高三数学直线方程

1、优秀学习资料欢迎下载高三 数 学 -直线和圆【教学内容】直线方程的几种形式、夹角、距离及圆的有关概念和性质。【教学目标】1、熟练掌握直线的倾斜角、斜率 k 的有关概念。直线倾斜角 的取值范围是 0<180°，而斜率 k 是倾角 的正切，当 为 90°时，直线的斜率不存在。因此我们用点斜式或斜截式设直线方程时要注意分清直线的斜率是否存在。2、掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能根据题目所给的条件，灵活地选择直线方程的形式。3、能判断两直线的位置关系或根据直线的位置关系，求出字母已知数的范围；要能计算直线 l1 到 l 2 的角或两直线的夹角及点到直

2、线的距离。4、熟练掌握圆的几种标准方程，并能结合已知条件灵活地设出圆的方程；要能熟练地运用圆本身的一些性质来证题或解题。5、坐标平面把数量关系和图形关系统一起来了，数与形相辅相成，相得益彰，要能够熟练地运用数形结合的思想去解决问题。【知识讲解】例 1求与直线 3x+4y+12=0 平行，且与坐标轴构成的三角形面积是24 的直线 l 的方程。分析 ：满足两个条件才能确定一条直线。一般地， 求直线方程有两个解法， 即用其中一个条件列出含待定系数的方程，再用另一个条件求出此参数。y解法一 ：先用“平行”这个条件设出lP(x,y)B(3,4)的方程为 3x+4y+m=0 再用“面积”条件去求mm1mm

3、24，得 m24 ，代m，直线 l 交 x 轴于 A(3,0) ，交 y 轴于 B(0,4 ) 由2A(-2,1)43C(x,1)D(3,1)入得所求直线的方程为：3x 4y240ox解法二 ：先用面积这个条件列出l 的方程， 设 l 在 x 轴上截距离 a，在 y 轴上截距 b，则有 1 ab24 ，因为 l 的倾角为钝角，所以a、 b 同号， |ab|=ab， l 的截距式为 xy 1，即2a48a23x+4y+2=0平行，48a248a， a8 代入得所求48x+a y-48a=0又该直线与342直线 l 的方程为 3x 4y240说明 ：与直线 Ax+By+C=0 平行的直线可写成Ax

4、+By+C 1=0 的形式；与 Ax+By+C=0 垂直的直线的方程可表示为Bx-Ay+C 2=0 的形式。例 2已知 ABC 的顶点 A(3, -1) ，AB 边上的中线所在直线的方程为6x+10y-59=0 ，B 的平分线所在直线的方程为：x-4y+10=0 ，求边 BC 所在直线的方程。y解：设 B(a, b)， B 在直线 BT上， a-4b+10=0 又 AB中点CBM 3a ,b 1 在直线 CM 上，点 M的坐标满足方程6x+10y-59=0TM22 6 a310 b 1 590 a=10， b=5ox解、组成的方程组可得A22B(10, 5) ，又由角平分线的定义可知，直线BC

5、 到 BT 的角等于直线BT 到直线 BA 的角，优秀学习资料欢迎下载又 kAB6kBT1kBTkBCkBA kBT kBC2741 kBT kBC1 kBA kBT9BC 所在直线的方程为y52(x10) 即 2x+9y-65=09例 3若直线 mx+y+2=0 与线段 AB 有交点， 其中 A(-2, 3)，B(3,2) ，求实数 m 的取值范围。解：直线 mx+y+2=0过一定点 C(0,-2) ，直线 mx+y+2=0实际上表示的是过定点(0,-2)的直线系，因为直线与线段AB 有交点，则直线只能落在ABC 的内部，设 BC、 CA 这两条直线的斜率分别为k1 、 k2，则由斜率的定义

6、可知，直线mx+y+2=0 的斜率 k 应满足 k k1或 k k2， A(-2, 3)B(3, 2)y k4k25A132oB-m 4 或 -m545x即 mC(0,-2)323 或 m2说明 ：此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题，这里要清楚直线mx+y+2=0的斜率 -m应为倾角的正切，而当倾角在(0° ,90° )或(90° ,180° )内，角的正切函数都是单调递增的，因此当直线在ACB 内部变化时， k 应大于或等于kBC ，或者 k 小于或等于 kAC ，当 A 、B 两点的坐标变化时，也要能求出m 的范围。例 4求直线 l2： 7x

7、-y+4=0 到 l 1： x+y-2=0的角平分线的方程。y解法一 ：设 l2 到 l1 角平分线 l 的斜率为 k， k1=-1 ， k2 =712 k71k ，解之得 k=-31 ，由图形可知Q或 kk<0 ，17k1k312k=-3 ，又由x2y20解得 l1 与 l 2 的交点 Q1, 9 ，由点斜式得ox7xy404 4y 93 x1即 6x+2y-3=044解法二 ：设 l2 到 l 1 的角为 ，则 tgk1k24 ，所以角 为锐角，而122，1k1k23由二倍角公式可知2tg 2tg4 tg 22或 tg 212 为锐角，1tg2232 tg21k 7 ， k=-3等同

