含参量积分地分析报告性质及其应用

1、含参量积分的分析性质及其应用班级：11数学与应用数学一班成绩：日期：2012年11月5日含参量积分的分析性质及其应用1.含参量正常积分的分析性质及应用1.1含参量正常积分的连续性定理1若二 元函数f(X, y)在矩形区域R =a,b c, d上连续,则函数d(x )= c f (X, y)dy 在a,b上连续.例1设f (x, y)二sgn(x - y)(这个函数在x=y时不连续)，试证由含量积1分F(y)二0 f (x, y)dx所确定的函数在(上连续.解 因为 0 乞 x 乞 1,所以当 y<0 时,x-y>0,则 sgn(x-y)=1,即 f(x,y)=1.Q，xvy1则 F

2、 (y) = 0 dx =1.当 0 兰 y 兰1 时，f(x,y)=0迸y,J,x>yy1则 F(y)二(_1)dxdx=1_2y.0y厂 1, y<01当 y>1 时，f(x,y)=-1, 则 F(y) = (1)dx = 1,即 F(x)= A1-2y,0<y<0-1 y>1-又因 lim 1 = F (0),lim F(y)-1 = F (1).F(y)在 y=0 与 y=1 处均连续,因而 F(y) y0y1在(：，=：)上连续例2求下列极限：(1) lim+ a2dx ； (2) lim J x2 coxdx0 -10 0解 (1)因为二元函数.

3、x2在矩形域R=-1,1-1.1上连续，则由连续性定理得jx2 +a2dx在-1,1上连续.则lim° 二.x2 a2dx =Ex2a2dx x dx = 1.(2)因为二元函数x2 cosax在矩形域R=0,2-，才 上连续,由连续性定理得，函数2x2dx = 803例3研究函数F(x) = f yf(x)2dx的连续性，其中f (x)在闭区间0,1上是 ® x2 + y2正的连续函数.解 对任意y。.0,取0,使y°i .0,于是被积函数马氓在x + yR二0,1 y。- ：笛0 上连续，根据含参量正常积分的连续性定理，则F (y)在 区间y° -

4、y°，上连续，由y°的任意性知，F (y )在(0, ：)上连续.又因F(-y)2* "如yf( x)2 dx ,则 F ( y )在(-二,0)上连续.当 y=0 处0 x + y0 x + yF(y°) =0.由于f(x)为0,1上的正值连续函数，则存在最小值m>0.I yf (x)i my1mF(y) 2dx2，dx 二 marctan ,从而 lim F (y)0,但°x+y0 x + yyyT 十4F(y)在y=0处不连续，所以F (y)在(：)(0,=)上连续，在y=0处不连续.定理2设二元函数f(x,y)在区域G=(x,y)

5、| c(x)乞y < d(x), a乞x乞b 上连d(x)续，其中c(x),d(x)为a,b上的连续函数，则函数F(x,y)=f(x,y)dy在a,bc(x)1妆 dx 例4 求 lim0 ： r x2 .2 .Z dx1 x2： 2解记1(a)上连续.1.由于,1 * ,22都是和x的连续函数，1+x2 +。21 dx兀由定理2知1()在-0处连续，所以lim 1()= 1(0) 匕 .o01 亠 x 4/ 2 一例5证明函数F (y)二° e_(x_y) dx在(-“：)上连续.证明 对一厂(-：二)，令x-y=t,可推得-boF(y)° e“)2dx =t20)

6、e，dt e dt 亠 I_t2t2edt 二0 t2 .二edt_y2、.020,2对于含多量正常积分e> dt,由连续性定理可得edt在(亠,址)上连续,则-y'7, 、2 F(y)=0 e丄x)dx在(亠址)上连续.1.2含参量正常积分的可微性定理3若函数f x, y与其偏导数f x,y都在矩形区域R=a,b*c,ddd dd R上连续，则，x = f (x, y)dy 在a,b上可微，且 f (x, y)dyf (x, y)dy .cdx七七Ex定理4 设f x, y , fx x, y在R=a,b*p,q 上连续,c x ,d x为定义在a,b上其值含于p,q內的可微函

7、数，则函数F x = ：" f(x, y)dy在a,b上可微,fc( x)且 F'(x)d(x)''Jfx(x, y)dy + f (x,d(x)d (x) f (x,c(x)c (x).C(X)定理5若函数f x, y及fx x, y都在a,b;c,d上连续，同时在c,d上 a'(y)及 b'(y)皆存在，并且 a<a(y) < b,a < b(y) < b (c <y<d),则'd b(y)b(y),F (y) a(y)f(X, y)dx = a(y) fy(x, y)dx fb(y), yb (

