学而思九年级数学教材完整版

1、学而思九年级数学教材HEN SyStem OffiCe room HEN 16H-HENS2AHENS8Q8-HENy且满足AD=AB, Z1、如图，已知动点A在函数y= x (x>0)的图象上， AB±x轴于点B, AC丄y轴于点C,延长CA至点D,使 AD=AB,延长BA至点E,使AE二AC.直线DE分别交x, y 轴分别于点P, Q.当QE： DP二4： 9时，图中阴影部分的 面积等于2、如图，在AABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点,ADE=ZC.(1) 求证：ZAED=ZADC, ZDEC=ZB：(2) 求证：AB2二AE?AC.3、(2000?河北)已知：如

2、图，在ZXABC中，D是BC 边上的中点，且AD=AC, DE±BC, DE与AB相交于点 E, EC与AD相交于点F.(1) 求证：ABCFCD;(2) SFCD二5, BC=IO,求 DE 的长.1 y = 一3、如图，已知第一象限内的图像是反比例函数X 图像的一个分支，第二象限内的图象是反比例函2数y- V图象的一个分支，在X轴的上方有一条 平行于X轴的直线1与它们分别交于点A、B,过 点A、B作X轴的垂线，垂足分别为C、D.若四边 形ABCD的周长为8且AB<AC,则点A的坐标为4、(2011?宇波)正方形的AIBIPIP2顶点Pl、P2 在反比例函数y= V ? (x

3、>0)的图象上，顶点Al、Bl分别在X轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形2P2P3A2B2,顶点P3在反比例函数y"? (x>0)的图象上， 顶点A2在X轴的正半轴上，则点P3的坐标为_ 1 . 1_kyZ=兀一1y =5、直线 2与反比例函数X (x<0)的图像交于点A,与X轴相交于点B,过点B作X轴垂线交双曲线于点C,若AB=AC,则k的值 为（） 6、（2011?十堰）如图，平行四边形AoBC中，对角线交于点ky = -E,双曲线 a- （k>0）经过A, E两点，若平行四边形AOBC的面积为18,则k=62y =-7、（2011?荆门）如图，双曲线

4、 X ? （x>0）经过四 7 边形OABC的顶点A、C, ZABC=90o , OC平分OA与X轴 正半轴的夹角，ABx轴.将AABC沿AC翻折后得AAB' B,点落在OA ±,则四边形OABC的面积是C,2L8、（2012?扬州）如图，双曲线y" 经过RtZOMN斜边上的 点A,与直角边MN相交于点B,已知OA二2AX, （）AB的面积为OBO0,则k的值是12 9、（2013?成都一模）如图，在平面直角坐标系Xoy中，直线ABky =-与X轴、y轴分别交于点L B,与反比例函数 X （k为常数, 且k>0）在第一象限的图象交于点E, F.过点E作E

5、M丄y轴于过点F作FN±xBE _ 1轴于N,直线EM与FN交于点C.若BFm （1为大于1 的常数）记ACEF的面积为SI, OEF的面积为S2,则归二 ？（用含m的代数式表示）13yx =-” = 一10、（2012?桂林）双曲线 X, X,在第一象限的 图像如图所示，过y2上任意一点茁 作X轴的平行线交yl 于点B,交y轴于点C,过A作X轴的垂线交yl于点D,交BDX轴于点E,连接BD, CE,则CE =o11、（2010?惠山区模拟）如图，RtABC的直角边BC在X 轴正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E,双曲线y=x (x>0)的图象经过点A,若

6、ABEC的面积为4,则k等y =12、如图，M为双曲线X上一点，过点M作X轴、y轴的垂线，分别交直线y=-+m于点D、C两点，若直线y=-+m与y轴交于点A,与X 轴相交于点B,则AD?BC的值为13、(2010?武汉)如图，直线y= 3 与y轴交于点A,D、Ak_与双曲线y=；在第一象限交于B、C两点，且AB?AC二4,则k二14、(2009?兰州)如图，若正方形OABC的顶点B和正方SOL形ADEF的顶点E都在函数y二X(x>0)的图象上，则点E的坐标是15、如图，A、B是双曲线ky = X (k>0)上的点，A、B两点的横坐标分别是/ 2a, C,若 SA0C=6.则 k二线

7、段AB的延长线交X轴于点416、(2010?无锡)如图,已知梯形ABCO的底边AO在X轴L上，BC/7AO, AB丄A0,过点C的双曲线y=x交OB于D,且0D：DB=I: 2,若ZOBC的面积等于3,则k的值。17、如图，正方形OAPB,等腰三角形AFD的顶点A、D、B在坐标轴 上，点匕F在函数ByBC9y=x (x>0)的图象上，则点F的坐标为ky = 18、如图，Pl, P2是反比例函数X (k>0)在第一象限图 O像上的两点，点AI的坐标为(2, 0),若APlOAl与厶P2A1A2均为等边三角形.反比例函数的解析 式；A2点的坐标BD XO D C在直角AADE中，山勾股