8、解法一。217k解法三 ：设 l： (x+y-2)+ (7x-y+4)=0即 (1+7 )x+(1- )y+(4 -2)=0 k17，由解法一知 k3 17，1 ，代入化简即得： 6x+2y-3=0115解法四 ：用点到直线的距离公式，设l 上任一点 P(x, y) ，则 P 到 l 1 与 l 2 的距离相等。 |xy2|7xy4| 整理得： 6x+2y-3=0 与 x-3y+7=0 ，又 l 是 l 2 到 l1 的角的平分线，250k<0， x-3y+7=0不合题意所以所求直线l 的方程为 6x+2y-3=0.例 5已知 ABC 三边所在直线方程AB ：x-6=0 ， BC： x-

9、2y-8=0 ，CA ： x+2y=0 ，求此三角形外接圆的方程。A(6, -3) 、 B(6, -1) 、 C(4, 2) 设方程 x2+y 2+Dx+Ey+F=0 ，则：解：解方程组可得优秀学习资料欢迎下载62(3)26D3EF062(1)26DEF 042224D2EF0解之得： D=212 ， E=4 ，F=30所以所求的 ABC 的外接圆方程为：x2y2 21 x4y 3002322例 6如果一条直线经过点M (3,2) 且被圆 x+y =25 所截得的弦长为8，求这条直线的方程。解：设所求直线的斜率为k，直线 l 的方程： y3 k( x3) ， kx y3k30 ，由条3223k

10、y件知圆心 O 到直线 l 的距离 d5242321k 2 1 k 2k1 k 21 k2 k1k3ox244则 l 的方程为3 xy930即 3x+4y+15=0又当直线 l 的斜率不存在时，l 的方程 x=-3442恰好也满足条件。因此，l的方程为 3x+4y+15=0或 x+3=0说明 ：这里这里我们设l的点斜式为 y 3k( x3) 实际上就已知先假设了直线l 的斜2率是存在，但在实际问题中，直线l 的斜率不一定存在，因此我们还应对斜率不存在的情形进行讨论。 与此类似的还有如下问题：过圆外一点引圆的切线，切线一定存在且有两条，我们通常是先设切线的点斜式方程，然后由圆心到切线的距离等于圆

11、的半径求出切线的斜率，若求的斜率有两个值，则就可以代入点斜率得到切线的方程，若求出的 k 只有一解， 则说明另一条切线的斜率一定不存在，22如过点 (5, -9) 作圆 x +y =25 的切线， 要注意其中一条切线就是 x=5 ，我们若设切线的点斜式方程为y+9=k(x-5) 只能求出一个 k 的值；同理，过平面上任一点作与定直线成定角的直线也一定有两条，若设所求直线的点斜式， 如果由夹角公式求出的 k 只有一个值话，那么其中一条满足条件的直线的斜率一定不存在，如过点(3, -2) 作直线l ，使 l 与已知直线 3xy 100的夹角为 30°，求 l的方程就是这样的问题。例 7

12、求圆心在直线y=-4x 上，且与直线l ： x+y-1=0相切于点 P(3, -2) 的圆的方程。分析 ：在解与圆有关的习题时， 我们要充分注意到圆本身的性质，如圆心到切线的距离等于圆的半径， 过切点垂直于切线的直线必过圆心、两圆相切，连心线必过切点等等，这样往往可以使运算变得简单、方便，因此我们要认真分析已知条件，结合圆本身的性质，恰当地设出圆的方程。如本题中，过切点P 且垂直于切线的直线必过圆心，因此圆心就是两直线的交点了，这样求方程就得计算变得非常的方便。解：由圆的性质可知，过切点P(3, -2)且与切线 x+y-1=0垂直的直线 l 必过圆心， k xy 5 0l =1l ： y+2=

13、1 · (x-3) ， x-y-5=0 ，又已知圆心在直线y=-4x上，解方程组y4xO1(1, -4)即为圆心的坐标，又 r|O P|(3 1)2( 24)42 21所示所求圆的方程为：(x-1) 2+(y+4) 2=82 2例 8 求通过直线 2x+y+4=0 及圆 x +y +2x-4y+1=0 的交点，并且有最小面积的圆的方程。解法一 ：已知圆的方程可化为：(x+1) 2+(y-2) 2=4，设 D 为弦 AB 的中点，则直线CD 的x2y5 0x13方程为 x-2y+5=0 ，解方程组：0 得52xy14y6y5A即D 136， |CD|= 4 5|AD|=41625 ，C

