高三立体几何复习

1、优秀学习资料欢迎下载1. 一个几何体是由圆柱 ADD1A1 和三棱锥 E-ABC组合而成 , 点 A,B,C 在圆 O的圆周上 , 其正 ( 主 )视图 , 侧 ( 左) 视图的面积分别为10 和 12, 如图所示 , 其中 EA平面 ABC,ABAC,AB=AC.AE=2.(1) 求证 :AC BD.(2) 求三棱锥 E-BCD的体积 .【解析】 (1) 因为 EA平面 ABC,AC? 平面 ABC,所以 EA AC,即 EDAC.又因为 AC AB,ABED=A,所以 AC平面 EBD.因为 BD? 平面 EBD,所以 ACBD.(2) 因为点 A,B,C 在圆 O的圆周上 , 且 AB

2、AC,所以 BC为圆 O的直径 .设圆 O的半径为r, 圆柱高为h, 根据正 ( 主 ) 视图 , 侧 ( 左 ) 视图的面积可得,所以 BC=4,AB=AC=2.由(1) 知 ,AC平面 EBD,所以 VE-BCD=VC-EBD= S EBD× CA,因为 EA平面 ABC,AB? 平面 ABC,所以 EA AB,即 EDAB.其中 ED=EA+DA=2+2=4,因为 AB AC,AB=AC=2,所以 SEBD= ED× AB= × 4× 2=4,优秀学习资料欢迎下载所以 VE-BCD= ×4×2=.【一题多解】 第 (2) 问也可

3、采用如下方法.因为 EA平面 ABC,所以 VE-BCD=VE-ABC+VD-ABC= S ABC× EA+S ABC× DA= S ABC× ED.其中 ED=EA+DA=2+2=4,因为 AB AC,AB=AC=2,所以 S ABC= × AC× AB= × 2× 2=4,1×4× 4= .所以V =E-BCD32. 如图 , 已知矩形 ABCD中 ,AB=10,BC=6, 将矩形沿对角线 BD 把 ABD折起 , 使 A 移到 A1 点, 且 A1 在平面 BCD上的射影 O恰好在 CD上 .(1)

4、 求证 :BC A1D.(2) 求证 : 平面 A1BC平面 A1BD.(3) 求三棱锥 A1-BCD的体积 .【解题提示】 (1) 由 A1 在平面 BCD上的射影O在 CD上得 A1O平面 BCD? BC A1O;又 BC CO? BC平面 A1CD? BCA1D.(2) 先由 ABCD为矩形 ? A1 D A1B, 再由 (1) 知 A1DBC? A1D平面 A1BC,即可得到平面A1BC平面 A1BD.(3) 把求三棱锥 A1-BCD的体积转化为求三棱锥 B-A1CD的体积即可 .【解析】 (1) 连接 A1O,因为 A1 在平面 BCD上的射影O在 CD上 ,所以 A1O平面 BCD

5、,又 BC? 平面 BCD,所以 BC A1O,又 BC CO,A1O CO=O,优秀学习资料欢迎下载所以 BC平面 A1CD,又 A1D? 平面 A1CD,所以 BC A1D.(2) 因为 ABCD为矩形 , 所以 A1DA1B. 由 (1) 知 A1D BC,A1B BC=B, 所以 A1D平面 A1BC,又 A1D? 平面 A1BD,所以平面A1BC平面 A1 BD.(3) 因为 A1D平面 A1BC,所以 A1D A1C.因为 A1D=6,CD=10, 所以 A1C=8,所以= ××6=48.故所求三棱锥A1-BCD 的体积为48.3. 如图 , 在四棱锥P-ABC

6、D中 ,E 为 AD 上一点 , 平面 PAD平面 ABCD,四边形 BCDE为矩形 , PAD=60° ,PB=2,PA=ED=2AE=2.(1) 已知=( R), 且 PA平面 BEF,求 的值 .(2) 求证 :CB平面 PEB,并求点 D 到平面 PBC的距离 .【解析】 (1) 连接 AC交 BE 于点 M,连接 FM.因为 PA平面 BEF,所以 FMAP.因为 EM CD,所以= ,因为 FM AP,所以= , 所以 = .(2) 因为 AP=2,AE=1, PAD=60° ,所以 PE=, 所以 PE AD,优秀学习资料欢迎下载又平面 PAD平面 ABCD,

