信号与系统教案,第四章连续时间傅里叶变换

1、东北电力大学教 案 封 皮开课单位课程名称授课教师授课对象选用教材信号与系统西安交通大学出版社总学时72课次18第4章 连续时间傅里叶变换4.0 引言4.1非周期信号的表示：连续时间傅里叶变换4.2周期信号的傅里叶变换教学目的及要求掌握连续时间非周期信号的傅里叶变换表示方法及推导过程，掌握连续时间周期信号的傅里叶变换表示。教学重点、难点及处理安排重点：非周期信号的傅里叶变换表示。难点：如何由连续时间周期信号的傅里叶级数过渡到连续时间非周期信号的傅里叶变换。教学方式、方法讲授法教学内容及时间分配4.0 引言 5min4.1非周期信号的表示：连续时间傅里叶变换 70min4.2周期信号的傅里叶变换

2、 15min例题、练习题详见下文作业、思考题教 案内 容备 注4.0 引言在这一章以及下一章将把这些概念推广应用到非周期信号中去。将会看到，相当广泛的一类信号，其中包括全部有限能量的信号，也能够经由复指数信号的线性组合来表示。对周期信号而言，这些复指数基本信号构造单元全是成谐波关系的;而对非周期信号，它们则是在频率上无限小地靠近的。因此，作为线性组合表示所取的形式是一个积分，而不是求和。对连续时间非周期信号建立这种表示是傅里叶的最重要的贡献之一，现在我们来讨论傅里叶变换也是紧随着他最初研究所采用的途径进行的；特别是傅里叶所曾认为的，一个非周期信号能够看成是周期无限长的周期信号这一点。更加.确切

3、些就是，在一个周期信号的傅里叶级数表示中，当周期增加时，基波频率就减小，成谐波关系的各分量在频率上愈趋靠近。当周期变成无穷大时，这些频率分量就形成了一个连续域，从而傅里叶级数的求和也就变成了一个积分。4 .1非周期信号的表示：连续时间傅里叶变换4 .1 .1非周期信号傅里叶变换表示的导出为了对傅里叶变换表示的实质求得更深人地了解，我们还是先由在例3.5中所研究过的连续时间周期方波的傅里叶级数表示人手。即，在一个周期内xt=1,             t<T1 

4、;0,  T1<t<T/2该方波信号的傅里叶级数系数ak是理解(4.1)式的另一种方式是把它当作一个包络函数的样本，即从该图可以看到，随着T增加，该包络就被以愈来愈密集的间隔采样。随着T变得任意大，原来的周期方波就趋近于一个矩形脉冲(也就是说，在时域所保留下的是一个非周期信号，它对应于原方波的一个周期)。与此同时，傅里叶级数系数(乘以T后)作为包络上的样本也变得愈来愈密集，这样从某种意义上说(稍后将说明)，随着T,傅里叶级数系数就趋近于这个包络函数。这个例子说明了对非周期信号建立傅里叶表示的基本思想。这就是在建立非周期信号的傅里叶变换时，可以把非周期信号当作一个

5、周期信号在周期任意大时的极限来看待，并且研究这个周期信号傅里叶级数表示式的极限特性。现在，我们来考虑一个信号x(t)，它具有有限持续期，即对某个T1当t>T1时，xt=0，如图4.3(a)所示。从这个非周期信号出发，可以构成一个周期信号x(t)，使x(t)就是x(t)的一个周期，如图4.3(b)示。现在来考察一下在这种情况下x(t)的傅里叶级数表示式的变化由于在t<T/2内，x(t)=x(t)，而在其余地方xt=0，所以(4.4式可以重新写成因此，定义Tak的包络X(j)为 (4.8) (4.9) (4.8)式和(4.9)式称为傅里叶变换对。函数X(j)称为x(t)的傅里叶变换或傅

6、里叶积分，而(4.8)式称为傅里叶反变换式。对周期信号来说，表示成成谐波关系的复指数信号的线性组合，频率为k0，而对于非周期信号而言，这些复指数信号出现在连续频率上。一个非周期信号x(t)的变换X(j)通常称为x(t)的频谱。 基于以上讨论，或者等效地基于(4.9)式和(3.39)式的比较，也可以注意到，一个周期信号x(t)的傅里叶系数ak能够利用x(t)的一个周期内的信号的傅里叶变换的等间隔样本来表示。这就是，设x(t)是一个周期为T的周期信号，其傅里叶系数为ak;令x(t)是一个有限持续期信号，它等于在一个周期内的x(t),譬如说是在这样一个周期内sts+T，而在该周期外全为零。那么，因为

