【精品】激光产生条件的研究

1、激光原理的调硏胡淼，2905402036以前我总是在想我们光电学院的为什么要学量子力学、统计物理、电磁场与电磁波等非常理论 难懂的课程。的确，这些课程整本书汉字没几个,英文也没几个，但是稀奇古怪的字符什么的 一堆又一堆,让人看了就晕。但是如果你不放弃的话,越学这三门课程越是觉得他们有着很暧 昧的关系：开始量子力学的第一课光的波粒二象性；接着电磁场与波中就把电磁波的麦克斯韦 方程提了岀来，给岀了硏究光波的指导。接着热力学后开始了统计物理的第一节,讲的就是粒 子运动状态的经典和量子描述。所以经过本人浅显的分析，热统分析的是粒子性，电磁场与波 分析的是波动性,而量子力学是二者的结合，对于我们光电学院

2、的学生来说都是最重要的基础 课程,只不过热统和场波的老师不会把研究的粒子锁定为光子来告诉你这个对你很重要。那么 这些又和激光有什么关系呢，激光的英文名laser其实是"light amplification by stimulated emission of radiation"的首字母缩写，意为"通过受激发射实现光放大"。受激发射要用到 量子力学和热力学统计的理论，而光放大其实不是应用放大器而是光频载波产生器，这又应用 到了电磁场与波的知识。所以，激光原理是这三门学科的综合应用。前几天听一名外国人说中 国的大学课程者b是° before yo

3、u know it, you were graduated it."看着没几节课就结课了， 真心地希望通过这篇不成格式的小论文，把我学到的东西的理解写出来,再请老师把其中的错 误不足指出来，使这三门课成为我以后不论是学习还是科研的坚实基础,也仅以此本文感谢这 学期以来一直教我这三门课的四位老师：张晓霞老师，蒋向东老师，王园老师和孙久勋老师。_、光的电磁波理论和光波模式按照经典电磁理论，光电磁波的运动规律同样也有麦克斯韦方程组决定。在无源空间各向同性 媒质中其微分形式为：5hde號“临ye = oyh = o考虑到对光现象起主要作用的是电场强度，于是由麦氏方程导出各向同性的均匀介质中电

4、场强 度矢量（电场的定态波函数）满足的波动方程。v2e + k2e= 0这个方程又称为亥姆霍兹方程，其中k二3低在无边界约束的条件下，方程有各种形式的解，每种特解称为一种模式,其中最基本的特解是单色平面波（定态平面波）。它表示为e(rr t) = eme-ife reg为光波电场振幅矢量，他有两个独立的偏振分量。k为波矢量且k二也+ky+kz，代表平面波 的传播方向。亥姆霍兹方程的通解是一系列模式(单色平面波的叠加)，由于没有约束，任意波矢量的单色平面波都存在,这也就是我们所说的自然光。事实上，任何光包括激光,都不能是完全单色的，总有一定的频率宽度,如果3 «< v我们就认为这

5、种波是单色波。但是,在一个有边界约束的情况下，特解形式就会发生变化,为简单起见,我们考虑一个矩形 腔，如图体积为v二abc ,导体腔面上必须服从边界条件n x e = 0 ,宓 n是腔面外法线方向，表明腔面上的电场切向分量必须等于0。这个约束使波方程沪e + k2e = 0的特解不再是任意波矢量k的单色平面波,k的取值不再连续，只能取一系列特定值,腔内只能存在一系列独立的具有特定波矢量k的平面单色驻波，称为驻波模。而无约束时称为行波模。利用分离变量法求解空腔内电磁场的波动方程。令e = e(x,y,z)a(t)将其带入沪e + k2e= 0则得严 e (xy z ) +k2 e(x, y, z

6、) = 0d2a(t)dt2+ (kv)2a(t) = 0由方程通解为a(t)二aosin ( 3t+ e )也可见腔内的场为驻波。对e(x,y,z)仍采用分离变量法求解方程,令e(xy z) = x(x)y(y)z，强详细推导可见电磁场与电磁波(第四版)的7.2节,我们可以得到驻波条件是kxa = mnkyb = nn式中m. n. q取正整数。每一组mnq在波矢空间确定一个允许的k值表示腔内一个驻波模,每个模在三个坐标方向与相邻模式的间隔为nakx = 一ttx aak因此每个模式在波矢空间占有一个体积元akxakyak2=另外数值大小为k k + dk的波矢量k在波矢空间对应以原点为球心

