广西贵港市高三上学期12月联考数学(理)试题+Word版含解析

1、广西贵港市2018届高三上学期12月联考数学（理）试题+Word版含解析贵港市2018届高中毕业班12月联考理科数学第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合 A=11、2,3,若 ACIB = 1、2, A UB = 11,23,4.5,则集合 B 中的元素 个数为（）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C【解析】结合交集的结果可知：32 UB,且3WB,结合交集的结果可得：45 GB,综上可得：B=H24,5,集合B中的元素个数为4.本题选择C选项.2 .九章算术勾股章有一 “引葭赴岸”问

2、题：“今有池方一 丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适及岸齐.问水深、葭 长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一颗类 似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好及岸边齐 （如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）1/177/17广西贵港市2018届高三上学期12月联考数学（理）试题+Word版含解析C.11L2【解析】如图所示，设水深为x尺,由题意可得：（x+2）2 = x? + 52, 求解关于实数x的方程可得：x =即水深为蓝尺，又葭长为B尺，则所求问题的概率值为p4本题选择A选项.3 .若复数满足z+2i

3、 = |4 + 3i|,则2=（）A. -5-21 B. 5 + 2i C. -5 + 2i D. 5-2i【答案】D【解析】由复数模的定义有：14+3” =、再了 = 5,则：z+2i = 5, ；z = 5-2i.本题选择D选项.4 .已知等差数列同中，a3 = 9, 4 = 21,若=a2n+3,则数列%的前广西贵港市2018届高三上学期12月联考数学(理)试题+Word版含解析A. 90 B. 150 C. 440 D. 880【答案】C【解析】本题考查等差数列的定义，通项公式和前n项和公式及数列的基本运算.设公差为4则= 15 = a?+ 3d = 6 + 3d, . d = 3;所

4、= a2-d = 3;于是bn = a2n = ai + (2n-l)d = 3 + (2n-l)3 = 6n bn+1-bn = 6(n+ l)-6n = 6,数列bj是等差数列,则数列0的前5项和等于5 x 6 + x 6 = 90故选C5 .正数a、b、c满足 log2a = log3b = Tog5C>0,则()A. a<b<cB. a<c<b C. c<a< b D. c<b<a【答案】c崎怪谶i,硼噬=1咂=-幅贝lj ： a = 2,b = 3,c = 7, -c <a <b.5本题选择c选项.6 .在卜2.)6的

5、展开式中，常数项为()A. -240 B. -60 C. 60 D. 240【答案】D【解析】试题分析：枕中的展开式中，-=*2严T = (T),C*"令12 3厂0,得,r=4,常数项等于(-1)乜=15,故选A。考点：本题主要考查二项展开式的通项公式。点评：简单题，利用二项展开式的通项公式，确定使其为常数项的r值，然后求常数项。7 .如图，网格纸上小正方形的边长为1,下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. 16 B. 8 + 喷 C. 12 D. 4 + 8近【答案】B【解析】结合三视图可得，该几何体是正方体截去一部分之后的 四棱锥P-ABCD,如图所示，该几何体的

6、表面积为：4 + 2 + 2 + 2忑+2亚=8 + 4M本题选择B选项.点睛：（1）以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对 给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素 间的位置关系及数量关系.（2）多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注 意重合部分的处理.8 .执行如图的程序框图，那么输出的S值是（）广西贵港市2018届高三上学期12月联考数学(理)试题+Word版含解析A. 20 B. 21 C. 35 D. 56【答案】C【解析】阅读流程图，程序运行如下:i = l,S = 0；i = 2,S = 0 + C；;i = 3,S = 0 + C： + C

7、；;i = 4,S = 0 + C： + C； + C：;i = 5,S = 0 + C： + C； + C；+ C；i = 6$ = 0 + C； + C；+ C； + C；+ C,；则输出值为 S = 0 + C 介。+ C： + C； + *U = 35.本题选择C选项.9.已知函数汹=8念+可0侬泉* + ：)是奇函数，则()A. f(x)在向上单调递减B. f(x)在国上单调递减C. f(x)在向上单调递增D. f(x)在网上单调递增【答案】B【解析】由函数的解析式有：+曰=冲+ ：+沙函数为奇函数，则当 x = 0 时：x + ；+q)= q)+ ：=k7t + ”(p = k7i

