最新东北师大附属中学高三一轮导学案：平面向量的概念与线性运算【A】

1、 平面向量概念与线性运算(教案)a一、 知识梳理：1. 向量的有关概念(1).向量:既有 ,又有 的量叫向量;通常记为 ;长度为 的向量是零向量,记作: ; 的向量,叫单位向量.(2).平行向量(或共线向量)记作: ;规定:零向量与任何向量 .(3).相等向量:(4).相反向量:2.向量 加法与减法(1).向量加法按 法则或 法则;向量加运算律:交换律: ;结合律: (2).向量减法作法:3.实数与向量的积(1). 实数与向量a的积是一个向量,记作a,它的长度与方向规定如下：长度： 方向： (2)运算律 4.共线定理:5.平面向量基本定理:6.基底:二、题型探究探究一：平面向量的基本概念例1给

2、出下列命题：若|，则=；若a，b，c，d是不共线的四点，则是四边形abcd为平行四边形的充要条件；若=，=，则=；=的充要条件是|=|且/； 若/，/，则/；其中正确的序号是 。 解析：（1）不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；正确； ， 且，又 a，b，c，d是不共线的四点， 四边形 abcd为平行四边形；反之，若四边形abcd为平行四边形，则，且，因此，。正确； =， ，的长度相等且方向相同；又， ，的长度相等且方向相同， ，的长度相等且方向相同，故。 不正确；当/且方向相反时，即使|=|，也不能得到=，故|=|且/不是=的充要条件，而是必要不充分条件； 不正确；考虑=这种特

3、殊情况； 综上所述，正确命题的序号是。点评：本例主要复习向量的基本概念。向量的基本概念较多，因而容易遗忘。为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想。例2：设为单位向量，（1）若为平面内的某个向量，则=|·(2) 若与a0平行，则=|·；（3）若与平行且|=1，则=。上述命题中，假命题个数是（ ）a0b1c2d3解析：向量是既有大小又有方向的量，与|模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命题；若与平行，则与方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时=|，故（2）、（3）也是假命题。综上所述，答案选d。点评：向量的概念较多，且容易

4、混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。探究二：平面向量的线性运算例2：如图所示，已知正六边形abcdef，o是它的中心，若=，=，试用，将向量， 表示出来。（1）解析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量，来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可。因为六边形abcdef是正六边形，所以它的中心o及顶点a，b，c四点构成平行四边形abco，所以，=，= =+，由于a，b，o，f四点也构成平行四边形abof，所以=+=+=2+，同样在平行四边形 bcdo中，()2，。点评：其实在以a，b，c，d，e，f及o七点中

5、，任两点为起点和终点，均可用 ，表示，且可用规定其中任两个向量为，另外任取两点为起点和终点，也可用，表示。探究三：平面向量共线定理例3：如图所示,abc中,点m是bc的中点,点n在ac边上,且an=2nc,am与bn相交于点p,求ap：pm的值.解:设=e1, e2,则=-3e2-e1, 2e1+e2,apm和bpn分别共线,存在r,使=-e1-3e2, =2e1+e2.故=(+2)e1+(3+)e2,而2e1+3e2,由平面向量基本定理得，即ap:pm=4:1.三、方法提升1、向量的线性运算可以结合图形，利用三角形法则或平行四边形法则，特别是有向线段表示向量运算时，要利用“首尾相接”或“起点

6、相同”来化简；2、证明三点共线问题，可用向量共线定理来解决。四、反思感悟 五、课时作业1.(20xx四川)设点m是线段bc的中点,点a在直线bc外, =16,|则|=( )a.8 b.4 c.2 d.1解析:由可知,则am为rtabc斜边bc上的中线,因此,|选c.2.已知abc中,点d在bc边上,且则r+s的值是( ) c.-3 d.0解析: 又r=,r+s=0.故选d.3.平面向量a,b共线的充要条件是( )a.a,b方向相同 b.a,b两向量中至少有一个为0c.存在r,使b=a d.存在不全为零的实数1,2,使1a+2b=0解析:a,b共线时,a,b方向相同或相反,故a错.a,b共线时,

7、a,b不一定是零向量,故b错.当b=a时,a,b一定共线,若b0,a=0.则b=a不成立,故c错.排除a、b、c,故选d.4.已知oab是平面上的三个点,直线ab上有一点c,满足则等于( )解析:故选a.5.设def分别是abc的三边bc、ca、ab上的点,且则与a.反向平行b.同向平行 c.不平行d.无法判断解析:故选a.6.已知a,b是不共线的向量, =a+b, =a+b,(,r),那么a、b、c三点共线的充要条件为()a.+=2 b.-=1 c.=-1 d.=1解析:对充要条件的问题,要注意从充分性和必要性两个方面进行分析论证.由a、b、c三点共线a+b=ma+mb(-m)a=(m-1)

8、b.因为a,b不共线,所以必有故可得=1.反之,若=1,则=所以 (a+b)=所以a、b、c三点共线.故选d.7、关于非零向量a ，b ，有下列四个命题 “|a|+|b |=|a+b|”的充要条件是“a 与b方向相同”； “|a|+|b |=|a-b|”的充要条件是“a 与b方向相反”； “|a|+|b |=|a-b|”的充要条件是“a 与b有相等的模”；“|a|-|b |=|a-b|”的充要条件是“a 与b方向相同”；其中真命题的个数是（a） 1个 （b）2个 （c）3个 （d）4个二填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)8.若点o是abc所在平面内的

9、一点,且满足,则abc的形状为_.解析:故abc为矩形的三个顶点,abc为直角三角形.答案:直角三角形9.在平行四边形abcd中,ef分别是边cd和bc的中点,若=+u其中,ur,则+u=_.解析:设则=b-a,代入条件得=u=,+u=.答案:10.如图,平面内有三个向量其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且|=|=1,| |=,若= (,r),则+的值为_解析:过c作与的平行线与它们的延长线相交,可得平行四边形,由boc=90°,aoc=30°,|,得平行四边形的边长为2和4,故+=2+4=6.答案:611.如图,在abc中,点o是bc的中点,过点o的直线分别交直线ab,ac于不同的两点m,n,若则m+n的值为_.解析:由于mn的任意性可用特殊位置法:当mn与bc重合时知m=1,n=1,故m+n