7、，k为半径，dk为厚度的球壳，但由于m , n , q都为正整数，所以只应计算第一卦限的体积,再考虑每个k包含两个 独立的偏振态，算两个模。所以在体积为v的空腔内的总模式数为g4nk2dkn3v8nv2c3vdv此处用到k= 3/c = 2nv/c以及k对应两个模式。最后存在于体积为v的空腔单位体积内，在v附近单位频率间隔的光波模式数,即模式密度为二光子态上面我们是通过经典电磁学理论讨论的光波模式,下面我们将以上量子理论和热力学统计物理 的知识出发讨论光子态,从而得出光波模与光子态的等价,这样不但可以证明大量光子集合所 遵循的统计物理规律的正确性,而且对研究光的粒子性,如相干性问题也会有很大意

8、义。按照光量子学说,光是一种以速度为光速c运动的光子流，光子与其他粒子一样也具有能量e ,动量p,质量m,我们可以总结岀光子的基本性质1、光子粒子性和波动性的联系e = hvp = hkhvm = f2、光子具有两种可能的偏振态，对应光波场的两种独立偏振方向3、光子具有自旋，且自旋量子数为整数,所以光子是玻色子，大量光子组成玻色系统，不受泡利不相容原理的约束，服从玻色-爱因斯坦统计规律。光子态是光子运动状态的简称。在经典力学中,粒子在任一时刻的力学运动状态由粒子的r个广义坐标q一 q2和与之共觇的r个广义动量p一 p2pr在该时亥啲数值确定。这 种2r维空间成为u空间。u空间的一点就表示粒子的

9、一种运动状态 (qi r q2 r -，qr r pl r p2 r - r pr )可连续取值。但是光子的运动状态和经典粒子有着本质区别；它受不确定关系的制约,在六维空间表示为axayaza pxapy ap2 = h3这表明相同状态的光子都处于一个相空间体积元axayazap/pyapz中，我们称之为相格，它的 大小为2 ,是任|可实验所能分辨的最小尺度，相格的空间体积为h3axayaz =-:apxapyapz而且根据微观粒子全同性原理，同一相格中的光子是无法分辨的，属于同一光子态。类似于式akyakz二耳在一个宏观体积v内,由于不确定关系，一个光子态在p空间占有的体积元为h3apxap

10、yapz =另外数值大小为p p + dp的动量p在动量空间对应以原点为球心，p为半径，dp为厚度的球 壳，由于p的数值没有限制，所以可取整个球壳体积。所以体积v中可容纳的光子态数目为4np2dpv 8nv2m = - = 4npx dp = vdvapmpyapz r h3 c3此处用到p = h%；以及光子两种偏振态。最后存在于单位体积中的，在v附近单位频率间隔的光子态数目，即光子态密度为8tiv2c3与式（）相同，说明一个光子态对应一个光波模。再一次证明了光的波粒二象性。根据大学物理的知识，我们知道激光的特点有亮度高，相干性好等特点，光强是正比于光子数目的，而相干性取决于相干体积，但是光

11、强与相干体积是矛盾的，我们又如何来评价一个光源呢？这里把光强与相干性结合起来的是光子简并度斤，表示为誌=翥=个光波模内平均的审吕=个疥态内平均的审目三、光频载波的迷茫说到载波我们并不陌生，电子学中我们学过载波技术，信号与系统中我们也学过调制与解调。载波条件是3 = 3。和（p。=常数,如果将电子器件与lc振荡电路结合起来，就能从噪声波中选 出单一的3。来，从而实现大量电子的同步运动，辐射出单一的电磁波，这就是我们的电磁载波 技术。值得一提的是这个选频的谐振器形式在不同频段是完全不同的,大一上学期我们学习了 lc回 路，电磁场与波中我们又学了双导线，同轴线。对于这三种选频的谐振器它们其实是针对不

12、同 频段设计的：在低频段（入»> 1 ）集总参数的lc回路可以精确确定。而在高频段（入 1）, 在i上个出电波不再同相位，要用i二%的双导线有确定和必=常数的选频电路。为了降低 辐射损耗，在频率更高一点的高频段，同轴线结构出现了。然而频率在提高，同轴线上出现了 严重的焦耳损耗，所以到了微波阶段，选频回路的形式就变成了空腔形式。因为要满足选频条件3 = 3。和牝=窜数，空腔内的电磁模式要为lt所以空腔体积8ttv2av随着频率3。再提高,到了太赫兹(thz )波段，由于相对论效应和实现技术的限制，这个选频条件也变得不现实了。值得一提的是太赫兹的波段是0.170thz ,介于毫米波

13、与红外波之间, 是电子学和光子学的过度，也是当今科学界研究热点之一。太赫兹波段的困惑自然也使得光频载波技术陷入迷茫。最早麦克斯韦提出光波是电磁波， 和我们学的低频电磁波是同一个大家族，但是除了频率上的差别，还有什么不同呢？电子谐振 器可以辐射出单一频率的电磁波，这不由得让我们想起原子在耳到耳能级的跃迁会吸收或发射 光子2。那么电子谐振器能产生m二1的载波，原子的能级跃迁也会产生m = 1的光频载波吗？ 我们知道原子的能级跃迁是随机的，即使频率等条件满足了砂=常数的条件仍是无法控制的, 因此，原子能级跃迁产生的光波只能是噪声波。当光频载波陷入一片迷茫时，爱因斯坦点亮了 一盏灯，照亮了激光理论的道