8、定理，得SjADrTAET =DE=4k4，= X，= ，= X19、如图，直线3与双曲线 X交于点A,将直线3向y （x>0）交于点B,与X轴交于点右平移2个单位与双曲线 A-C,若 AO： BC二2,则k=y = y = 20、如图，点A在双曲线X上，点B在双曲线 X上，且ABx轴，点C、D在X轴上，若四边形ABCD为矩形，则它 的面积为2 21、ky = 如图，直线y=mx与双曲线X交于A、B两点，过点A作AM丄X轴，垂足为M,连接BM,若SABM=2,则k的值是k_22、（2010?内江）如图，反比例函数y二X （k0）的图像经过矢5/交点M,分别与AB、BC相交于点D、E.若四

9、边形ODBE的面积为/则k的值为 。I 23、如图，点A在双曲线y= X的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴于点B,点C 在X轴正半轴上，且0C=2AB,点E在线段AC上，且AE=3EC,点D为OB的中点, 若AADE的面积为3,则k的值为2015重庆九年级数学培优试题答案1、解：解法一：过点D作DG丄X轴于点G,过点E作 EF丄y轴于点F44令 A (t, f ,则 AD二AB二DG二/ , AE=AC=EF=tT ZEFQs zDAE, AQE： DE二EF： AD,心+ 16 QE=4,VADEGPD,DE: PD=AE: DG,4&+16DP 二t'XvQE： DP=4

10、： 9,= 4:9rr4 + 16 4 + 16 A =4：?-8解得t2二丄 11£16 413图中阴影部分的面积=2AC2+2 AB2=2 t2+2 ×tr =3 +3= T .解法二：VQE： DP二4： 9,EF: PG=4： 9,1设 EF=4t,则 PG=9t,A (4t, t ),I l I AC=AE AD=AB,1 1AE=4t, AD二 f, DG=GP=9t,. ADEGPD,AE: DG二AD： GP,1 1 14t： f=f : 9t,即 t2二6，££1 13图中阴影部分的面积二亍×4t×4t÷2

11、 × 7 × F = T 13故答案为：3 .2、证明：(1)在AADE和ZXACD中，V ZADE=ZC, ZDAE=ZDAE, ZADC=I80o -ZDAE-ZC,V ZAED+ZDEC=180o ,ZADB+ZADC=180o ,乂 VAB=AD,AZADB=ZBZAED=180o -ZDAE-ZADE, ZAED=Z ADC.AZDEC= Z ADB,AZDEC= ZB.AB2=AE2AC.(2)在AADE 和AACD 中,曲(1)知 ZADE=ZC,ZAED=Z ADC, ADE ACD,AD _ AC即 AD2=AE?AC. 乂 AB=AD,设A点坐标为(3、

12、证明：VAD=AC,/. ZADC=Z ACD.D是BC边上的中点，DE丄BC,EB=EC,AZEBC= ZECB. ABCFCD;(2)解：过A作AM丄CD,垂足为M.ABCsZFCD, BC=2CD,XECl) =(££)2 =(j_)2 =丄.S”. CB 24VSFCD=5,SABC=20.丄乂TSAABC二 2 ×BC×AM, BC二 10,AAM=4.乂 DM二CM二 2 CD, DEAM,2DE： AM=BD: BM=亍, 3、1y =解：点A在反比例函数 X图象上, AB平行于X轴,丄点B的纵坐标为“,2而点B在反比例函数y=- Y图象上

13、,£B点的横坐标=-2×a=-2a,即B点坐标为(-2a, G),丄AAB=a- (-2a) =3a, Ae二"，四边形ABCD的周长为8,而四边形ABCD为矩形,£.AB+AC二4,即 3a+"二4,整理得，3a24a+l=0?(3al)(al)二0, alzz 3 T a21、而 AB<AC,a=3 ,3-i).5>£A点坐标为（* 3） £故答案为（3, 3）.4、P3E丄X轴于E, P3F丄P2D于F,如图,解：作PlC丄y轴于C, P2D丄X轴于D,2 2设 Pl (a,"),则 CPl=a,

