浙江专用高考数学新增分大一轮复习第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ3.6对数与对数函数讲义含解析

1、§ 3.6对数与对数函数取新考纲考情考向分析1. 理解对数的概念，掌握对数的运算，会用 换底公式.2. 理解对数函数的概念，掌握对数函数的图 象、性质及应用.3. 了解对数函数的变化特征.以比较对数函数值大小的形式考查函数的单 调性；以复合函数的形式考查对数函数的图 象与性质，题型一般为选择、填空题，中低 档难度.基础知识自主学习回扣”姑同识 训陈耳础貶目知识梳理1 .对数的概念一般地，如果ax= N(a>0,且1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x= log aN,其中 a叫做对数的底数，n叫做真数.2 对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果 a>0,且 a

2、1, M>0, N>0,那么： log a( MN = log aW log aN；_ M“ log aR= log aMh log aN； log aM= nlog aM( n R).对数的性质 alogaN = N log aaN= N(a>0,且 a 1).(3)对数的换底公式logcb厂厂log ab=(a>0,且 a* 1; c>0,且 c 丰 1; b>0).logca73 对数函数的图象与性质y= log axa>10<a<1图象V-1定义域(1)(0 ,+s)值域R性质(3)过定点(1,0)，即 x = 1 时，y= 0当x

3、>1时，y>0;当 0<x<1 时，y<0当x>1时，y<0;当 0<x<1 时，y>0(6)在(0 ,+)上是增函数(7)在(0 ,)上是减函数4 .反函数指数函数y = ax(a>0且a* 1)与对数函数 y= log ax( a>0且a* 1)互为反函数，它们的图象关 于直线y= x对称.:概念方法微思考1 .根据对数换底公式：说出log ab, log ba的关系?化简log m bn.a提示 log ab log ba= 1 : logam bn = Olog ab.2.如图给出4个对数函数的图象.比较 a, b

4、, c, d与1的大小关系.提示 0<c<d<1<a<b.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“/或“ x”）(1)若 MN0，贝U log a( MIN = log aM log aN(x )log ax log ay= log a ( x + y). ( x ) 函数y = log 2x及y = log 1 3x都是对数函数.(x )3 对数函数 y= log ax( a>0且a* 1)在(0 ,+)上是增函数.( x )1 + x 函数y = ln 与y = ln(1 + x) ln(1 x)的定义域相同.( V )1 x1 对数函数y

5、= log ax( a>0且a* 1)的图象过定点(1,0)且过点(a, 1),a在第一、四象限.(V )题组二教材改编22. P74T3lg 竽lg + lg75=.答案21 2 1解析 原式=lg4 + ?lg2 lg7 §lg8 + lg7 + 251 ,函数图象只=2lg2 + 1(lg2 + Ig5) - 2lg2 =12.13. P82A 组 T6已知 a= 2 3 ,1 b= log 23,1c = log 1 ，贝V a, b, c的大小关系为.2 3答案 c>a>b解析/ 0<a<1, b<0, c= log11 = log 23

6、>1. c>a>b.2 34. P74A组T7函数y= Jog 2 2x 1的定义域是.答案解析由 log 2 (2 x 1) > 0，得 0<2x 1 w311. /-2<x w 1.函数y= -log 2 2x 1的定义域是2题组三易错自纠5. 已知b>0, log 5b = a, lg b= c, 5d = 10,则下列等式一定成立的是（）B. a= cdA. d= acC. c= adD. d= a+ c答案 B6. 已知函数y = log a（x+ c）（ a, c为常数，其中 a>0, a* 1）的图象如图，则下列结论成立的A. a&

7、gt;1, c>1B. a>1,0<c<1C. 0<a<1, c>1D. 0<a<1,0< c<1答案 D解析 由该函数的图象通过第一、 二、四象限知该函数为减函数， 0<a<1, 图象与x轴的 交点在区间(0,1)之间，该函数的图象是由函数 y= log ax的图象向左平移不到 1个单位后 得到的， 0< c<1.7 .若函数f(x) = log ax(0 v av 1)在a,2a上的最大值是最小值的3倍，贝U a的值为.答案'24解析 因为0 v av 1,所以f (x) 在 a, 2a上是减