14、路，这就是爱因斯坦关系。四、自发辐射，受激吸收和受激发身寸普朗克公式成功地解释了黑体辐射，爱因斯坦又在这基础上提出了一个入木三分的问题，黑体 腔与辐射场相互作用的具体过程是什么样的呢？为此他不仅提出了光量子论，而且提出了辐射 场与物质作用的三种过程：自发辐射，受激吸收和受激发射,并给出了这三种过程跃迁系数的 定量关系，是构成激光器的基本物理思想。1、自发辐射与自发辐射系数a吐与辐射场无关,处于高能级比原子一定会自发的向低能级e】跃迁，称为自发跃迁。自发跃迁是 随机的，所以自发发射的光波是噪声波。假定t时刻，能级e：上的原子数密度为吐,自发辐射系数是a：】，则两边积分得% (t)n20e-a21

15、t=n20et2i其中,称为能级比的平均寿命。2、受激吸收和受激吸收系数b“处于低能级上的原子g ,在频率v = (e.-e, ) /h的夕卜场作用下,以一定几率跃迁到e：上使系 统内能增加，这种跃迁过程称为受激吸收。如图所示中原子吸收光子向高够及e?跃迁。吸 收速率定义为式中o)12 = b12pv r rv为外来光谱的能量密度，b】2称为爱因斯坦吸收系数。3、受激发射和受激发射系数比处于高能级上的原子,在频率v = ( e： -e, ) /h的夕卜场作用下，由于外场频率与跃迁频率相 同，故外场以一定几率诱导原子产生能级e2到比的跃迁，同时发射一个与刺激光子全同的光子, 称为受激发射过程。如

16、图所示，氐中原子会受刺激向下趺迁也是随机的。受激发射速率方程为跃迁几率3典=b2ipv与外场强度有关，b器称为爱因斯坦受激发射系数。夕卜来光谱能量密度k变为儿+ ( dp.),由于受激发射的全同性(dp.)= dp.,这就是光放大的原理。sese五、爱因斯坦关系 既然爱因斯坦系a217b21和b空是粒子系统特定跃迁性质,与外场无关，那么其中必然存在某 种关系。为导岀这个关系,爱因斯坦回到了问题提出的黑体辐射过程。显然，这个过程中三种作用同时发生：a：过程使吐减少,102 = bjzpv过程使口2增加/= bzipv过程使口2减少。这三种作用的总结果是黑体腔处于热平衡状态，平衡关系式为：21 n

17、2 + 21pvn2 = 12p*nin2 _ b2pyni a21+b21pv根据热力学统计理论,各能级上的原子湮从麦克斯韦玻尔兹曼分布于=exp- (e2 一 ej/kgt = exp (-hv/kbt)式中民玻尔兹曼常数。比较式（）与式（），可以得到b2i(bi2/b2i)exp(- hv/kbt) -1将式与普朗克黑体辐射公式8nhv31c3 exp( hv/kbt) 1比较得bj.2 = b21a21 8nhv3以上两式就是爱因斯坦关系式,它表现了三个爱因斯坦系数a纠b21b12的关系。对同一能级芒和频率的三次方成正比，能级间隔越大，此比值越高。当然，也可以从半经典理论考虑辐射和吸收

18、的问题，鉴于这个推导比较复杂（详见光电物理 基础电子科技大学出版社的6.8节,其中给出了用微扰理论来计算吸收发射吸收的详细过程）, 本人还在钻研中。六、激光的产生条件爱因斯坦关系的意义在于对光子简并度斤的本质含义给出了科学的解释。我们之前讨论过斤是每个模式上平均光子数，由亓=旳表示'代表了辐射场的性质随1k£tn exp( hv/kbt) 1 hv > 】 光频段，hv > kbt1宜n 一 exp( hv/kbt) -1 hv上述结果表明，斤是v的减函数,那么,一定有一个亓=1的频率波段存在,这就是前面叙述过的太赫兹波区。比较爱因斯坦关系式与普朗克公式pv = nv hv 亓有该式表明1. n 1即5】 a21 ,电子学载波是受激发射占优势，而斤 1即5 a21 ,光频载波是自发发射占优势，无法使大量原子同步自发跃迁，这是光频载波技术的失败原因。所以，在光频段要想五 1 ,就必须使自发发射远小于受激发射，这是激光器的必要条件之一2、将式代入式可以发现n=<l （呻衡状态）亓=罟 > 1 （非馆p衝状态）这说明,在光频段要想亓> 1 ,必须打破热平衡，若匚=f2则要求n2 > ii】与热平衡状态比较，简