7、(3.39)式求x(t)的傅里叶系数时可以在任何周期内做积分，因此4.1.2傅里叶变换的收敛虽然在导出(4.8)式和(4.9)式的傅里叶变换对时，假设x(t)是任意的，但具有有限持续期。事实上这一对变换关系对于相当广泛的一类无限持续期的信号仍然成立。我们对傅里叶变换所采用的推导过程，本身似乎就暗示了x(t)的傅里叶变换是否存在的条件应该和傅里叶级数收敛所要求的那一组条件一样。事实证明确实如此。要想知道的是，什么时候x(t)才是原来信号x(t)的真正表示？若x(t)能量有限，也即x(t)平方可积，因而那么就可以保证X(j)是有限的。因此，和周期信号相类似，如果，x(t)能量有限，那么虽然x(t)

8、和它的傅里叶表示x(t)在个别点上或许有明显的不同，但是在能量上没有任何差别。也和周期信号一样，有另一组条件，这组条件充分保证了x(t)除了那些不连续点外，在任何其它的t上都等于x(t)，而在不连续点处x(t)等于x(t)在不连续点两边值的平均值。这组条件也称为狄里赫利条件，它们是:1. x(t)绝对可积，即2.在任何有限区间内，x(t)只有有限个最大值和最小值。3.在任何有限区间内，x(t)有有限个不连续点，并且在每个不连续点都必须是有限值。4 .1.3连续时间傅里叶变换举例详见教材，例4.1-例4.54.2周期信号的傅里叶变换在上一节介绍了傅里叶变换表示，并给出了几个例子。虽然在那一节的注

9、意力主要是集中在非周期信号上，其实对于周期信号也能够建立傅里叶变换表示。这样一来就可以在统一框架内考虑周期和非周期信号。事实上将会看到，可以直接由周期信号的傅里叶级数表示构造出一个周期信号的傅里叶变换;所得到的变换在频域是由一串冲激所组成，各冲激的面积正比于傅里叶级数系数。这是一个非常有用的表示。为了得到一般性的结果，考虑一个信号x(t)，其傅里叶变换X(j)是一个面积为2，出现在=0处的单独的一个冲激，即将上面结果再加以推广，如果X(j)是在频率上等间隔的一组冲激函数的线性组合，即例题，详见教材例4.6-4.8。东北电力大学教 案 封 皮开课单位课程名称授课教师授课对象选用教材信号与系统西安

10、交通大学出版社总学时72课次19第4章 连续时间傅里叶变换4.3 连续时间傅里叶变换性质教学目的及要求掌握连续时间信号傅里叶变换的常用性质内容及推导过程；掌握卷积性质。教学重点、难点及处理安排重点：连续时间信号傅里叶变换的常用性质内容；卷积性质。难点：对偶性质以及卷积性质的应用。教学方式、方法讲授法教学内容及时间分配4.3 连续时间傅里叶变换性质 60min4.4 卷积性质 30min例题、练习题详见下文作业、思考题习题4.12习题4.25教 案内 容备 注4.3连续时间傅里叶变换性质这一节以及后面两节将讨论傅里叶变换的几个重要性质。与周期信号的傅里叶级数表示的情况相同，这些性质对变换本身以及

11、对一个信号的时域描述和频域描述之间的关系都将给出透彻的认识。另外，很多性质对简化傅里叶变换或反变换的求取也往往是很有用的。 (4.8) (4.9)4.3.1线性4.3.2 时移性质例4.9 详见教材215页4.3.3 共轭及共轭对称性共轭性质就能证明，若x(t)为实函数，那么X(j)就具有共扼对称性，即这就是说，傅里叶变换的实部是频率的偶函数，而虚部则是频率的奇函数。类似地，若将X(j)用极坐标表示为作为(4.30)式进一步的结果，若x(t)为实且为偶函数，那么X(j)也一定为实、偶函数。为此，可以写出同样可以证明，若x(t)是时间的实值奇函数，那么X(j)就是纯虚且为奇函数。例4.10详见教