14、 OC二"，四边形AIBIPIP2为正方形，RtPlBlCRtBlA10RtAlP2D,OBl=PlC=AlD=a,2OA1=B1C=P2D= «-a,2 2P2的坐标为(J «-a),2把P2的坐标代入y二X? （x>0）,2 2得到（0-&）Qa =2,解得&二T （舍）或 &二1,P2 (2, 1),2设P3的坐标为（b, b ）, 乂 Y四边形P2P3A2B2为正方形,RtP2P3FRtA2P3E,2P3E二P3F二DE二,2 OE二OD+DE二2+ b ,2 _2+=b,解得 b二 1-厲(舍)点P3的坐标为（血+1,血-1

15、) 故答案为：（的+1,解：过A作AD丄BC于D,如图，丄丄对于 y二-2 -l,令 y=0,贝卜 2 -l=0,解得 X二-2,B点坐标为(-2, 0),CB丄X轴，C点的横坐标为-2,k_k_对于 y=x T 令 X二-2,则 y二- 2 ,C点坐标为(-2,VAC=AB, AD 丄 BC,DC=DB,D点坐标为(-2,k_A点的纵坐标为-二ky = 而点A在函数 X的图象上,kk y 把y二- 4代入X得X二-4,点A的坐标为(-4,L丄 £ 丄把 A (-4, -4)代入 y=-2x-1 得-7二-3><(-4)-bk=-4.6、解：分别过点A、E作AM、E垂直于

16、X轴于M、X,则 AMEN,TA、E在双曲线上，三角形AOM与三角形OEN的面积相等，四边形AoBC是平行四边形，AE=BE,VAMEN,MN=NB,丄AEN= 2 AM,£0M= 2 0N,根据三角形的中位线，可得MN=BX,AOM=MN=BN,设A (x, y),由平行四边形的面积二OBXAM=IS,.3xXy二 18, Xy二6,即 k二6；故答案为：6.7、解：延长BC,交X轴于点D,设点 C (x, y) , AB=a,VOC平分OA与X轴正半轴的夹角,CD二CB' , 0CD0CB, 再由翻折的性质得,BC=B, C,T双曲线y =x? (x>0)经过四边形

17、OABC的顶点A、C,丄SOCD=2 xy,丄SOCB, =2xy=l, 山翻折变换的性质和角平分线上的点到角的两边的距离相等可得BC=BZ C=CD,点A、B的纵坐标都是2y,VAB/Zx 轴，2y (-a) =2,VXy=2点 A (XP 2y), xy-ay=Lay=l9丄 丄SABC=2 ay=2 ,丄£故答案为：2.ASOABC=SOCBz +SAB, C+SABC=l+2 +2 二2.8、33N点坐标为(亍/ 2b),解：过A点作AC丄X轴于点C,如图，则 ACNM, OACONM,OC: OM二AC： NM=OA： ON,而 OA二2AN,即 OA： ON二2： 3,设

18、 A 点坐标为(a, b), 则 OCF AOb,33OM= 2 a, NM= 2 b,点B的横坐标为2弘 设B点的纵坐标为y,k_3J点A与点B都在y"图象上，k=ab=2a9y,232y= 3 b,即B点坐标为(2 a, 3 b),5VOA=2AN, ZiOAB的面积为5，/.NAB的面积为亍,5 15ONB 的面积=5+2 = 2 ,：.2 NB?OM= 2 , g 2 X ( 2b-3b) × 2 a= 2 ,ab=12,9、k=12.故答案为12.解：过点F作FD丄Bo于点D, EW丄AO于点W,BE _ 1 莎一恳（m为大于1的常数），ME _ DF In JV

19、ME?EW=FN?DF,I DF EW m ,设E点坐标为：（x, my）则F点坐标为：（mx, y）,CEF 的面积为：Sl= 2 (m-)(my-y)二2 (m-) 2xy,/ 0EF 的面积为：S2二S 矩形 CNOM-S1 -SMEO-SFON£ £ £=MC?CN-2 (In-I) 2xy-2ME?M0-2FN?NO£ £=mx?my- 2 (m-) 2xy_ 2 x?my- 2 y?mx£二m2xy- 2 (In-I) 2xy-mxy丄丄二 2 (m2-l) Xy二 2 (m+) (mT) xy,SI _ A"T

20、)F*£(加一 1)(？ +I)Ay, + 1?一1 2 .故答案为：加+ 110、33解：设A点的横坐标为m把X二&代入y二X得y-a ,则点A的坐标为（a,TAC丄y轴，AE丄X轴,32C点坐标为（0, "） , B点的纵坐标为"；E点坐标为（d, 0） , D点的横坐标 为a,1TB点、D点在y二X上,3a1.当 y二 a 时，X二 3 ；当 =a, y二"，a 31B点坐标为(亍，")，D点坐标为(a,"),a 2a3123AAB=a-3= 3 , AC=a, AD二"一"二 J AE= «

