大学数学微积分课件：第08讲 第一节、导数概念第二节、函数的求导法则（1）

1、苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一1第八讲第八讲 内容内容第一节、导数概念第一节、导数概念第二节、函数的求导法则（第二节、函数的求导法则（1）苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一2第一节、导数概念第一节、导数概念苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一3一、引例一、引例1.直线运动的速度问题直线运动的速度问题0tt ,0时时刻刻的的瞬瞬时时速速度度求求tt如图如图,0tt 的时刻的时刻取一邻近于取一邻近于, t 运运动动时时间间tsv 平均速度平均速度00ttss ).(20ttg ,0时时当当tt 取极限得取极限得2t)(tli

2、mv00 gtt瞬时速度瞬时速度.0gt 苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一4 T0 xxoxy)(xfy CNM如图如图, 如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线.极限位置即极限位置即. 0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM设设的斜率为的斜率为割线割线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲线沿曲线的斜率为的斜率为切线切线MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 2.切线问题切线问题苏州大学数学科学学院大学数学部20

3、21年11月15日星期一5二、导数的定义二、导数的定义,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 记为记为处的导数处的导数在点在点数数并称这个极限为函并称这个极限为函处可导处可导在点在点则称函数则称函数时的极限存在时的极限存在之比当之比当与与如果如果得增量得增量取取相应地函数相应地函数时时仍在该邻域内仍在该邻域内点点处取得增量处取得增量在在当自变量当自变量有定义有定义的某个邻域内的某个邻域内在点在点设函数设函数定义定义苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一6.)()(lim)(0000hxfhxfxf

4、h 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000000( )(),xxxxdydf xfxdxdx 或或或或即即苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一70,.x导导数数是是因因变变量量在在点点处处的的变变化化率率 它它反反映映了了因因变变量量随随自自变变量量的的变变化化而而变变化化的的快快慢慢程程度度.)(,)(内可导内可导在开区间在开区间就称函数就称函数处都可导处都可导内的每点内的每点在开区间在开区间如果函数如果函数IxfIxfy 关于导数的说明：关于导数的说明：苏州大学数学科学学院大学数学

5、部2021年11月15日星期一8.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或或记作记作的导函数的导函数这个函数叫做原来函数这个函数叫做原来函数导数值导数值的一个确定的的一个确定的都对应着都对应着对于任一对于任一 xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或注意注意: :00()( ).x xfxfx 苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一92.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:0000000( )()()()()limlim;xxxf xf xf xxf xfxxxx 0000000( )()()(

6、)()limlim;xxxf xf xf xxf xfxxxx 函函数数)(xf在在点点0 x处处可可导导左左导导数数)(0 xf 和和右右导导数数)(0 xf 都都存存在在且且相相等等.苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一10如果如果)(xf在开区间在开区间 ba,内可导，且内可导，且)(af 及及)(bf 都存在，就说都存在，就说)(xf在闭区间在闭区间 ba,上可导上可导.,),(),()(000可导性可导性的的讨论在点讨论在点设函数设函数xxxxxxxxf 000()()limxf xxf xx 若若000()()limxxxxx ,)(0存在存在xf 苏州大学数

7、学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一11则则)(xf在在点点0 x可可导导，,)(0存在存在xf 000()()limxf xxf xx 及及000()()limxxxxx ,)()(00axfxf 且且.)(0axf 且且苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一12三、由定义求导数三、由定义求导数步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限例例1 1.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim.

8、0 . 0)( C即即苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一13例例2 2.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设函数设函数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一14例例3 3.)(的导数的导数为正整数为正整数求函数求函数nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更

9、一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一15例例4 4.)1, 0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一16例例5 5.)1, 0(log的的导导数数求求函函数数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 1(log).lnaxxa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(logl

10、im0 hxahxhx)1(loglim10 11log.lnaexxa苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一17例例6 6.0)(处处的的可可导导性性在在讨讨论论函函数数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(点不可导点不可导在在函数函数 xxfy苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一18四、导数的几何意义四、导数的几何意义oxy)(xfy T0 xM1.几何意义几何意义)(,tan)(,)(,()(

11、)(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一19例例7 7.,)2 ,21(1方程和法线方程方程和法线方程并写出在该点处的切线并写出在该点处的切线斜率斜率处的切线的处的切线的在点在点求等边双曲线求等边双曲线xy 解解由导数的几何意义由导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),

12、21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一20五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数. .证证,)(0可导可导在点在点设函数设函数xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0连续连续在点在点函数函数xxf)0(0 x 苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一21连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例.,)()()(,)(. 1000函数在角点不

13、可导函数在角点不可导的角点的角点为函数为函数则称点则称点若若连续连续函数函数xfxxfxfxf xy2xy 0 xy 例如例如,0,0,)(2 xxxxxf.)(0,0的角点的角点为为处不可导处不可导在在xfxx 注意注意: : 该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一2231xyxy01)( .)(,)()(limlim,)(. 2000000不可导不可导有无穷导数有无穷导数在点在点称函数称函数但但连续连续在点在点设函数设函数xxfxxfxxfxyxxfxx 例如例如, 1)(3 xxf.1处不可导处不可导在在 x苏州大学数学科学学

14、院大学数学部2021年11月15日星期一23.,)()(. 30点不可导点不可导则则指摆动不定指摆动不定不存在不存在在连续点的左右导数都在连续点的左右导数都函数函数xxf,0, 00,1sin)( xxxxxf例如例如,.0处不可导处不可导在在 x011/1/xy苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一24.)()(,)(. 4000不可导点不可导点的尖点的尖点为函数为函数则称点则称点符号相反符号相反的两个单侧导数的两个单侧导数且在点且在点若若xfxxxf xyoxy0 xo)(xfy )(xfy 苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一25例例8 8.0,

15、0, 00,1sin)(处的连续性与可导性处的连续性与可导性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解,1sin是有界函数是有界函数x01sinlim0 xxx.0)(处连续处连续在在 xxf处有处有但在但在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之间振荡而极限不存在之间振荡而极限不存在和和在在时时当当 xyx.0)(处不可导处不可导在在 xxf0)(lim)0(0 xffx苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一26上例中，若上例中，若1sin,0( )0,0nxxf xxx 那么，在那么，在 处的连续性、可导性又如何？处的连续性、可导性又如何？0 x 苏州

16、大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一27六、小结六、小结1. 导数的实质导数的实质: 增量比的极限增量比的极限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜率切线的斜率;4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5. 求导数最基本的方法求导数最基本的方法: 由定义求导数由定义求导数.6. 判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一28第二节、

17、函数的求导法则（第二节、函数的求导法则（1）课件制作：汪光先 徐聪敏苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一29一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则定理定理并且并且可导可导处也处也在点在点分母不为零分母不为零们的和、差、积、商们的和、差、积、商则它则它处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一

18、30证证(3)(3),0)( ,)()()( xvxvxuxf设设hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 证证(1)(1)、(2)(2)略略. .苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一31hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(处可导处可导在在xxf苏州大学数学科学学院大学数学部

19、2021年11月15日星期一32推论推论; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf ; )()()()()()()()( )()3(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一33例题分析例题分析例例1 1.sin223的导数的导数求求xxxy 解解23xy x4 例例2 2.ln2sin的导数的导数求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2xxx

20、x 苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一34例例3 3.tan的导数的导数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15日星期一35例例4 4.sec的导数的导数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得例例5 5sh.yx 求求的的导导数数解解1(sh ) ()2xxyxee )(21xxee ch . x 同理可得同理可得(ch )shxx 21(th )chxx 苏州大学数学科学学院大学数学部2021年11月15