8、函数.所以 f ( x) max= f ( a) = lOg aa= 1 ,f (x) min= f (2 a) = log a2a= 1 + lOg a2 , 由条件得1= 3(1 + log a2)，解得a2= 8，所以a =石2.题型分类深度剖析题型一对数的运算-1. (2018 湖州中学期中)设a, b, c都是正数，且3a= 4b= 6c，那么()B. 一 =一+D-=一+-cab1 2 2 c._=-+- cab答案 B解析 设 3 = 4 = 6 = k，所以 a = log 3k, b= log 4k, c = log 6k,、111变形为 _= log k3,匸=log k4

9、, -= log k6, abc22 12 2 1所以一 =log k36, -= log k36,故一= +-ca bcab2. （2013 浙江）已知x, y为正实数，则（）A.lg x+ lgylg x+ 2lgyB.lg( x+ y)lg x =2glg yc.lg2g lg y lg x lg y=2 + 2D.lg( xy)lg x=2glg y#答案 D解析 2lgx -2lgy = 2lgx + lgy = 2lg(xy).故选 D.3 .计算：21 log 63 + log 62 - log 618 log 64答案 1解析原式=2 -1 2log63 + log 63 +

10、log 63 - log66x3log 642 21 2log63 + log e3 + 1 log 63 log 642 1 log 632log 62log66 log63log62log62log624 .设函数 f (x) = 3x+ 9x,则 f (log 32)=.答案 6解析函数 f(x) = 3x + 9x,二 f log32 =3log9“时=2 9log，=24=6.思维升华对数运算的一般思路（1）拆:首先利用幕的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幕的形式，使幕的底数最简,解析构造函数f （x） = 4x和g（x） = log ax，当a>1时不满足条件，当0&l

11、t;a<1时，画出两个函然后利用对数运算性质化简合并.(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幕的运算.题型二 对数函数的图象及应用叭 H：例1(1)若函数y= log ax(a>0且az 1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()11V i!Jyu1 JCn-J1 B乡1 x01cD答案 B1解析 由题意y= log ax(a>0且a* 1)的图象过(3,1)点，可解得a= 3.选项A中，y = 3_x= 3 x，显然图象错误；选项 B中，y= x3,由幕函数图象性质可知正确；选项 C中，y= ( x)3 =

12、x3，显然与所画图象不符；选项 D中，y = log 3( x)的图象与y = log 3x的图象关于y轴对 称，显然不符，故选 B. 当0<x < *时，4x<logax，则a的取值范围是()A. 0,彳D. ( 2, 2)C. (1 , .2)答案 B数在0, 2上的图象，可知f 11，即 2<log a?,则所以a的取值范围为引申探究若本例（2）变为方程4x= log ax 在 0,2上有解，则实数a的取值范围为.1解析 若方程4 = log ax在0,上有解, 则函数y= 4x和函数y = log ax在0, 1上有交点,解得Ovaw#.0<a<1,

13、由图象知1loga 2三2,思维升华（1）对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性（单调区间）、值域（最值）、零点时，常利用数形结合思想求解.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，禾U用数形结合法求解.跟踪训练1 （1）（2018 浙江台州三区三校适应性考试）若log a2v log b2v 0，则下列结论正确的是（）A. Ov av bv 1B. Ov bv av 1C. a>b> 1D. b>a> 1答案 B解析 方法一 由log a2v log b2 v 0,1 1得吋v 閱v 0,|og2bv |og 2av 0= |og

14、 21.又函数y= log 2x是增函数，所以Ov bv av 1,故选B.方法二由对数函数的性质可知，0v av 1,0 v bv 1,排除C, D.111、丄取 a=, b= 4,贝V log a2= log 1 2 = 1, log b2= log 1 2 = 2，满足 log a2 v log b2v 0.故 bv24a,故选B.log2x , x>0, 已知函数f(x)=且关于x的方程f(x) + x a = 0有且只有一个实根,3x, x< 0,则实数a的取值范围是.答案 (1 ,+)解析 如图，在同一坐标系中分别作出y= f (x)与y = x + a的图象，其中a表