7、且平面 PAD平面 ABCD=AD,PE AD,所以 PE平面 ABCD,所以 PE CB,又因为 BE CB,且 PE BE=E,所以 CB平面 PEB.设点 D 到平面 PBC的距离为 d, 由 VD-PBC=VP-DBC,得 ×× 2× 2× d= ××2× 3×, 求得 d= .所以点 D 到平面 PBC的距离为.4. 如图 , 四棱锥 S-ABCD的底面是正方形 , 侧棱 SA底面 ABCD,过 A 作 AE 垂直 SB 交 SB 于 E点, 作 AH垂直 SD交 SD于 H 点, 平面 AEH交 SC于

8、 K 点 ,P 是 SA上的动点 , 且 AB=1,SA=2.(1) 试证明不论点 P 在何位置 , 都有 DBPC.(2) 求 PB+PH的最小值 .(3) 设平面 AEKH与平面 ABCD的交线为 l , 求证 :BD l .【解析】 (1) 连接 BD,AC,因为底面ABCD是正方形 , 所以 DB AC,因为 SA底面 ABCD,BD? 面 ABCD,所以 DB SA,又 SA AC=A,所以 BD平面 SAC,因为不论点P 在何位置都有PC? 平面 SAC,所以 DB PC.(2) 将侧面 SAB绕侧棱 SA旋转到与侧面 SAD在同一平面内 , 如图所示 , 则当 B,P,H 三点共

9、线时 ,PB+PH取最小值 , 这时 ,PB+PH的最小值即线段 BH的长 ,设 HAD=, 则 BAH= - ,因为AH=,所以 cos =,222在三角形BAH中 , 由余弦定理得 :BH =AB+AH-2AB· AHcos( - )=1+ -2 ×1××(-)=,所以 (PB+PH)min =.优秀学习资料欢迎下载(3)连接 EH,因为 AB=AD,SA=SA,所以 Rt SAB Rt SAD,所以 SB=SD,又因为 AE SB,AHSD,所以 AE=AH,所以 Rt SEA Rt SHA,所以 SE=SH,所以=,所以 EH BD,又因为 EH

10、? 面 AEKH,BD?面 AEKH,所以 BD面 AEKH,因为平面AEKH平面 ABCD=l, 所以 BDl .5. 如图所示，已知二面角 -MN -的大小为 60°，菱形 ABCD 在面 内， A， B 两点在棱 MN 上， BAD 60°， E 是 AB 的中点， DO 面 ，垂足为 O.(1)证明： AB平面 ODE ；(2)求异面直线BC 与 OD 所成角的余弦值解： (1)证明：如图，因为DO ， AB? ，所以 DO AB.连接 BD ，由题设知， ABD 是正三角形， 又 E 是 AB 的中点，所以 DE AB .而 DO DE D ，故 AB平面 ODE

11、.(2)因为 BC AD ，所以 BC 与 OD 所成的角等于AD 与 OD 所成的角，即ADO 是 BC与 OD 所成的角由 (1)知， AB平面 ODE ，所以 AB OE.又 DE AB，于是 DEO 是二面角 -MN -的平面角，从而 DEO 60°.不妨设 AB 2，则 AD 2，易知 DE3.在 RtDOE 中， DO DE ·sin 60° 3. 2连接 AO ，在 Rt AOD 中， cosADO DOAD32 3.243故异面直线BC 与 OD 所成角的余弦值为4.6如图，四棱锥S ABCD 中， AB CD， BC CD ，优秀学习资料欢迎下载侧面 SAB 为等边三角形，ABBC2,CD1,SD7 .（ 1）证明：平面 SAB平面 ABCD ；（ 2）求点 A 到平面 SDC 的距离 .解： (1)如图取 AB 中点 O ，连结 DO 、 SO，依题意四边形BCDO 为矩形，DOCB2 ，侧面 SAB 为等边三角形，AB 2,则 SO AB， (2 分）且 SO3，而 SD7SOD 满足 SD2SO2OD 2，SOD 为直角三角形， 即SO OD ，（4 分）SO平面 ABCD ，（ 5 分）平面 SAB平面 ABCD ；（6 分）S(2) 由（ 1）可知 SO平面 ABCD ，则SOCD ，CCDOD ，CD平面 SOD