8、 + (kCZ),4424广西贵港市2018届高三上学期12月联考数学（理）试题+Word版含解析令k=。可得：值，即函数的解析式为：f（X）=COS（X + J,结合函数的性质可得：函数在区间的上不具有单调性,在区间的上单调递减.本题选择B选项.10 .直线y = x-1及抛物线y2 = 4x相交于M、N两点，抛物线的焦点为F,设应（ =加4,则的值为（）A. 3±2 拒 B. 2士应 C.D. 2 於【答案】A【解析】设M（Xi，y）N（x而,若'if, 贝=X十X = 3+22则网=x?+1 =-应(-1), .f=3-2区 tz |FIvl| X十 1 4+2&quo

9、t; L故：A= =广=3 + 2应|FN| x2+ 1 4 - 2m若NYX?,同理可得：.= 3-2反本题选择A选项.点睛：（1）直线及抛物线的位置关系和直线及椭圆、双曲线的位 置关系类似，一般要用到根及系数的关系;（2）有关直线及抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|月例=及 +也+,，若 不过焦点，则必须用一般弦长公式.11 .若不等式In虫*匕曳1力-1）.。对任意的xw（.gj恒成立,则的取值范围是()/101rio A.B. , + C. 2, + 0O) D. (-8,2【答案】D【解析】由题意结合对数的运算法则有：1产二)34,由对

10、数函数的单调性有：亘32：三 33整理可得：叱不，由恒成立的条件有：”(用皿，其中y=了咱7“，当且仅当x=o时等号成立1 .1. 2大即X =。时，函数y = V-取得最小值2.3X综上可得：a W 2.本题选择D选项.12.已知函数f(x)=a' + b(a>O.aHD的图象经过点即，3), Q(2,5),当nN*时,记数列同的前。项和为“当Sn4时，n的值为()t(n) 1(" 1)33A. 7 B. 6 C. 5 D. 4【答案】D【解析】由题意结合函数的解析式可得：层：；;；，求解方程组有：1二：则函数的解析式为：f(x) = 2'+,业,* 时 _

11、f(n)T _ 2n _ 】1xWN ， n f(n”f(n+l) (2n+ 1) 2n+ 1 2n +1 + 1?则：S，l = (2+1 2十 J -(22 + l 23+J""" L'+l 2,1+1 + J =匚?由?七4可得：”4本题选择D选项.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项， 保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后 对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源及目的.第口卷(共90分)二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.向量6 = (-1,3),贝 Ij(2l + 6)A =【答案

12、】5【解析】由题意可得：齿+6 = 2(2,T) + (T,3) = (3J),y>0则:(2a + b)-a = (3,1) - (2,-1) = 6-1 = 5.14.已知不等式组ywl-l表示的平面区域为M,若直线y = kx-9k + 5x + y<8及平面区域M有公共点，则实数k的取值范围是【答案】。5【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,直线y = kx-9k + 5 = k(x-9) + 5 恒过定点 D(9,5), 则满足条件的直线介于直线DA及直线DC之间.点的坐标A(3,5), B(8,0),其中二心及人月即实数k的取值范围是。5.点睛：目标函数中含有参数

13、时，要根据问题的实际意义注意转化 成“直线的斜率”、“点到直线的距离”等模型进行讨论研究。 当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域要注意应用“过定点的直线系”知识，使直线“初步稳定”，再结合题中的 条件进行全方面分析才能准确获得答案.15 .设双曲线c£->2=的右焦点为F?,则F?到渐近线的距离为4【答案】1【解析】结合双曲线的方程可得：a2 = 4H=l, WJ: c2 = a2 + b2 = 5, 右焦点坐标为（6。），一条渐近线方程为：y = %,即：x-2y = 0,则右焦点到渐近线的距离为：d = R=L16 .如图所示，正方体ABCD-A】BgR的棱长为1,