15、示直线在y轴上的截距.由图可知，当a>1时，直线y = x+ a与y = log 2x只有一个交点.题型三对数函数的性质及应用命题点1比较对数值的大小例 2 设 a= log 412, b= log 515, c= log 618，则()A. a>b>cB. b>c>aC. a>c>bD.少b>a答案A解析a 1 + log 43, b1 + log 53,1 + log c3,/ log 43>log 53>log 63,. a>b>c.命题点2解对数方程、不等式例 3(1)方程 log 2(x 1) = 2- Iog2

16、(x+ 1)的解为.答案x = 5解析原方程变形为 log 2(x 1) + log 2( x+ 1) = log 2(x 1) = 2,即 x 1 = 4,解得 x =±5,又x>1,所以x=5. 已知不等式log x(2 x2+ 1)<log x(3 x)<0成立，则实数 x的取值范围是.答案1 13, 20<x<1,解析原不等式？2x2 + 1>3x>1,x>1 ,或2x2 + 1<3x<1,1 1解不等式组得3<x<2，不等式组无解.1 1所以实数x的取值范围为3, 2 .命题点3对数函数性质的综合应用例

17、4(1)若函数f(x) = log 2(x2 ax3a)在区间(一® 2上是减函数，则实数 a的取值范13围是()A.( a,4)B.( 4,4C.( a, 4)U 2, +8)D. 4,4)答案D解析由题意得x2 ax3a>0在区间(a, 2上恒成立且函数 y=x2 ax 3a在(a,a22上单调递减，则2> 2且(一2) ( 2) a 3a>0,解得实数 a的取值范围是4,4),故选D.(2)函数 f (x) = log 2 x log 2(2x)的最小值为.答案14解析1 2 1 2 1 1依题意得f(x)= log 2X (2 + 2log2X)= (log

18、2x)+ log2x =log2x + - > 4 当log 2x =12i2，即x =-时等号成立，所以函数f(x)的最小值为一-.思维升华利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意 数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.跟踪训练 2(1)设 a= log s2, b= log 52, c= log 23，则()A. a>c>bB. b>c>aD. c>a>b

19、C. c>b>a答案 D解析 a= log 32<log 33 = 1, b= log 52<log 55= 1.又 c = log 23>log 22= 1，所以 c 最大.1 1 由 1<|og23<|og 25，得 辭>越，即 a>b，所以c>a>b. 若f(x) = lg( x2 2ax+1 + a)在区间(一® 1上单调递减，则a的取值范围为.答案1,2)解析 令函数g(x) = x2 2ax+ 1 + a= (x a)2 + 1 + a a2,对称轴为x= a,要使函数在(,g 1 >0,2 a>

20、;0,1上单调递减，则有即a> 1,a> 1,解得 Ka<2,即 a 1,2).(3)已知函数f(x) = log a(8 ax)( a>0,且az 1)，若f (x)>1在区间1,2上恒成立，则实数a的取值范围是.8答案 1, 3解析 当a>1时，f(x) = log a(8 ax)在1,2上是减函数，由f (x)>1在区间1,2上恒成立，则 f (x) min = f(2) = log a(8 2a)>1，且 8 2a>0,8 解得1<a<3.3当0<a<1时，f (x)在1,2上是增函数，由f (x)>1

21、在区间1,2上恒成立，则 f (x) min = f(1) = log a(8 a)>1，且 8 2a>0.00 - 3 a>4，且a<4,故不存在.综上可知，实数a的取值范围是比较指数式、对数式的大小比较大小问题是每年高考的必考内容之一（1） 比较指数式和对数式的大小， 可以利用函数的单调性， 引入中间量； 有时也可用数形结合 的方法（2） 解题时要根据实际情况来构造相应的函数， 利用函数单调性进行比较， 若指数相同而底数 不同，则构造幂函数，若底数相同而指数不同，则构造指数函数，若引入中间量，一般选 0 或 1.例 设 a= 0.5°'5, b=