8、y fa(y), ya (y).证明考虑函数F(y)在c,d上任何一点处得导数，由于b(y°)b(y)a(y)F(y)a(y°)f(x,y)dx.b(y。)f(x,y)dx-.a(y )f(x, y)dx 二 R(y) F2(y)-F3(y).现在分别考虑Fi(y)(i =1,2,3)在点y。处得导数.由定理5可得'b(y°)Fi(y。)= . ,、fy(x,y°)dx.a(y°)由于F2(y°) =0,所以卩25)哩。F2(y)- F2(y。)y 一 yo二 limy '70F2(y)y 一 yo二 lim b(y)

9、止. y >y0 b(y0) y - y°应用积分中值定理F2(y°) = lim b(yb(y0 f ,y).这里：在b(y)和b(y°)之间. iy0y _ y°再注意到f x, y的连续性及b(y)的可微性，于是得到F2(y。)=b (yo)fb(yo), y°.同样可以证明F3W0) =a (y。) fa(y。), y。于是定理得证.2例 6 设 F(y)= ySHMdx ,求 F'(y).解应用定理5有2.3.2(y)ysin y “ sinycosyxdx 2y1ysin yxy2 2siny3 sin y2y_3si

10、n y3 -2sin y2例7设f(x)在x=0的某个邻域U上连续,验证当U时,函数1x2百0(7 f(t)dtn -1(1)的n阶导数存在,且:(n)(xH f(x).解 由于(1)中被积函数F(x,t) =(x-t)2 f及其偏导数Fx(x,t)在U上连续,于是由定理4可得'1x2"R0(n)(x" f(t)dt(n -1)!同理x2(n2)!0(xt)n 5"ixn _3(x)=2?0( n-2)(x-t) dt1 (x-x)2 f(x)(n -1)!x(n-3)!0(t)如此继续下去,求得k阶导数为(1)X'n(x)= 0 f(t)dt,于

11、是 3(x)二 f(x).0 晋dx.解考虑含参量积分例8计算积分I显然:(0) =0, F) = I,且函数In 1 ：x)厂 在R=0,10,1上满足定理3的条件,1 x于是'iC-) = 0二 dx.(1 X2)(1 ： X)因为X _1 (a+X « )22 I 2丿)(1 x )(1 ： x) 1 :1 X 1 叱X所以1 :oEX)C )二丄(1 dx 1 亠dx-1 比2 ( 01 X20 1 X2=aarctanXo +-In(1 +x2) 0 _ln(1 +ax)。1 1 21二12In2-In(1：).1 亠：£42因此1 '(/ C)d

12、>1 1 二1亍a +-ln 2_ln(1 +ot)do(2 42110+ In 2 arctanot0201兀2In(1 ， 一二)87171In 2 In 2 - (1) 88In 2 - (1).40-'：(1)另一方面C )d： =(1) -(0) = ：(1),所以肓1n21.3含参量正常积分的可积性定理6若f x, y在矩形区域R=a,b 1 X C, d】上连续，则'x和''x分别在a,b 和 E, d 上可积.其中申(x 尸f (x, y )dy,x w fe,b,屮(x)= a f (x, y )dy.这就是说：在 f x, y连续性假设

13、下，同时存在求积顺序不同的积分:ba f(x,y PyHx 与 l |£ f(x,y-b ddx dy ,简 便记为 a dx c f (x, y dy 与dbc dy J f (x, y dx,前者表示f (x, y先对y求积然后对x求积,后者则表示先对x求 ca积再对y求积.它们统称为累次积分或更确切地称为二次积分.由可积性的定理进一步指出，在f X, y连续性假设下，累次积分与求积顺序无关,即若f x, y在矩形区域R=a,b lx c,d 1上连续,则b dd bf dxf f (x,y dy =dy J f(x, y dx.a cc a定理7若f x, y在矩形区域R=a,

14、b X C,d】上连续,g x在a,b】上可积,则作为y的函数b f x, y g x dx在lc,d 1上连续，且abddba g xdx cc f x, ydy= cdy a f x,y g x dx.注意 推论中闭区间C,d 1可以换成开区间或无穷区间，因为可积性定理是由连续性推得的，连续性是局部性质.1 xb X*求 I= 0 dx( b>a>°).矩形区域b aizb r y x x 刁曰由 x dy得aIn xb10,1丨a,b 上连续，由定理可得I= dy xydx =I= -0：xydy dx= 0dx：xydy ,因为 f x, y = xy在例10试求

15、累次积分dy=ln3a 1 y1 - a22 2 2dx f x _y dy与fdy f x y 2dx ,并指出它们为什L9 七(X? + y2f屯(x? y2 j0 -0么与定理的结果不符.2 24dy = x2 y2 2 7解:i idx-j(x2+y22x2 y2dydx=00y±i0飞半+弘+0 0 x yx yJI=arctan1 - arcta nO =.2 2 0dy0tdx = py2 2;dx,同理可得4 2 2刚y "xEx=4所以阀zdx _ x2y224即 fdxj2 2x -yx2.y22dy=0dy0d 彳 2 211 x -y dx,这与定理