14、线段BR上有两 个动点E、F,则下列结论中正确结论的序号是. ACBE;直线AE及平面DBBR所成角的正弦值为定值!4J11/17广西贵港市2018届高三上学期12月联考数学（理）试题+Word版含解析广西贵港市2018届高三上学期12月联考数学(理)试题+Word版含解析当EF为定值，则三棱锥E-ABF的体积为定值；异面直线AE.BF所成的角的余弦值为定值*【答案】【解析】连接BD,交AC于点O.很明显AS平面BBRD,而BEU平面BBRD,.AC_LBE,正确；由AC _L平面BBDD，得0E是AE在平面BBRD上的射影，所以ZAE0 是直线AE及平面DBBR所成角，由于AE不是定值,所以

15、不正 确；由于点B到直线BD的距离不变,故4BEF的面积为定值，又点A 到平面BEF的距离为与故三棱锥E-ABF的体积为定值,故正 确；当E在D“ F在B1,此时异面直线AE, BF所成的角为故不正确; 应填:.三、解答1(本大题共6小，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17 .在AABCp, abc分别是内角ABC的对边，且cosB = ?sinAcosB-(c-cosA) , sinB = 0.(1)求边b的值；(2)求AABC的周长的最大值.【答案】（1） I; （2）4+1.【解析】试题分析：（1）由题意结合两角和差正余弦公式和余弦定理可得b = L（2）由题意结合余

16、弦定理有a + csP,结合均值不等式等号成立的条件可知AABC的周长的最大值为好斗1.试题解析：(1 ) 由 sinAcosB - (c - cosA) , sinB = 0得sinAcosB + cosAsinB = csinB.fi n sinC sinC = csinB, 即= sinB.c由正弦定理得¥=叫，故b=l. b c(2 )由余弦定理得，a + c'b: + ZaccosBT+c./. (a + c)2 = 1 + yac < 1 +a + c < 5.所以当a = c时，AABC的周长的最大值为成+1.18. 2018年全国数学奥赛试行改革：

17、在高二一年中举行5次全区竞赛，学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培 训，不用参加其余的竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛. 规定：若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名，则第5次不能 参加竞赛.假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是：，每4次竞赛成绩达全区前20名及否互相独立.（1）求该学生进入省队的概率.（2）如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生 参加竞赛的次数为，求的分布列及的数学期望.【答案】总鲁【解析】试题分析:(1)由题意结合对立事件概率公式可得：该学生进入省队的概率为”.人128，由题意可知的可能取值为2, 3, 4, 5,求解相应的概率值得到分布列

18、，结合分布列计算可得的数学期望为詈.64试题解析:(1)记“该生进入省队”的事件为事件A,其对立事件为3则崎Y(觥啕喂-8147P(A)=1-P(A)=1-=. 128 128(2)该生参加竞赛次数的可能取值为2, 3, 4, 5.射2)=。,吟3)=+W，1 1 /30 1 户14 27 81 27p(4 = 4)= cl x-x -bx-+ -r =+ =3 4 4 256 256 641 1 a)3 27P(门)=* 丁 (3.故的分布列为：2315P± 16A 3211 6421 61132727 269E(c) = 2 x + 3 x + 4 x + 5 x =163264

19、64 6419.如图，在四棱锥P-ABCD中，PAJ底面ABCD,底面ABCD为菱形,乙ABC = 60。，PA = AB = 2,过BD作平面BDE及直线PA平行，交PC于E.（1）求证：E为PC的中点；（2）求二面角A-ED-B的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）理【解析】试题分析：（1）由题意结合线面平行的判定定理可证得PA II平面BDE,结合几何关系即可证得E为PC的中点；由题意作出二面角的平面角，结合几何关系计算可得二面角 八江口心的余弦值为?.试题解析：（1）证明：连结AC,设ACCIBD = O,连接OE,则。为AC的中点，且面PACC 面BDE = OE,平面 BDE,