22、0.3 0.5, c= log 0.3 0.2，则 a, b, c 的大小关系是（）A c<b<aBa<b<cC b<a<cD a<c< b 设 a= 6°.4, b= log 0.40.5 , c= log 80.4，贝U a, b, c 的大小关系是（）A a<b<cBc<b<aC c<a<bD b<c<a（2018 浙大附中模拟）若实数a, b, c满足log a2<logb2<logc2,则下列关系中不可能成 立的是（）A a<b<cBb<a<c

23、C c<b<aDa<c<b(2018 全国川)设 a= log 0.20.3 , b= log 20.3，则()A. a+ b<ab<0B. ab<a+ b<0C. a+ b<0<abD. ab<0<a+ b答案(1)C(2)B(3)A(4)B解析 根据幕函数y= x0.5的单调性，可得 0.30.5<0.50.5<10.5 = 1,即卩 b<a<1;根据对数函数y= log 0.3X的单调性，可得 log 0.30.2>log 0.30.3 = 1，即卩 c>1.所以b<a<

24、;c./ a= 60.4>1, b= log 0.4 0.5 (0,1) , c= log 80.4<0a>b>c.故选 B. 由log a2<log b2<log c2的大小关系，可知a, b, c有四种可能： 1<c<b<a:0<a<1<c<b;0<b<a<1<c;0<c<b<a<1.对照选项可知A中关系不可能成立. t a= log o.2°.3>log 0.21 = 0,b= log 20.3<log 21 = 0,二 ab<0.a

25、+ b 1 1=一+ = log 0.30.2 + log 0.32 = log 0.30.4 ,aba b' 1= log 0.3 0.3>log 0.3 0.4>log 0.3 1 = 0 , 0<ab<1, ab<a+ b<0.ab课时作业V基砒保分练1. log 29 log 34 等于()A.1b.2c. 2D. 4答案 D解析方法lg4 2lg3 2lg2Ig3= lg2 lg3 =方法原式=2log 23 log24log23=2X 2= 4.2.(2018 杭州教学质检)设函数f(x) = |ln x|(e为自然对数的底数 则()A.

26、 ab= eeB. ab= e1C. ab=D. ab= 1e答案 D)，满足 f(a) = f(b)( a*b),解析 / |ln a| = |ln b| 且 a* b,. Ina= ln b,. ab= 1.3. （2019 丽水模拟）下列不等式正确的是（）30.2A. log 30.2 v 0.2 v 3B.0 2log 30.2 v 3. v 0.230.2C. 0.2 v log 30.2 v 3D.0 23. v log 30.2 v 0.2答案 A解析 因为 log 30.2 v 0,0 v 0.2 3v 1,3 0.2 > 1,所以 log 30.2 v 0.23 v 3

27、0.2，故选 A.4. （2018 浙江名校协作体联考）若a> b> 1,0 v cv 1,则（）c cA. a v bB. abcv bacC. alog bcv blog acD. log acv log bc答案 C解析 因为a>b> 1,0 vcv 1,所以cb>ca,贝U blog ac = log a£ > log b£ > log b = alog bc，故选 C.5. 若 m 2n= 20(m, n>0)，贝U lg m- (lg n+ lg2)的最大值是()A. 1B. 2C. 3D. 2解析lg m- (l

28、g n + lg2) = lg m- lg2 nwlgm + lg2 n 22Ig2 m2 n4又因为m+ 2n =答案 A202 2mn,所以mrW50,从而lg m- (lg n + lg2) w 1,当且仅当 mp 10, n= 5时，等号成立,故选A.26. (2018 浙江部分重点中学调研)已知函数f(x) = log 1 x + alog1 x+ 4，若对任意的2 21x 4，1 , f(x) W6恒成立，则实数a的最大值为()A. 1B. 1C. 2D. 2答案 A1解析 令t = log1x,因为x 4，1，所以t (0,2,则问题可转化为对任意的t (0,2,22 2 12

29、2 2t + at + 4W6恒成立，即aw = - t对任意的t (0,2恒成立.因为y=? t在t (0,2上单调递减，所以 ymin= 1 2= 1,所以aw 1,即实数a的最大值为一1.故选A.ex, xw0,17. (2018 浙江绍兴一中模拟)设函数f (x)=贝U f f =，方程f(f (x)lnx , x>0,2=1的解集为.191答案 21，ee解析由于f 2 = in 2,ln2=eln21=2.21由 f (f (x) = 1 可得 f (x) = 0 或 f (x) = e,又当 x<0 时，f(x) = e (0,1；当x>0时，由f (x) =