16、不符.2 2 2(X2 +y2 )2因为问予d+y,y22y=lim12y212)詁开打X2 +y2(x2+y2 匚不存在,2 2x y -22 2所以 f x, y =(x+y续,不满足定理的条件.在点0,0处极限不存在，即在矩形区域01丨1-0,11上不连1/1 xb _ X*例11应用积分号下的积分法求积分，sinb1 x xlndx b a 0 .x ln xf 1、収解令 g(x )=sin In - iI x 丿 |nxb a_X-因为 lim g x =0,limg x = 0, g 0 = 0, g 1 =0,所以 g x 在 0,1 上连续.一 1所以sin In -1,1

17、- bdx= °g x = 0 asinhn-)I x丿ydy dx.令 f x,y =y, 0 . x< 1 ,0 , Ix = 0.则f x,y在矩形区域0,1 a,b上连续，由定理可知11 十(1 +y2b I a1 - XXysin tdtdy 二 arctan 1 b f-arctan 1a.2.含参量反常积分的分析性质及应用2.1含参量反常积分的连续性定理8设f (x,y)在I C, ：)上连续，若含参量反常积分*(x)=广 f (x,y)dy在I上一致连续，则(x)在I上连续.推论f(x, y)在I c, ：) 上连续，若:：(x)二 f(x, y)dy在|上內闭

18、一致 峪C收敛,则(x)在I上连续这个定理也表明，在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换：fao"boJimf(x,y)dy 二f(x°，y)dy=凹 f(xy)dyXo"X。例12证明 xeydy在a,b (a>0)上一致收敛； 在0,b上不一 致收敛.证明一 x(a,b) ,y 0,*),有o乞而;beJxydyxy收敛(a>0),由M判别法，知反常积分.0一0- dy在a,b (a>0)上一致收敛.因(x) = oxe*ydy= 0, x = 0,1,0乞x乞b .在x=0处不连续，而xe在0乞x < b,0 <y &l

19、t; +二 內连续，由连续性定理知13回答对极限dy在0乞x < b上不一致连续.Xy©-Xydy能否施行极限与积分运算顺序的变换来求解?2lim 0 2xyexydy 巳汁x_0。_xy22 2)e ydxy 弋xy 6c=lim 1 =1. 0 x 0 . 7 2而0'|im 2xyexydy二0dy =0运算顺序不能交换，是因为力丫昇在0,b X0 '(b>0) 上不一致收敛，故不满足含参量反常积分连续性条件.定理9如果函数f (x,u)在a,+ : )x ，：上连续，而且积分.一'f (x,u)dx a在 上一致收敛，那么由( X) =.f

20、 (x,u)dx所确定的函数在a上连续.证明 由于L f (x,u)dx在。,阳上一致连续，故对任意s>0,存在A°>a,使得不等式丨"f (x,u)dx | v二对:J 中所有的u成立.因为函数f(x,u)在A03:，:上连续,"f(x,u)dx是:中的连续函数,因而对任意u。：,：,任 A意& >0,存在S >0 ,当 ua,P且 u-u0时,I Aof(x, u)dx-aAf(x,Uo)dx Iu- U0 I VS 时,Ao：Uo I-bef (x,u) dx-beI.f (x,uo)dx 1 匕 3I 0 f (x, u)d

21、xAo f (x, uo)dx-aI-be|1Aof(x，u)dx 1+1 J(x,u°)dx 1 <3+3 乜这就证明了在Uo处是连续的.由于Uo是:/ 中的任意点,所以在：上连续 这个定理也可以写成：lim j f(x,u)dx f(x,uo)dx = i (lim f (x,u)dx u-u。7。即在积分一致收敛的条件下，极限号与积分号可以交换.dx的连续性区间.14讨论函数;：G')二也 arcta nxx (2 x3)先看函数;：0 )的定义域是什么，即上述积分在什么范围内收敛.在x=0附近，x (2 x3)arcta nx dxl丄.所以当<2时，积分

22、二arctanx dx收敛.arctanx ,二dx 2X“0 x：(2 x3)dx当x：时，送严；dx2去，所以积分遗严x当'>-2时收敛. x (2 x)2 xx(2 x)由此得知X：)的定义域是(-2,2).我们只需证明在任意a,b(-2,2 )上连续.根据定理9只要证明上面的积分在a,b上一致收敛.而 b-1<1,bx当x(0,1)时，设a4<2,这时存在常数c使得arctanx dx_l_a3 UA.a 1x (2 x) x故由比较判别法，积分1 arctanx3 dx在xP+x)(+： ,b 一致收敛.当x 1,+ :：)时,设-2V,贰dx吕吕而a+3&

