河海大学理学院《高等数学》11-5幂级数的应用ppt课件

1、 高等数学（下）高等数学（下） 河海大学理学院河海大学理学院第三节 幂级数展开式的运用3 高等数学（下）高等数学（下）一、近似计算,21 naaaA,21naaaA .21 nnnaar误误差差两类问题两类问题: :1.1.给定项数给定项数, ,求近似值并估计误差；求近似值并估计误差；2.2.给出误差给出误差, ,确定项数确定项数. .关健关健: :经过估计余项经过估计余项, ,确定误差或项数确定误差或项数. . 高等数学（下）高等数学（下）常用方法常用方法: :1.1.假设级数是交错假设级数是交错(L) (L) 级数级数, ,那么可用余项的首项那么可用余项的首项来处理来处理; ;2.2.假设

2、不是交错级数假设不是交错级数, ,那么放大余项中的各项那么放大余项中的各项, ,使之使之成为等比级数或其它易求和的级数成为等比级数或其它易求和的级数, ,从而求出其和从而求出其和. .例例1 1.10,5 使其误差不超过使其误差不超过的近似值的近似值计算计算e解解,!1! 2112 nxxnxxe, 1 x令令,!1! 2111ne 得得 高等数学（下）高等数学（下）余项余项: : )!()!(2111nnrn)211()!1(1 nn)1(1111()!1(12 nnn!1nn ,105 nr欲欲使使,10!15 nn只只要要,10!5 nn即即,10322560!885 而而! 81! 3

3、1! 2111 e71828. 2 高等数学（下）高等数学（下）例例2 2.,9sin! 3sin03并并估估计计误误差差的的近近似似值值计计算算利利用用xxx 解解20sin9sin0 ,)20(61203 52)20(!51 r5)2 . 0(1201 3000001 ,105 000646. 0157079. 09sin0 156433. 0 其误差不超越其误差不超越 . .510 高等数学（下）高等数学（下）二、计算定积分.,ln1,sin,2难难以以计计算算其其定定积积分分函函数数表表示示原原函函数数不不能能用用初初等等例例如如函函数数xxxex 解法解法逐项积分逐项积分展开成幂级数

4、展开成幂级数定积分的近似值定积分的近似值被积函数被积函数 高等数学（下）高等数学（下）n n 3 3 时，时，30001!771 ,104 取前三项作为积分的近似值取前三项作为积分的近似值, ,得得! 551! 3311sin10 dxxx9461. 0 例例3 3.10,sin410 精精确确到到的的近近似似值值计计算算dxxx 642!71! 51! 311sinxxxxx解解),( x !771! 551! 3311sin10dxxx收敛的交错级数收敛的交错级数)!12)(12(1nnrn410 高等数学（下）高等数学（下）的的幂幂级级数数展展开开式式由由xenixixnixixe)(!

5、1)(! 2112)!12() 1(! 31()!2() 1(! 211 (12322nxxxinxxnnnnxixsincos xcosxsin三、Euler公式 高等数学（下）高等数学（下）xixeixsincosieexeexixixixix2sin2cosxixeixsincos 提示了三角函数和复变量指数函数之提示了三角函数和复变量指数函数之间的一种关系间的一种关系. .欧拉公式欧拉公式)sin(cosieei 高等数学（下）高等数学（下）思索题思索题1 1、求函数、求函数 excosx excosx 关于关于 x x 的幂级数的展开式的幂级数的展开式解解)Re()4sin4(cos

6、2xie0!)4sin4(cos2Rennnxni),(!4cos202nnnnxn 高等数学（下）高等数学（下） 1022)212()(nxnndxxnxs 112)2(nnnx)2(1(12 nnxx)21(22 xxx)2(2 xx,)2(2222xx .3)1(2121snnn故2 2、.2121的的和和求求 nnn解解,212)(221 nnnxnxs令令)2, 2( 高等数学（下）高等数学（下）3、.2!12的的和和求求 nnnn解解,!)(12nnxnnxs 令令),(xnnxnnxs1)!1(1) 1()(nnnnxnxn12)!1(1)!2(1xxxeex2 122 !nnnn)21( s .43e 11nnxnn)!( 高等数学（下）高等数学（下）四、求数项级数的和2.2.利用级数和的定义求和利用级数和的定义求和: :(1)直接法直接法;(2)拆项法拆项法;(3)递推法递推法.例例4 4.21arctan12的的和和求求 nn解解,21arctan1 s81arctan21arctan2 s812118121arctan ,32arctan 1.1.求得函数项级数的和函数求得函数项级数的和函数, ,代值求和代值求和. . 高等数学（下）高等数学（下）181arctan32arctan 181arctan23 ss,43arctan 1