30、0可得in x= 0,解得x= 1;由 f (x) = e 可得 in x= e,解得 x= ee,故对应方程的解集为1 , ee.28. (2018 杭州第二中学仿真考试1 3)已知 m=, n= 4x，U log 4m=；满足 log nm> 1 的实2数x的取值范围是.1 1答案-3-3, 021 3 解析 由于m=2贝U log 4m= og2m= 1 log2 213；由于m=21 3-=2 3 v 1,由 log nm> 1 可得2213-2-=2 3 v 22x v 1,则一tv 2x v 0,2 3解得3v x v 0.5a9. (2018 宁波期末)若实数 a&g

31、t;b> 1，且 logab+ log ba =夕 则 log ab=;在=.1 答案 2 15151解析 令 log ab = t,由于 a>b> 1，则 t (0,1) , log ab+ log ba=即为 t + =，解得 t =112 a(t = 2 舍去)，则 log ab= 2， a2 = b, a= b , b2= 1.10. (2019 浙江名校协作体联考 )已知x>0, y >0, lg2 x + lg8 y = lg2，则xy的最大值是.答案解析由题意得 Ig2x+ lg8y = lg(2、2鋼=lg2 x+ 3y = lg2( x >

32、 0, y > 0),所以 x+ 3y = 1,则 xy11 x+ 3y 2111=w32= 12,当且仅当x= 3y =时，等号成立，所以 xy的最大值为 乜.11 .已知函数 f (x) = log 1 (ax + 3x + a+ 1).2(1)当a= 0时，求函数f(x)的定义域、值域及单调区间;13+m，值域为R,递减区间为 对于x 1,2，不等式23x >2恒成立，求正实数 a的取值范围.解(1)当a= 0时，y= log1 (3x + 1)，函数定义域为213+ ，无递增区间.2 原命题可化为x 1,2 , ax + a>l恒成立,1即a>-rr在x 1,2

33、上恒成立，+ I1即 a > x2+ 1 max, x 1,2,1y = 在x 1,2上单调递减，x2+ 11 1当 x = 1 时,ymax= ?.因此 a>2.b+ ax12. (2018 浙江名校协作体联考 )已知奇函数f (x) = log a (a>0且a 1).1 ax(1)求b的值，并求出f (x)的定义域; 若存在区间m n，使得当xm n时，f (x)的取值范围为log a6m log a6n，求a的 取值范围.解 由已知f(x) + f( x) = 0,得b=± 1,1 + ax当 b= 1 时，f(x) = log a a = log a( 1

34、)，舍去，I ax1 + ax11当 b= 1 时，f(x) = log a1 ax，定义域为 一-,a ., 1 1故f (x)的定义域为 一-，-.a a当0 v av 1时，1 + ax211f (x)=log aax = log aax + amrr6n， 在a，-上单调递减.故有f m = log a1 + am1 am1 + anf n = loga = log a6m1 + ax1 ax21 ax1 1-，-上单调递增, a a所以1 + am1 amT"1 + an1 an，27又6mv 6n与1 + ann=6m矛盾，故a> 1,_1 + am ._f m =

35、 log a= log a6m1 am 、所以上1 + anf n = log a= log a6n.1 an,1 + ax11亠211故方程1 ax = 6x在a，a上有两个不等实根，即6ax + (a 6) x+ 1 = 0在孑a上有两个不等实根.设 g( x) = 6ax2+ (a 6) x+1( a> 1),2 = a 6 24a > 0,a61v 12a v a，1 12g a = a > °，化简得a2 36a + 36 > 0,av 18,1ga = 2> °，解得 av 18 12 ：'2，故 1v av 18 12 ：2.V技能提升练13. (2018 浙江三市联考)下列命题正确的是()A. 右Ina Inb=a 3b,贝Vav b<0B. 右Ina Inb=a 3b,贝V0<a<bC. 右Ina Inb=3b a,贝V0<b