本是将一个原本是n维的向量用一个维的向量用一个n+1维向量表示维向量表示l一个向量的齐次表示不是唯一

3、的一个向量的齐次表示不是唯一的l当齐次坐标的当齐次坐标的h为为1时，称为规范化齐次方程时，称为规范化齐次方程512(,.,h)nxxx12(/h,/h,.,/h)nxxx ),.,(21nxxx12(h, h,., h, h )nxxx齐次坐标表示法齐次坐标表示法l二维齐次坐标在三维空间中二维齐次坐标在三维空间中6齐次坐标技术的优点齐次坐标技术的优点l齐次坐标可以表达无穷远点齐次坐标可以表达无穷远点n对于对于h=0的齐次坐标表示无穷远点，如的齐次坐标表示无穷远点，如(a,b,0)表示表示ay=bx直线上的无穷远点直线上的无穷远点l采用齐次坐标可以统一图形变换的运算形式采用齐次坐标可以统一图形变

4、换的运算形式n图形变换统一为图形的点集矩阵与某一变换矩阵进行矩图形变换统一为图形的点集矩阵与某一变换矩阵进行矩阵相乘的单一形式阵相乘的单一形式u将平移转换成矩阵乘法运算将平移转换成矩阵乘法运算7本讲内容本讲内容l齐次坐标表示法l常见的二维图形几何变换常见的二维图形几何变换n平移变换平移变换n比例变换比例变换n旋转变换旋转变换n对称变换对称变换n错切变换错切变换l变换矩阵的功能分区l图形的复合变换8二维图形几何变换的齐次表示法二维图形几何变换的齐次表示法9某一点P(x,y)列向量齐次表示法一个图形的点集齐次表示法12121 1 1nnxxxyxx矩阵图形几何变换表示：图形几何变换表示：T111x

5、abcxaxdygbxeyhydefycxfyicxfyighi 1xy 几种常见的二维图形几何变换几种常见的二维图形几何变换l平移变换平移变换l缩放变换缩放变换l旋转变换旋转变换l对称变换对称变换l错切变换错切变换10平移变换（平移变换（Translation）l指不产生变形而移动物体的刚性变换指不产生变形而移动物体的刚性变换Tx平行于平行于x轴的方向上的移动量轴的方向上的移动量Ty平行于平行于y轴的方向上的移动量轴的方向上的移动量11xTyPPyT平移变换xyxTyyTxx几何关系yxTTyxyx矩阵形式平移变换的齐次坐标表示平移变换的齐次坐标表示l平移变换的处理由原本的加法变为了矩阵乘法

6、平移变换的处理由原本的加法变为了矩阵乘法n线性几何变换线性几何变换-矩阵乘法矩阵乘法l从而与其余四种几何变换运算方式相统一从而与其余四种几何变换运算方式相统一121 00 1110 011xxyyxx TTxyy TTy 齐次矩阵形式1001001xyTT平移矩阵：平移矩阵：简写为：简写为：pTp缩放变换（缩放变换（Scaling）l指图形相对于坐标原点，按比例系数指图形相对于坐标原点，按比例系数(Sx,Sy)放大或放大或缩小的变换缩小的变换Sx平行于平行于x轴的方向上的缩放量轴的方向上的缩放量Sy平行于平行于y轴的方向上的缩放量轴的方向上的缩放量13yx相对于原点的比例变换相对于原点的比例变

7、换xyxxSyyS几何关系yxSSyxyx00 矩阵形式缩放变换的齐次坐标表示缩放变换的齐次坐标表示140010010011xxyyxSxyS x S ySy 0000001xySS比例矩阵：比例矩阵：齐次矩阵形式简写为：简写为： p = Tp缩放变换的性质缩放变换的性质l当当Sx=Sy时，变换前的图形与变换后的图形相似时，变换前的图形与变换后的图形相似n当当Sx=Sy=1时，图形不变，称为恒等变换时，图形不变，称为恒等变换n当当Sx=Sy1时，图形将均匀放大，并远离坐标原点时，图形将均匀放大，并远离坐标原点n当当0 Sx=Sy1时，图形将均匀缩小，并靠近坐标原点时，图形将均匀缩小，并靠近坐标

