理论了学第10章答案

1、第10章动能定理及其应用10-1计算图示各系统的动能:1 质量为 m,半径为r的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。在图示位置时，若已知圆盘 上A、B两点的速度方向如图示，B点的速度为 vB,二=450 （图a）。2.图示质量为 口勺的均质杆 OA，端铰接在质量为m2的均质圆盘中心，另一端放在水平面上，圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v （图b）3质量为 m的均质细圆环半径为R，其上固结一个质量也为m的质点A。细圆环在水平面上作纯滚动，图示瞬时角速度为（图c）。解:1.BVb(b)习题10-1图1 mv22jc .C丄 mr2(VB)22 2r(c)3_FHVb 16C(a)图(a)=ta tb

2、1 W1 2J W2 21 !2、v1 ( vC J C J；)2 g2 g2W, 2 W2 l22v12(1) ' v1 ' 2g 2g 21 I I W, 22：n2 衲 cos I 宀2 1 2 12 g2.1 2/V、21232m2r ( )m1vm2v2 r 2 14 23. T =mR2国2 + 丄mR22 + 丄m（02R）2 = 2mR222 2 210-2图示滑块A重力为W1，可在滑道内滑动，与滑块 A用铰链连接的是重力为 W2、长为I的匀质杆AB。现已知道滑块沿滑道的速度为V1，杆AB的角速度为-。当杆与铅垂线的夹角为'=时，试求系统的动能。解：T2

3、2 12 g习题10-2图11(W1 W2)v：W2I2 ； WJ 1V1COS10-3重力为F p、半径为柄0C带动而运动。曲柄的重力为的齿轮II与半径为R=3r的固定内齿轮I相啮合。齿轮II通过匀质的曲F q，角速度为；，齿轮可视为匀质圆盘。=122 32 2 =r ' 一 3g解：T =TOC TcJ o Oc 22mcVc1 Fq221r(2r)r 2g1 1'('2 2Fp2 1 Fp(2r )- r4 g2”、2mcr 厂c2(2r- r试求行星齿轮机构的动能。习题10 3图(2Fq 9Fp)2g310-4图示一重物 A质量为mt，当其下降时，借一无重且不可

4、伸长的绳索使滚子C沿水平轨道滚动而不滑动。绳索跨过一不计质量的定滑轮D并绕在滑轮 B上。滑轮 B的半径为 R，与半径为r的滚子C固结，两者总质量为 m2，其对0轴的回转半径为 p。试求重物 A的加速度。解： 将滚子C、滑轮D、物块A所组成的刚体系统作为研究对象，系统具有理想约束，由动能定理建立系统的运动与主动力之间的关系。设系统在物块下降任意距离s时的动能一厶121212动冃能: T1"0| Vam?VcJc；：c2 2 2VaVaR _r，Vc _ CrR rJC = m2 J2T =丄向 m222(R-r)2m2(R-r)2vA力作的功：W=mtgs应用动能定理:2m2 -、2r

5、 i 2 2vA 二 mgs(R r)2A将上式对时间求导数：r2 + P2.m m22vAaA 二 egs(R-r)求得物块的加速度为：gg(R-r)2aA g(R - r)2 m2(r22)均质杆AB长为I，质量为2m，两端分别与质量均为 k，且当0 = 0?时，弹簧为原长。若机构在 AB处于水平位置时的角速度和角加速度。10- 5 图示机构中， 光滑直槽相互垂直。设弹簧刚度为 运动，试求当杆解：应用动能定理建立系统的运动与主动力之间的关系。1 2 1 2 12动冃匕： TmvAmvBJo ，ab2 2 21其中：vA"sin”AB; vB=lcos”AB; J"12m

6、l2习题10-5图m的滑块铰接，两 0 = 60 ?时无初速开始"制2略+3血就厂帥2毗外力的功： w =mgl(sin 60 -sin v)亠2mg*(sin 60 -sin v)亠扌(丨-1 cos60 )2 - (l -l cosr)2T = W ; 5ml2 6当V -0时:2 Ab =2mgl(- -s in 勺2£ - (1 - cost)22 48W = 3mgl5 2 2 ml cab = 寸3mgl 6对式（1）求导:kl2 ；8 AB5,2 一ml 'AB -»AB3当V -0时:_ 24，3mg ' 3kl=1!k=-2mgl