20、 /. PA II OE, .E 为PC 的中点.（2） :PA II OE,OE 1 底面ABCD,OE ±AC.又 V AC 1BD, OE Cl BD = O, / AC 1 平面BED.过点。作ED的垂线，交ED于M,连接AM. OM 1 ED,，AM1ED, / 2 AMO为所求的平面角.OD - OE = ED - OM, /.OM = ,又OA=1, /. AM =. 22 OM叵 cosAMO =，AM 7 二面角A-ED-B的余弦值为反点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内 找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线, 两条垂线确定的平

21、面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.2220.椭圆三+1=l(a>b>0)的右焦点为F1(2,0),过F1作圆工2十丫2*的切线 a* b，交y轴于点Q,切点N为线段FM的中点.(1)求椭圆的方程；(2)曲线y = x? + m及椭圆交于四点，若这四个点都在同一个圆上,求此圆的圆心坐标.【答案】(2) (oA 6 2 37【解析】试题分析：由题意可得b飞2 = 6.则椭圆的方程为人£=1； 6 2设出点的坐标，结合几何体的对称性和点差法计算可得圆心试题解析:(1)由已知得c = 5b,且c = 2,b = i'2, *.a2 = b24-c2 = 3b2

22、= 6.所以椭圆的方程为S+£=i； 6 2(2)由曲线y = x2 + m知曲线的图象关于y轴对称,又椭圆£+匕1的图象也是关于y轴对称，所以圆心在y轴上， 6 2设圆心为M(0、t),曲线y = x? + m及椭圆在一、四象限交于人的,y J,B的yj两点,则yi=xj + m, y2 = x； + m.把x? = y - m代入菅 +得3y2 + y - m - 6 = 0,y1+ y2 =又由 |MA| = |MB 得 Jx； + (力-1)? = M + O-t)2,即 x； - x： = (y2 -1)2-d-1)2=优-yiXYi + 丫2 - 2t) = (

23、x； - x；)(yi + y2 - 2t),15 / 17广西贵港市2018届高三上学期12月联考数学(理)试题+Word版含解析,* xi f x2,yj + yj = 2t - 1 = -7 t =-.所以此圆的圆心坐标为(。才21.已知函数f(x)=alnx + ；x2-(l+a)x,其中 al.(1)求函数电)的单调区间；(2)证明：对任意FN*时，fT+FT=+."；.ln(n + 1) ln(n + 2) ln2n 2n【答案】(l)a£0时，递增区间为(L + 8),递减区间为9D, 0<a<l时,递增区间为(。，(),单调递减区间为(a,】);

24、(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)对函数求导有依)=312分类讨论有：叱0时，递增区间为 X(1, + 8),递减区间为(0J), 0al时,递增区间为(0,a), (1, + «),单调递减区间为1)；(2)由题意结合(1)的结论有=工结合题意利用放缩法 inx x - x x - 1 x即可证得题中的不等式.试题解析：(1) f(x) = - + x-(l 4-3)= ->'X X>0, XX若 a$0,当 0VxVl 时，f(x)<0,当xl 时，f'(x)>0.所以f(x)的单调递增区间为(L + oo),单调递减区间为9D;若

25、 0al,当 avxl 时,f(x)<0,当 Oxa 或 x>l 时,f(x)>0,所以3的单调递增区间为(。，(l + 8),单调递减区间为(；(2)证明：当a=J时，由(1)知f(x)在x=】处取得最小值，*. f(x)>f(l) = O, 即-；lnx+；xnO,当、>时，恒有?白心一II X - X A - 1 A19 / 171 1 1 K1+ ln(n + 1) ln(n + 2) ln2n1 1 1 1 1 1111 > - 1.!-+ -=-=.n n+ 1 n + 1 n + 2 2n-1 2n n 2n 2n*请考生在22、23两题中任选作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为卜二;；2 （为参数）， 曲线C的参数方程为（m为参数），在极点和直角坐标系的原 点重合，极轴及x轴的正半轴重合的极坐标系中，圆。的极坐标方程为 P = a（a>0）.（1）若直线及圆。相切，求的值；（2）若直线及曲线C相交于A、B两点,求AB的值.【答案】（1）竺;（