8、原点l当当SxSy时，图形沿坐标轴方向作非均匀缩放发生时，图形沿坐标轴方向作非均匀缩放发生形变（如正方形变为长方形、圆形变为椭圆）形变（如正方形变为长方形、圆形变为椭圆）l当当Sx0时或时或Sy0时，图形不仅大小发生变化，而且时，图形不仅大小发生变化，而且将相对于将相对于y轴、轴、x轴或原点作对称变换轴或原点作对称变换15161yxSSyxSS yxyxyx0yS yx0 xS 整体比例变换整体比例变换l整体比例变换，比例系数为整体比例变换，比例系数为1/Sn当当01时，图形等比例缩小时，图形等比例缩小n当当S0时，为等比例变换再加上对原点的对称变换时，为等比例变换再加上对原点的对称变换171

9、0001000S整体比例矩阵：整体比例矩阵：旋转变换旋转变换18xsincos ryrxcossinsincos)sin(sinsincoscos)cos(rrryrrrxcossinsincosyxyyxx两式合并可得：两式合并可得：几何关系yxyxcossinsincos 矩阵形式PPy 指将图形围绕圆心逆时针转动一个指将图形围绕圆心逆时针转动一个角度的变换（规定逆角度的变换（规定逆时针转动方向为正）时针转动方向为正）旋转变换旋转变换旋转变换l新坐标轴方向新坐标轴方向nx轴轴:ny轴轴:lP在新坐标轴上的投影在新坐标轴上的投影 =P点旋转后坐标点旋转后坐标19xPyxysincossinc

10、os)sin,(cos)cos,(sincossinsincosyxyyxx旋转变换的齐次坐标表示旋转变换的齐次坐标表示20TT 1cossinx sincos1cossin0sincos00011xyxyyxy cossin0sincos0001旋转矩阵：旋转矩阵：齐次矩阵形式简写为：简写为： p = Tp对称变换对称变换l指相对坐标轴、原点、指相对坐标轴、原点、 线的对称变换（反射变线的对称变换（反射变换）换） 2145yyxx关系几何11 1000100011yxyxyx齐次矩阵形式相对于相对于y轴对称：轴对称：oyxyyxx关系几何yox相对于相对于x轴对称：轴对称：齐次矩阵形式11

11、1000100011yxyxyxn相对于原点对称（即中心对称）相对于原点对称（即中心对称）22yyxx关系几何yox齐次矩阵形式关系几何xyyxyox相对于直线相对于直线y=x对称对称齐次矩阵形式对称变换对称变换11 1000100011yxyxyx11 1000010101xyyxyx23xyyx几何关系xyoy=-x相对于直线相对于直线y=-x对称对称010100 100111xxyyyx 齐次矩阵形式简写为：简写为： p = Tp错切变换（错切变换（Shearing）l指用于产生弹性物体的变形处理（剪切、错位或错指用于产生弹性物体的变形处理（剪切、错位或错移变换）移变换）n沿沿x轴方向关

12、于轴方向关于y轴错切，即变换前后轴错切，即变换前后y坐标不变，坐标不变，x坐标坐标呈线性变化呈线性变化将图形上关于将图形上关于y轴的平行线沿轴的平行线沿x方向推成方向推成角的倾斜线，角的倾斜线，而保持而保持y坐标不变。坐标不变。 25ayyxcot 有cot a令yyayxx 代入得yyxxx 几何关系xyx齐次矩阵形式10010 100111xaxxayyyy 26n沿沿 y 轴方向关于轴方向关于 x 轴错切，即变换前后轴错切，即变换前后x坐标不变，坐标不变，y坐标坐标呈线性变化。呈线性变化。 几何关系yyyxx yxctgbx有ctgb 令yyx齐次矩阵形式简写为：简写为：10010 10

13、0111xxxyayyax p = Tp本讲内容本讲内容l齐次坐标表示法l常见的二维图形几何变换n平移变换n比例变换n旋转变换n对称变换n错切变换l变换矩阵的功能分区变换矩阵的功能分区l图形的复合变换27变换矩阵的功能分区变换矩阵的功能分区l变换矩阵可用变换矩阵可用33矩阵来描述矩阵来描述n左上角的左上角的22子块可实现比例、旋转、对称、错切四种子块可实现比例、旋转、对称、错切四种基本变换；基本变换；n右上角的右上角的12子块可实现平移变换；子块可实现平移变换；n左下角的左下角的21子块可实现投影变换；子块可实现投影变换；n右下角的右下角的11子块可实现整体比例变换。子块可实现整体比例变换。2