7、 cos '一122(1 cosRsin "2=.6、'3+ 3k5l g 20m20ml(1 )a 6g5l10-6图a与图b分别为圆盘与圆环，二者质量均为m,半径均为r，均置于距地面为h的斜面上,斜面倾角为二盘与环都从时间t =0开始，在斜面上作纯滚动。分析圆盘与圆环哪一个先到达地面？解：对图（a）应用动能定理:32肚；求导后有aC1gsin v3设圆盘与圆环到达地面时质心走过距离d，贝U -aC1t" ； t123dgsi2mvc2d 承2t2 ；4dg sin r对图（b）应用动能定理:mgssi；求导后有习题10 7图Vc 'ac = TV

8、c-.'bC 'l动能定理：2 mg h1 1 ml2 2 2 -02 3叭C - BC'(a)1mgh 二2mv3v =. 3gh因为t- < t2,所以圆盘（a）先到达地面。10-7两匀质杆AC和BC质量均为m,长度均为I，在C点由 光滑铰链相连接，A、B端放置在光滑水平面上，如图所示。杆系 在铅垂面内的图示位置由静止开始运动，试求铰链C落到地面时的速度。解：设铰链 C刚与地面相碰时速度 V =Vc。根据运动 学分析A点及B 点分别为AC 及 BC 杆的速度瞬心，如 图（a）10 8质量为15kg的细杆可绕轴转动，杆端A连接刚度系数为k=50N/m的弹簧。弹簧

9、另一端固结于 B点，弹簧原长1.5m。试求杆从水平位置以初角速度-0 =0.1rad/s落到图示位置时的角速度。1 11 1解：T1(ml2) 0，T2(ml2) .22 32 3W12 二mg 空 k(21.5)2 (、12 1.5)22 2二号 mg k(3 3 -7)T 2 _T 1 WZ|22)拧 mg 23"3 3mg 6k(3、；3 _7)2=.ml 2皿3 3 15 9.8 6 500 3-7)1.93 rad/s215 22m2m(a)10 9在图示机构中，已知：均质圆盘的质量为 系数为k的弹簧一端固定于B,另一端与圆盘中心m、半径为r，可沿水平面作纯滚动。刚性 O相

10、连。运动开始时，弹簧处于原长，此时圆盘角速度为，试求：（1）圆盘向右运动到达最右位置时， 弹簧的伸长量；（2）圆盘到达最右位置时的角加速度：.及圆盘与水平面间的摩擦力。解：（1）设圆盘到达最右位置时，弹簧的伸长量为 6，则 T| = 3 mr2co2 ； T2 = 0 ； W|2 =丄 k6242BOAT? -T1 -W<2 ；3mr，4(2)如图(a): JAa=FOr ； JOa = Fr3 2, 3m 22kmrk、 r ；2, 2k; 3mImrFA ； Fa 二km2 ； 6Fr和R,对转轴 O的回转半径为 半径为r的均质圆轮 C相:； （ 2）斜面的摩擦力及10 10，其上绕

11、有细绳，一端吊一质量为连，斜面倾角为 ：，绳的倾斜段与斜面平行。试求: 连接物块A的绳子的张力（表示为 ：的函数）。解：（1）应用动能定理：T = W1 2121 212二一mVA JoO-MVc Jcc2222在图示机构中，鼓轮 B质量为m，m的物块内、，外半径分别为另一端与质量为（1 ）鼓轮的角加速度其中:Va =Ro ；Vc= q ； Jo(mR2 m2 Mr2 -Mr2) O2 2设物块A上升距离sa时：W = Mgsc sin- mgsA对动能定理的表达式求导：3;?2) Mr2 o： O 二 Mgvc sin - mgvA2g(Mr sin ： -mR)22m(R2 -'c

12、222m(R :)(2)如图(a) : Jca = Fr ； f =丄 Mr a 2如图(b) : ma =FT mg ； FT =m(g +R0()3Mr习题10 10图Jc(a)mg(b)10- 11匀质圆盘的质量为 mi、半径为r,圆盘与处于水平位置的弹簧一端铰接且可绕固定轴O转动,以起吊重物A，如图所示。若重物 A的质量为m2 ;弹簧刚度系数为k。试求系统的固有频率。解：设弹簧上OB位于铅垂位置时为原长，则动能訓+打2T =孰 舟Gmr2)(Y)2 二22 2 rk s 2W = m2gs (一 d) m2gs -2 rkd2 227sT =W1(m22ddt12kd2mi )vm2g

13、s242r/1、/kd2(m2mi)va =(m2g 厂 s)v2r1(m2mja =1 - kd(m2mjs 22 rkd22r2skdsr (2m2 m1)2kd22 r (2m2 - m1)2kdr mi 亠2m?10- 12kd2 sr2-s = m2gm2g-71m2g2图示圆盘质量为 m、半径为r,在中心处与两根水平放置的弹簧固结,且在平面上作无滑动滚动。弹簧刚度系数均为 ko。试求系统作微振动的固有频率。解：设静止时弹簧的原长，则动能 t =mvo -(-mr2)(vL)222 2 rk 2W = 2 ：: x2弹力功:ddt3 2mvo43mvoa23mvox 2kx =024