12、材P217页4.3.4微分与积分例4.11、4.12详见教材P2184.3.5时间与频率的尺度变换介绍时域与频域的相反性，详见教材。4 .3 .6对偶性比较一下正变换和反变换的关系式，可以看到这两个式子在形式上是相似的，这一对称性就导致了傅里叶变换的一个性质称之为对偶性。以例4.13为例说明对偶性的含义，详见教材220页。4.3.7帕斯瓦尔定理例4.14 见教材东北电力大学教 案 封 皮开课单位课程名称授课教师授课对象选用教材信号与系统西安交通大学出版社总学时72课次20第4章 连续时间傅里叶变换4.4 卷积性质4.5 相乘性质4.6 傅里叶变换性质和基本傅里叶变换对列表4.7 由线性常系数微

13、分方程表征的系统教学目的及要求掌握连续时间傅里叶变换的两个重要性质，卷积性质及相乘性质，熟悉傅里叶变换的常用性质，并掌握常用的基本傅里叶变换对，掌握线性常系数微分方程的基本求解方法。教学重点、难点及处理安排重点：卷积性质及相乘性质的公式；傅里叶变换的基本性质及常用变换对；线性常系数微分方程的基本解法。难点：线性常系数微分方程的求解。教学方式、方法讲授法教学内容及时间分配4.4 卷积性质 25min4.5 相乘性质 20min4.6 傅里叶变换性质和基本傅里叶变换对列表 20min4.7 由线性常系数微分方程表征的系统 25min例题、练习题详见下文作业、思考题教 案内 容备 注4 .4卷积性质

14、在第3章已经知道，如果一个周期信号用一个傅里叶级数来表示，也就是按(3.38)式作为成谐波关系的复指数信号的线性组合来表示，那么，一个LTI系统对这个输人的响应也能够用一个傅里叶级数来表示。因为复指数信号是LTI系统的特征函数，所以输出的傅里叶级数系数是输人的那些系数乘以对应谐波频率上的系统频率响应的值。例4.15-4.204.5相乘性质卷积性质说的是时域内的卷积对应于频域内的相乘。由于时域和频域之间的对偶性。可以期望对此也一定有一个相应的对偶性质存在 一个信号被另一个信号去乘，可以理解为用一个信号去调制另一个信号的振幅，因此两个信号相乘往往也称之为幅度调制。为此，4.7式有时也称为调制性质。

15、将会在第7章和第8章看到，这个性质有几个很重要的应用。为了说明(4.70)式以及今后将要讨论到的若干应用，先来举几个例子。例4.21-4.234.6 傅里叶变换性质和基本傅里叶变换对列表4.7 由线性常系数微分方程表征的系统例4.24-4.25，详见教材236页。东北电力大学教 案 封 皮开课单位课程名称授课教师授课对象选用教材信号与系统西安交通大学出版社总学时72课次21第4章 连续时间傅里叶变换实验课教学目的及要求教学重点、难点及处理安排教学方式、方法讲授法教学内容及时间分配例题、练习题详见下文作业、思考题教 案内 容备 注实验四 连续时间傅里叶分析一、实验目的1. 掌握连续时间傅里叶变换

16、的基本理论； 2. 熟悉MATLAB软件的使用； 3. 掌握对连续时间信号进行傅里叶分析的方法。二、实验过程为了更好地体会MATLAB的数值计算功能，特别是强大的矩阵运算能力，这里给出连续信号傅立叶变换的数值计算方法。这一法的理论依据为:对于一大类信号，当足够小时，上式的近似情况可以满足实际需要。1. 绘制信号 的时域与频域图。R=0.02; %取样间隔=0.02t=-2:R:2; % t为从-2到2，间隔为0.02的行向量ft=exp(-2*t).*(t>=0);W1=10*pi; %取要计算的频率范围M=500; k=0:M; w=k*W1/M; %频域采样数为M, w为频率正半轴的

17、采样点Fw=ft*exp(-j*t'*w)*R; %求傅氏变换 FRw=abs(Fw); %取振幅W=-fliplr(w),w(2:501) ; %形成负半轴和正半轴的2M+1个频率点WFW=fliplr(FRw),FRw(2:501); %形成对应于2M+1个频率点的值Subplot(2,1,1) ; plot(t,ft) ;grid; %画出原时间函数f(t)的波形，并加网格xlabel('t') ; ylabel('f(t)'); %坐标轴标注title('f(t)=u(t+1)-u(t-1)'); %文本标注subplot(2,1,2) ; plot(W,FW) ;grid; %画出振幅频谱的波形,并加网格xlabel ('W') ; ylabel ('F(W)'); %坐标轴标注title('f(t)的振幅频谱图'); %文本标注2. 绘制信号 的时域与频域图。ft=zeros(1,50),ones(1,101),zeros(1,50);3. 利用fft绘制信号