高考数学一轮复习第7章立体几何第6讲空间向量及其运算知能训练轻松闯关理北师大版1125499

1、高考数学精品复习资料2019.5第第 6 6 讲讲 空间向量及其运算空间向量及其运算1已知a a(2，1，3)，b b(1，2，1)，若a a(a ab b)，则实数的值为()a2b143c.145d2解析：选 d.由题意知a a(a ab b)0，即a a2a ab b0，所以 1470，解得2.2在空间直角坐标系中，已知a(1，2，3)，b(2，1，6)，c(3，2，1)，d(4，3，0)，则直线ab与cd的位置关系是()a垂直b平行c异面d相交但不垂直解析：选 b.由题意得，ab(3，3，3)，cd(1，1，1)，所以ab3cd，所以ab与cd共线，又ab与cd没有公共点所以abcd.3

2、已知a a(2，1，3)，b b(1，4，2)，c c(7，5，)，若a a、b b、c c三向量共面，则实数等于()a.627b9c.647d.657解析：选 d.由题意知存在实数x，y使得c cxa ayb b，即(7，5，)x(2，1，3)y(1，4，2)，由此得方程组72xy，5x4y，3x2y.解得x337，y177，所以997347657.4在空间四边形abcd中，abcdacdbadbc()a1b0c1d不确定解析：选 b.如图，令aba a，acb b，adc c，则abcdacdbadbca a(c cb b)b b(a ac c)c c(b ba a)a ac ca ab

3、bb ba ab bc cc cb bc ca a0.5.如图所示，pd垂直于正方形abcd所在平面，ab2，e为pb的中点，cosdp，ae33，若以da，dc，dp所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点e的坐标为()a(1，1，1)b.1，1，12c.1，1，32d(1，1，2)解析：选 a.设p(0，0，z)，依题意知a(2，0，0)，b(2，2，0)，则e1，1，z2 ，于是dp(0，0，z)，ae1，1，z2 ，cosdp，aedpae|dp|ae|z22|z|z24233.解得z2，由题图知z2，故e(1，1，1)6(20 xx唐山统考)已知正方体abcda1b1c1d

4、1的棱长为a，点m在ac1上且am12mc1，n为b1b的中点，则|mn|为()a.216ab.66ac.156ad.153a解析：选 a.以d为原点建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，则a(a，0，0)，c1(0，a，a)，na，a，a2 .设m(x，y，z)，因为点m在ac1上且am12mc1，所以(xa，y，z)12(x，ay，az)，所以x23a，ya3，za3.所以m2a3，a3，a3 ，所以|mn|a23a2aa32a2a32216a.7在空间直角坐标系中，点p(1， 2， 3)，过点p作平面yoz的垂线pq，点q在平面yoz上，则垂足q的坐标为_解析：由题意知点q即为点p在平面

5、yoz内的射影，所以垂足q的坐标为(0， 2， 3)答案：(0， 2， 3)8在空间直角坐标系中，以点a(4，1，9)，b(10，1，6)，c(x，4，3)为顶点的abc是以bc为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为_解析：由题意知ab(6，2，3)，ac(x4，3，6)又abac0，|ab|ac|，可得x2.答案：29已知 2a ab b(0，5，10)，c c(1，2，2)，a ac c4，|b b|12，则以b b，c c为方向向量的两直线的夹角为_解析：由题意得，(2a ab b)c c0102010.即 2a ac cb bc c10，又因为a ac c4，所以b bc c18，所以

6、 cosb b，c cb bc c|b b|c c|1812 14412，所以b b，c c120，所以两直线的夹角为 60.答案：6010已知空间四边形oabc，点m、n分别是oa、bc的中点，且oaa a，obb b，occ c，用a a、b b、c c表示向量mn_解析：如图所示，mn12(mbmc)12(obom)(ocom)12(oboc2om)12(obocoa)12(b bc ca a)答案：12(b bc ca a)11(20 xx郑州模拟)已知a a(x，4，1)，b b(2，y，1)，c c(3，2，z)，a ab b，b bc c.求：(1)a a，b b，c c；(2)

7、a ac c与b bc c所成角的余弦值解：(1)因为a ab b，所以x24y11，解得x2，y4，此时a a(2，4，1)，b b(2，4，1)，又因为b bc c，所以b bc c0，即68z0，解得z2，于是c c(3，2，2)(2)a ac c(5，2，3)，b bc c(1，6，1)，因此a ac c与b bc c所成角的余弦值为（a ac c）（b bc c）|a ac c|b bc c|512338 38219.故a ac c与b bc c所成角的余弦值为219.12.如图所示，在平行六面体abcda1b1c1d1中，设aa1a a，abb b，adc c，m，n，p分别是aa

8、1，bc，c1d1的中点，试用a a，b b，c c表示以下各向量：(1)ap；(2)a1n；(3)mpnc1.解：(1)因为p是c1d1的中点，所以apaa1a1d1d1pa aad12d1c1a ac c12aba ac c12b b.(2)因为n是bc的中点，所以a1na1aabbna ab b12bca ab b12ada ab b12c c.(3)因为m是aa1的中点，所以mpmaap12a1aap12a a(a ac c12b b)12a a12b bc c.又nc1nccc112bcaa112adaa112c ca a.所以mpnc112a a12b bc ca a12c c32

9、a a12b b32c c.1有下列命题：若p pxa ayb b，则p p与a a，b b共面；若p p与a a，b b共面，则p pxa ayb b；若mpxmaymb，则p，m，a，b共面；若p，m，a，b共面，则mpxmaymb.其中真命题的个数是()a1b2c3d4解析：选 b.正确，中若a a，b b共线，p p与a a不共线，则p pxa ayb b就不成立正确中若m，a，b共线，点p不在此直线上，则mpxmay mb不正确2已知点a(1，2，1)，b(1，3，4)，d(1，1，1)，若ap2pb，则|pd|的值是_解析：设p(x，y，z)，所以ap(x1，y2，z1)，pb(1

10、x，3y，4z)，由ap2pb，得点p坐标为13，83，3，又d(1，1，1)，所以|pd|773.答案：7733已知空间三点a(0，2，3)，b(2，1，6)，c(1，1，5)(1)求以ab，ac为边的平行四边形的面积；(2)若|a a| 3，且a a分别与ab，ac垂直，求向量a a的坐标解：(1)由题意可得：ab(2，1，3)，ac(1，3，2)，所以 cosab，acabac|ab|ac|23614 1471412.所以 sinab，ac32，所以以ab，ac为边的平行四边形的面积为s212|ab|ac|sinab，ac14327 3.(2)设a a(x，y，z)，由题意得x2y2z23，2xy3z0，x3y2z0，解得x1，y1，z1或x1，y1，z1，所以向量a a的坐标为(1，1，1)或(1，1，1)4.如图，在棱长为a的正方体oabco1a1b1c1中，e，f分别是棱ab，bc上的动点，且aebfx，其中 0 xa，以o为原点建立空间直角坐标系oxyz.(1)写出点e，f的坐标；(2)求证：a1fc1e；(3)若a1，e，f，c1四点共面，求证：a1f12a1c1a1e.解：(1)e(a，x，0)，f(ax，a，0)(2)证明：因为a1(a，0，a)，c1(0，a，a)，所以a1f(x，a，a)，c1e(a，xa，a)，所以a1fc1eaxa(xa)a20，所以a