14、kx x =03m-kx2二-2kxv33 2mv0410- 13测量机器功率的功率计，由胶带ACDB和一杠杆BOF组成， 如图所示。胶带具有铅垂的两段 AC和DB，并套住受试验机器和滑轮 E 的下半部，杠杆则以刀口搁在支点 O上，借升高或降低支点 O,可以变 更胶带的拉力，同时变更胶带与滑轮间的摩擦力。 在F处挂一重锤P，杠 杆BF即可处于水平平衡位置。若用来平衡胶带拉力的重锤的质量m=3kg，L = 500mm，试求发动机的转速 n=240r/min时发动机的功率。解：设发动机的角速度为，。则2 nn602n 24060=8n(rad/s)习题10 13图又-.con st，发动机作等速转

15、动。滑轮E的角加速度0。滑轮E受力分析如图(a)。由'Me =0得M _(_T2)R=0M =6 DR(1)取杠杆为研究对象，受力如图(b)。由x M o =° 得mgl (TjT2)R =0mgl =(人 _T2)R(2)且，T2 Y(3)综合(1)、(2)、(3)可得:M =mgl发动机的功率P =M . -mgl ,=3 9.80.50 8n=0.369(kW)(b)B质量均为m,半 AE段与水平面m1，放在光滑水平面上。均质圆盘10-14 在图示机构中，物体径均为R,物块D质量为 m2。不计绳的质量，设绳与滑轮之间无相对滑动，绳的 平行，系统由静止开始释放。试求物体解

16、：(1)设物块DT 二 1 (m m2)vD其中：-C =Vl ；B R1 1217T (m m2m 2m 4m0vD(2 2 2 2A质量为下降距离1 . 2Jc C2D的加速度以及 BC段绳的张力。 s时，速度为 vD，则系统动能为：1,21Jb 'B -2 2二绝；Va =2Vd ； JcR_ 12重力的功为：W = (m m2)gs； 应用动能定理T =W并求导：(7m 4m1 m2)v°aD =(m mgv。2(m +m2)gaD =习题10- 14图7m 8 mi 2m2(2)如图(a)，应用相对速度瞬心的动量矩定理：Jo aD =(m m2)gR -Fbc2R；

17、其中：J。二R1 31Fbc(m m2)g -(一 mm2)2 423 2 2mR22(m m2)g7m ' 8m 2m2_ (m m2)(7m 8m 2m2)g _(3m 2m2)(m m2)g2(7m 8m1 2m2)_ 2(m m2)(m 2mjg7m 8mi 2m210-15铰接于长为mg审T m2g(a)F BC2m，半径均为 R。C轮图示机构中，物块A、B质量均为 m，均质圆盘 C、D质量均为3R的无重悬臂梁 CK 上, D为动滑轮，绳与轮之间无相对滑动。系统由静止开始运动,试求（1 ）物块 A上升的加速度；（2） HE段绳的张力；（3）固定端 K处的约束力。 解：（1）设

18、物块 A上升距离s时，速度为 Va，则系统动能为：1 2 1 2 1 2（m 2m）vDJD -DJC C2 2 21 mv2其中:VaVa . v-X； -，D； VDR2R1m mm、2(m m)vA2 424VaJ2 ； J=mR2s重力的功为： W =（m 2m）g应用动能定理T =W并求导：3mvAaA3mv21mgsmgs211mgvA; aA g26（2）如图（a）,应用动量矩定理:JCaAR=(fhe -mg)R1其中：J12mR2 mR2mR24Fhe 二 2maA mg mg应用动量定理： maA二FC3mgFhe ；（3）如图（b），应用平衡方程：F©(a)Fc-0二 4.5mgFy=O ； FKy-Fc=O； FKy= 4.5mg 、Mk(F )=0； M K - Fc 3R =0; Mk= 13.5mgRm，半径均为 C的速度v与下降距离解：1、先对0、C轮分别用动量矩定理和相对质心 动量矩定理：对 O 轮：JoO（o=FtR 对 C 轮：Jcc =FtRJ。=Jc，Ft=Ft由（1）、（2）：10- 16两个相同的滑轮，视为匀质圆盘，质量均为 系统由静止开始运动，试求动滑轮质心:= C = 2、再对整体用动能定理t2