23、gt;1,故有比较判别法，积分氐 arctanx , yp dx在1 X(2 X ):arctanx dx在a,+ -)上一致收敛，把积分合在一起，即知 x ：(2 x3)a,b(-2,2 )上一致收敛，故在(-2,2 )上连续.注意与级数的情形一样，积分的一致收敛只是保证 连续的一个充分不必 要条件但在f非负的条件下，积分的一致收敛便是=连续的必要条件2.2含参量反常积分的可微性定理10 设f(x,y)与fx(x,y)在区域I c, 上连续.若(X)=广0 f (X, y)dy在I上收敛，广fx(x, y)dy在I上一致收敛,则(x)在I上可微,且'(x)=广fx(x,y)dy.例

24、15 求积分：eOSxydx.0x二 a 1 cosxyy)e-2dx=J(y) = 0 J'(t)dt,x解 记J(y)=o：ec°sxydx,有参量反常积分可微性定理推得J'(y) =o：e-sinxydx=arctany,而 J(0)=0,所以 ° xy12I = 0 arctantdt = yarctany -才n(1 +y ).2例16对F(x)= o ' x3e"<ydy能否运用积分与求导运算顺序变换求解2逻辑推理 验证函数F (x) = j0 _x3eydy是否满足可微性定理条件，若不满足条件，则不能变换顺序.1,_ X

25、 = 0,解 由于 0 (x'eJdy = o (3x2 f2x4y)e*"dy =" 0, x = 0.因而fEL(x3e2y)dy在0,1】上不一致收敛，故不能运用含参量反常积分可微性定2理.实际上，因 F(x) = o'x3e" ydy =x ,- 二，* ,则 f'(x) =1,而2 20(xey)dy 二(3x -2x y)e ydy在x=0处为零.故积分与求导运算不能交换顺序.定理11 (积分号下求导定理)设f (x,y)与fx(x,y)在I c, * 上连续.若(X) = f (X, y)dy在I上收敛,而J fx(x, y)

26、dy在I上内闭一致收敛,则(x) c在 I 上可微，且:(x) =fx(x, y)dy.Lc证明设 Cn C。= C为一递增且趋于*的数列，记Un(x)二nc f (x,y)dy,n=1,2cn丄且有l(x)=f un(x).由正常积分的连续性定理得un(x) (n=1,2，)在la,b上 n丄可微,且Un'(x) = f (x, y)dy,n=1,2，由已知条件 广fx(x,y)dy在Rb】上一 致收敛,又因若含参变量反常积分c "f (x,y)dy关于xIa,b 1致收敛，则函数项 级数己un'(x)关于xe a,b一致收敛.从而函数项级数n 2QOCO、&quo

27、t;'(X)八ngngCn:5丄(3)3。fx(x,y)dy也在a, b 1上一致收敛，根据函数项级数的逐项求导定理，即得i(x)在a,b 1上可微,oo"bol'(x)八 un'(x)二 c fx(x,y)dy.上述定理的结果也可记成ddxn 二dc f(x, y)dy 二 c ' f(x, y)dy. dx cc ;x定理12如果函数f和兰都在a,；'： j i上连续，积分在cu無右UL, P】上一致收敛，那么®(u) = f (x,u)dx在。，P】上可微，而且a化)=严空型dx,応u邛.aa In证明 对于任意正整数na,令(

28、xH . f (x,u)dx.又因为若函数f及其偏 a导数f都在闭矩形I =a,bkk,p】上连续，那么函数申(x)= f f(x,u)dx在b,p cua上可微，而且a(x)二b(二f(x,u)dx.所以n在-上有连续的导函数dua cu帯/( x, u)'n(U)adx.Pcu由于，fLdx.在L J 1上一致收敛，所以函数列：'(u)1在'，上一致收敛，、acu且因n ：?在：'上收敛于,故在L ,上连续可微，且'(u) 辿二心a/-I I成立.例17利用对参数的微分法，计算微分3上x2dx, a > 0,b > 0.-：e _e0 20 x- .2解把a看作参数,记上面的积分为1(a),那么l'(a)二一 "ax dx.为了说明微 0分运算和积分运算的交换是允许的，我们把a限制在区间中，这里.是任意一个正数.于是ex <e-dX.由于0 B dx.收敛,故由Weierstrass 判别法-Q2知道,积分j0ex dx.对aw b,兄 中一致收敛,故由上述定理可知上面的运算成忖 ox2立.由于0是任意的,故l'(a)=-j0 edx.在o,=中成立.计算得l'(a)