21、; ,2 2AB= 3 AC, AD= 3 AE,而 ZBAD=ZCAD,BADCAE,：.CE AC 32 故答案为亍11、解：TBD为RtABC的斜边AC上的中线，BD=DC, ZDBC=ZACB,又ZDBC=ZEBO, ZEB0=ZACB,又ZBOE=ZCBA=90° ,B0ECBA,BO oE：.BC AB ,即 BC X OE二Bo × AB.£乂 SBEC=4, 2 BC?Eo二4,即 BC ×0E=8=B0 XAB= k .乂由于反比例函数图象在第一象限，k>0. 所以k等于8.12、解：作CE丄X轴于E, DF丄y轴于F,如图， 对

22、于 y=-+m,令 x=0,则 y=m；令 y=0, -+m=0,解得 X=In,A (0, m) , B (m, 0),OAB等腰直角三角形，ADF和ACEB都是等腰直角三角形，设M的坐标为(a, b),则ab",CE=b, DF=a,AAD=V2DF2a BcMceMx故答案为2転.AD?BC= V2a92 b二2db二2F.13、3<X + b片解：对直线方程y= 3,令y二0,得到x=3b,即直线与X轴的交点D的坐标为（血，0）,令x=0,得到y=b,即A点坐标为（0, b）,AOA=b, ODMb,OA _ 3Y 在 Rt AOD 中，tan ZADO= OD 3 ,

23、3 ZADO=30° ,即直线y二-3 +b与X轴的夹角为30° ,3k_直线y二-3 x+b与双曲线y二X在第一象限交于点B、C两点，33A- 3 x+b= X ,即- 3 x2+b-k-0, 山韦达定理得：xlx2二"二d,即EB?FC二k,23AAB= 3 EB,同理可得:EB3. AB =cos30 二 2 ,23AC= 3 FC,23/.AB?AC= ( 3 EB)23(3 FC)= 3 EB?FC二 3解得：k"14、解：依据比例系数k的儿何意义可得正方形OABC的面积为1, 所以其边长为1,设点E的纵坐标为m,则横坐标为l+m,所以In （

24、l+m）二1,-7?-17?-1解得 InI= 2, m2=2.由于沪 2 不合题意，所以应舍去,故m= 2G+ll+m= 2故点E的坐标是（2，2）15、解：分别过点A、B作X轴的垂线，垂足分别为D、E,再过点A作AF丄BE于F.则 AD BE, AD=2BE= « ,B、E分别是AC、DC的中点.在ZABF 与 ACBE 中，ZABF=ZCBE, ZF=ZBEC=90o , AB二CB, ABFCBE.SAOC=S 梯形 AoEF二6k_XvA (a, ) , B (2a,k_2 ),££土兰.S 梯形 AOEF= 2 （AF+OE） ×EF= 2

25、（a+2a） X "二 2 二6, 解得：24.故答案为：4.16、解：方法1：设B点坐标为（a, b）,£ VOD： DB=1： 2,D点坐标为 Ca, 3b）,根据反比例函数的儿何意义，£ 3a?3b=k,ab=9k,k_VBCA0, AB丄AO, C在反比例函数y二X的图象上,设C点横坐标为m,则C点坐标为（b b）L k_ 将（m, b）代入y=x得，b二加BC二&一 b , 乂因为AOBC的拓为AB,£所以 S0BC=2L(3 ) ?b=3,丄 i 所以亍(3 ) ?b=3,k_(ab ) b=6,ab-k二6，yE k B把代入得，3

26、9k-k=6,解得 k=4 .方法2：延长BC交y轴于E,过D作X轴的垂线，垂足为F.IOAB的面积二ZiOBE的面积，ODF的面积二ZiOCE的面积,£3可知，ODF的面积二E梯形DFAB= 8 ABOC的面积二补丄 1 Bj2k=8 ,17、9解:VOAPB是正方形，点P的横纵坐标相等，且点P在函数y二：上,点P的坐标为（3, 3） 设F点的坐标为（x, y） : y=-3,9 将其代入函数y= 7中，VADF是等腰直角三角形,3 + 3?3 卡 _3得 X二 2, y= 2,0A2 二2+2a二2 血，A2 (2Q 0) 把P2点坐标（2+/ a）代入y=兀,即：(2+a) a=,3 + 3?3辰3点F的坐标为(2 ,2).18、解：(1)作PIB丄OAI于点B,T 等边APlOAl 中，OA1=2,0B=b PIB二的,k把PI点坐标(1,的)代入y =X,3解得：k=血，y= X ；(2)作P2C丄A1A2于点C,等边 P2A1A2,设AlC=a,则 P2C=a, 0C=2+a,解得 al= 91, a2 = 9>2 Qi (舍去)，故答案为:B （一X, -y）,19、解：设