14、5 , 5555D Box优秀学习资料欢迎下载又以 D 的圆心， AB 为直径的圆的面积最小，所求圆的方程为：x 13 2y1624555解法二 ：设圆的方程为 (x2+y 2+2x-4y+1)+ (2x+y+4)=0) 22即 x(1y45 21616，又圆的面积为R224当 R25 21616 取最小值时即可：R25(8)24 ，当 =8 时圆面积最小，此时44555圆的方程为 5x2+5y 2+26x-12y+37=0解法三 ：设 A(x 1 , y1)， B(x 2,y2)，因为所求圆的面积最小，则此圆一定是以AB 为直径2y y2(x x )2(y y ) 2xx xy2的圆设它的方

15、程为1211212， 即224x22-(x12121 212，由x2y2 2x 4 y 1 0得：+y+x )x-(y+y )y+xx +yy =02xy40x2+2x+4x 2+16+16x+8x+16+1=0即： 5x2+26x+33=0x1+x 2=26 ， x1 x2= 33 ，y1+y 2=-2(x 1 +x 2)-8=12555y1y2=4(x+2)(x+2)=4x 1x2+2(x 1+x 2)+4=45所求圆的方程为x2y226123705 x5y5例 922A(9,0)的对称点为 Q，把 P 绕原设 P 是圆 M ：(x-5) +(y-5)=1 上的动点，它关于点依逆时针方向旋

16、转90°到点 S，求 |SQ|的最值。解：设 P(x, y) ，则 Q(18-x, -y) ，记 P 点对应的复数为x+yi ，则 S 点对应的复数为：(x+yi) · i=-y+xi ，即 S(-y, x) |SQ|(18xy)2(yx)2182x2 y236x36y2xyx2y22xy2 x2 y2 18x 18y 81 812 ( x 9)2 (y 9)2其中(x9)2( y9)2可以看作是点P到定点B(9, -9)|MB | r2531最的距离，共最大值为小值为 |MB | r2531，则|SQ|的最大值为2 1062|SQ|的最小值为2 1062【每周一练】一、选

17、择题：1、在 ABC中， A> B 是 sinA>sinB 的（ ）A 、充分条件B、必要条件C、充要条件2、 A 、B 、C 三点共线，点 C 分向量 AB 所成的比是A 、 2B、 1C、 122D 、既不充分也不必要条件-3，则 B 分向量 AC 所成的比是（）D、-23、经过点 P(-2, 1) ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（）A、1条B、2 条C、3条D、4 条4、当 R 时，由方程 x· sin+y · cos =5sin 所确定的各直线的位置关系是（）A 、相互平行B、垂直C、有无穷多个交点D 、过同一点222）5、若方程 a x +(

18、a+2)y +2ax+a=0 表示圆，则 a 的值为（A 、 a=1 或 a=-2B、 -1<a<2C、 a=-1D、 a=26、实数 x， y 满足方程 (x-2)22y 的最大值是（）+y=3，则 x优秀学习资料欢迎下载A 、 1B、 3C、3D、 32327、设 M 是圆22的最短距离是（）(x-5) +(y-3) =9 上的点，则 M 点到直线 3x+4y-2=0A 、 9B、 8C、2D 、 58、对于直线 x· sin +y+1=0 ，其倾角的取值范围是（）4 ,40,434 ,30, 22 ,B、4 ,C、4D、A 、二、填空题：9、直线 3x+2y+m=0

19、与 (m2+1)x-3y+2-3m=0 的位置关系是 _10、若直线 Ax+By+C=0 （ A 、B 、C 均不为零）与圆x2+y 2=1 相切，则以 |A|、 |B|、 |C|为边长的三角形是 _11、直线系方程y=ax+1 ，a R 的图象恒过定点 _12、 ABC 的三个顶点 A(0, 3)、 B(3,3)、 C(2, 0),若直线 x=a 将 ABC 分割成面积相等的两部分，则实数a 的值是 _13、函数 y=f(x) 的图象关于直线x=1 对称的图象的函数表达式为_14、从点 (2, 3)向圆 x2+y 2=4 作切线，其切线方程为_15、光线沿直线ax+by+c=0 (abc 0)照射到直线 y=x 上后反射，则反射线所在直线的方程是_三、解答题：16、设直线 l 1：mx+8y+n=0与 l 2：2x+my-1=0平行，求过点 (m, n) 并与 l 1、l 2 垂直且被截得弦长为 5 的直线方程。17、已知正方形的中心为直线2x-y+2=0 和 x+y+1=0 的交点，正方形一边所在直线的方程为x+3y-5=0 ，求其它三边的方程。18、证明：直线系 (2x-y-6)+ (x-y-4)=0 中，找不到直线，使它与点P(4