14、8abcTdefghi变换矩阵的功能分区变换矩阵的功能分区2900001abTde 比例变换、旋转变换比例变换、旋转变换 对称变换、错切变换对称变换、错切变换 平移变换平移变换1001001cTf变换矩阵的功能分区变换矩阵的功能分区3010001000Ti 投影变换投影变换 整体比例变换整体比例变换1000101Tgh本讲内容本讲内容l齐次坐标表示法l常见的二维图形几何变换n平移变换n比例变换n旋转变换n对称变换n错切变换l变换矩阵的功能分区l图形的复合变换图形的复合变换31复合变换复合变换l对于任何一个比较复杂的变换对于任何一个比较复杂的变换n可以转换成若干个连续进行的基本变换可以转换成若干

15、个连续进行的基本变换n这些基本几何变换的组合称为复合变换这些基本几何变换的组合称为复合变换n复合：复合：u矩阵乘法矩阵乘法32复合变换复合变换l设图形经过设图形经过n次基本几何变换，其变换矩阵分别为次基本几何变换，其变换矩阵分别为T1,T2,Tn 顶点顶点p经经T1变换后：变换后：p= T1 p 经经T2变换后：变换后： p= T2 p= T2 T1 p 经经Tn变换后：变换后： p(n)= Tn p(n-1)= TnTn-1T2T1plT= TnTn-1T2T1就为复合变换矩阵就为复合变换矩阵33复合变换复合变换l对于计算复合变换时，可将各基本变换矩阵按序相对于计算复合变换时，可将各基本变换

16、矩阵按序相乘，形成总的复合变换矩阵乘，形成总的复合变换矩阵T，再将变换前的坐标，再将变换前的坐标与与T相乘，得到变换后的最终坐标相乘，得到变换后的最终坐标p(n)= Tn p(n-1)= TnTn-1T2T1p= (TnTn-1T2T1)p=Tpl一般情况下，矩阵乘法不满足交换率，复合变换应一般情况下，矩阵乘法不满足交换率，复合变换应严格按照一定的交换顺序严格按照一定的交换顺序34复合变换复合变换l连续平移变换连续平移变换l连续比例变换连续比例变换l连续旋转变换连续旋转变换l相对任一参考点的二维几何变换相对任一参考点的二维几何变换l以平面内任一直线为对称轴进行对称变换以平面内任一直线为对称轴进

17、行对称变换35连续平移变换连续平移变换l设点设点p(x,y)经过第一次平移变换经过第一次平移变换T1(Tx1,Ty1)和第二次和第二次平移变换平移变换T2(Tx2,Ty2)后的坐标为后的坐标为P(x,y)n设点设点P(x,y)经过第一次平移变换经过第一次平移变换T1后的坐标为后的坐标为P(x,y)n设点设点P(x,y)经第二次平移变换经第二次平移变换T2后的坐标为后的坐标为P(x,y)361111001001xyttT p = Tp2221001001xyttT21p = T TpTpl得到连续平移变换的复合矩阵得到连续平移变换的复合矩阵T为：为：即连续的平移变换是平移量的相加即连续的平移变换

18、是平移量的相加3721212 121211 01 01 00 10 10 10 010 010 01xxxxyyxytttttttt T TT连续平移变换连续平移变换连续比例变换连续比例变换l设点设点P(x,y)经过第一次比例变换经过第一次比例变换T1(Sx1,Sy1)和第二次比和第二次比例变换例变换T2(Sx2,Sy2)后的坐标为后的坐标为P (x,y)n设点设点P(x,y)经过第一次比例变换经过第一次比例变换T1后的坐标为后的坐标为P(x,y)n设点设点P(x,y)经第二次比例变换经第二次比例变换T2后的坐标为后的坐标为P(x,y)381110000001xySTS2220000001xy

19、STS21p = T TpTp p = Tpl得到连续比例变换的复合矩阵得到连续比例变换的复合矩阵T为：为：即连续的比例变换是比例系数的相乘即连续的比例变换是比例系数的相乘3921212 12121000000000000001001001xxxxyyyySSSSSSSS T=TT连续比例变换连续比例变换连续旋转变换连续旋转变换l设点设点P(x,y)经过第一次旋转变换经过第一次旋转变换T1(旋转角度为旋转角度为1 1)和第二次旋转变换和第二次旋转变换T2(旋转角度为旋转角度为2 2)后的坐标为后的坐标为P (x,y)n设点设点P(x,y)经过第一次旋转变换经过第一次旋转变换T1后的坐标为后的坐

20、标为P (x,y)n设点设点P(x,y)经第二次旋转变换经第二次旋转变换T2后的坐标为后的坐标为P (x,y)4011111cossin0sincos0001T22222cossin0sincos0001T21p = T TpTp p = Tpl得到连续旋转变换的复合矩阵得到连续旋转变换的复合矩阵T为：为： 412211212211212121212121212112cossin0cossin0sincos0sincos0001001coscossinsincossinsincos0sincoscossinsinsincoscos0001cossT=TT121212in0sincos0001相

21、对任一参考点的二维几何变换相对任一参考点的二维几何变换l相对任一参考点的缩放变换相对任一参考点的缩放变换n平移变换，即将该参考点移到坐标原点处平移变换，即将该参考点移到坐标原点处n作相对于原点的缩放变换作相对于原点的缩放变换n平移变换，即将参考点从坐标原点移回原来的位置平移变换，即将参考点从坐标原点移回原来的位置l相对任一参考点的旋转变换相对任一参考点的旋转变换n平移变换，即将该参考点移到坐标原点处平移变换，即将该参考点移到坐标原点处n作相对于原点的旋转变换作相对于原点的旋转变换n平移变换，即将参考点从坐标原点移回原来的位置平移变换，即将参考点从坐标原点移回原来的位置4243Oxy相对于任意点

22、(x0,y0)的比例变换(x0,y0)(0,0)相对任一参考点的缩放变换相对任一参考点的缩放变换1 1001001 1110022yxyxyx平移T11 1yx平移比例1 1000000 12233yxSSyxyx1 1001001 1330044yxyxyx1001001001yx 1000000yxSSS1001001002yxT 12STTT 相对任一参考点的旋转变换相对任一参考点的旋转变换44Oxy相对于任意点(x0,y0)的旋转变换(x0,y0)(0,0)1 1001001 1110022yxyxyx平移T11 1yx平移旋转1 1000cossin0sincos 12233yxyx

23、1 1001001 1330044yxyxyx1001001001yx1000cossin0sincos R1001001002yxT 12RTTT 例：求点例：求点P(x,y)相对任一点相对任一点M(x0,y0)作缩放变换的变作缩放变换的变换矩阵。其中缩放系数为换矩阵。其中缩放系数为(Sx,Sy)解：平移得平移矩阵解：平移得平移矩阵T1为：为：进行比例变换得缩放变换矩阵进行比例变换得缩放变换矩阵T2为：为：反平移使坐标系回到原来位置得平移矩阵反平移使坐标系回到原来位置得平移矩阵T3为：为：451001001001yx 10000002yxSST1001001003yxT相对任一参考点的二维几

24、何变换相对任一参考点的二维几何变换 因此，复合变换矩阵应为：因此，复合变换矩阵应为：注意：注意：460032100001000100100 010010010010(1)0(1)001xyxxyyxSxySySxSSyS TT T 相对任一参考点的二维几何变换相对任一参考点的二维几何变换31T I以任一直线为对称轴进行对称变换以任一直线为对称轴进行对称变换l相对于平面内的任意条直线进行对称变换相对于平面内的任意条直线进行对称变换n平移，使对称轴直线经过坐标原点平移，使对称轴直线经过坐标原点n绕原点旋转，使对称轴直线的方向与某个坐标轴（如绕原点旋转，使对称轴直线的方向与某个坐标轴（如X轴）重合轴）重合n关于某个坐标轴（如关于某个坐标轴（如X轴）进行对称变换轴）进行对称变换n绕原点旋转，使对称轴直线回到原来的方向绕原点旋转，使对称轴直线回到原来的方向n平移，使对称轴直线回到原来的位置平移，使对称轴直线回到原来的位