高考数学易错点点睛与突破【专题11】空间向量原卷版

1、高考数学精品复习资料 2019.5 【20xx高考预测】【难点突破】难点 1 利用空间向量解立几中的探索性问题1如图11-23，pd面abcd，abcd为正方形，ab=2，e是pb的中点，且异面直线dp与ae所成的角的余弦为。试在平面pad内求一点f，使ef平面pcb。2如图11-25，直四棱柱abcd-a1b1c1d1中，面abcd是一个直角梯形，ab、cd为梯形的两腰，且ab=ad=aa1=a。 （）如果截面acd1的面种为s，求点d到平面acd1的距离；（）当为何值时，平面ab1c平面ab1d1。证明你的结论。难点 2 利用空间向量求角和距离1 已知长方体abcd-a1b1c1d1中，a

2、b=1，bc=a，aa1=1。（1）棱bc上是否存在点p，使a1ppd，说明理由；（2）若bc上有且仅有一点p，使a1ppd，试求此时的二面角p-a1d-a的大小。【易错点点睛】易错点 1 求异面直线所成的角1如图11-1，四棱锥pabcd的底面为直角梯形，abdc，dab=90°，pa底面abcd，且pa=ad=dc=ab=1，m是pb的中点。（1）证明：面pad面pcd；（2）求ac与pb所成的角；（3）求面amc与面bmc所成二面角a-cm-b的大小。2如图11-2，在直四棱术abcd-a1b1c1d1中，ab=ad=2，dc=2，aa1=，addc，acbd，垂足为e。（1）

3、求证bda1c；（2）求二面角a1-bd-c1的大小；（3）求异面直线ad与bc1所成角的大小。【特别提醒】坐标也容易出现错误，学习时要掌握一些特殊点坐标的特点，如x轴上的点坐标为（a，0，0），xoz面上的点坐标为（a,0,b）等，其次还应学会把某个平面单独分化出来，利用平面几何的知识求解，如本节的例2，求b的坐标。【举一反三】1已知正三棱柱abca1b1c1的底面边长为2a,高为b，求异面直线ac1和a1b所成的角。2如图11-4，在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别是d1d，bd的中点，g在cd上，且cg=cd，h为c1g的中点。（1）求证：efb1c；（2）求ef与

4、c1g所成角的余弦；（3）求fh的长。3如图11-5 四棱锥pabcd的底面abcd是矩形，pa底面abcd，pa=ab=1，bc=2。（1）求证：平面pad平面pcd；（2）若e是pd的中点，求异面直线ae与pc所成角的余弦值；（3）在bc边上是否存在一点g，使得d点在平面pag的距离为1，如果存在，求出bg的值；如果不存在，请说明理由。易错点 2 求直线与平面所成的角1如图在三棱锥pabc中，abbc，ab=bc=kpa，点o、d分别是ac、pc的中点，op底面abc。（1）当k=时，求直线pa与平面pbc所成角的大小；（2）当k取何值时，o在平面pbc内的射影恰好为pbc的重心？2如图1

5、1-7，四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，pd底面abcd，ad=pd，e、f分别为cd、pb的中点。（1）求证ef平面pab；（2）设ab=bc，求ac与平面aef所成的角的大小。【特别提醒】求直线与平面所成角的公式为：sin=,其中a为直线上某线段所确定的一个向量，n为平面的一个法向量，这个公式很容易记错，关键是理解，有些学生从数形结合来看，认为n应过直线上某个点，如例4中n应过c点，这是错误的，这里n是平面的任意一个法向量，再说一个向量过某一个具体的点这种说法也是错误的。【举一反三】1、如图11-9，在直三棱柱abca1b1c1中，acb=90°ac=2，bc=6，d为a

6、1b1的中点，异面直线cd与a1b垂直。（1）求直三棱术abc-a1b1c1的高；2、如图，已知正四棱柱abcd-a1b1c1d1中，底面边长ab=2，侧棱bb1的长为4，过点b作b1c的垂线交侧棱cc1于点e，交b1c于点f。（1）求证：a1c平面bed；（2）求a1b与平面bde所成的角是正弦值。3、已知四棱锥p-abcd（如图），底面是边长为2的正方形，侧棱pa底面abcd，m、n别为ad、bc的中点，mqpd于q，直线pc与平面pba所成角的正弦值为。（1）求证：平面pmn平面pad；（2）求pa的长；（3）求二面角p-mn-q的余弦值。易错点 3 求二面角的大小1 在四棱锥v-abc

7、d中，底面abcd是正方形，侧面vad是正三角形，平面vad底面abcd，如图11-12。来源: （1）证明：ab平面vad；（2）求二面角a-vd-b的大小。2 如图11-14，已知三棱锥p-abc中，e、f分别是ac、ab的中点，abc、pef都是正三角形，pfab。（1）证明：pc平面pab；（2）求二面角p-ab-c的平面角的余弦值；（3）若点p、a、b、c在一个表面积为12的球面上，求abc的边长。【特别提醒】利用空间向量求二面角，先求两平面的法向量，利用向量的夹角公式求出两法现量的夹角，二面角的平面角与法向量的夹角相等或互补，具体是哪一种，一般有两种判断方法：（1）根据图形判断二面

8、角是锐角还是钝角；（2）根据两法向量的方向判断。实际上很多求二面角的题目，还是传统方法（如三垂线定理作出二面角的平面角）简单，或传统方法与空间向量相结合来解。【举一反三】1.如图，在三棱锥p-oac中，op、oa、oc两两互相垂直，且op=oa=1，oc=2，b为oc的中点。（1）求异面直线pc与ab所成角的余弦值；（2）求点c到平面pab的距离；（3）求二面角c-pa-b的大小（用反余弦表示）。2、如图所示，四棱锥p-abcd的底面是正方形，pa底面abcd，pa=ad=2，点m、n分别在棱pd、pc上，且pc平面amn。（1）求证：ampd；（2）求二面角p-am-n的大小；（3）求直线c

9、d与平面amn所成角的大小。3 如图所示，已知正四棱柱abcd-a1b1c1d1的底面边长为4，aa1=6，q为bb1的中点，pdd1，ma1b1，nc1d1，am=1，d1n=3。（1）当p为dd1的中点时，求二面角m-pn=d1的大小；（2）在dd1上是否存在点p，使qd1面pmn？若存在，求出点p的位置；若不存在，请说明理由；（3）若p为dd1中点，求三棱锥q=pmn的体积。易错点 4求距离1 如图11-18，直二面角d-ab-e中，四边形abcd是边长为2的正方形，ae=eb，f为ce上的点且bf平面ace。 （1）求证：ae平面bce；（2）求二面角b-ac-e的大小；（3）求点d到

10、平面ace的距离。2如图11-19，在三棱锥s-abc中，abc是边长为4的正三角形，平面sac平面abc，sa=sc=，m、n分别为ab、sb的中点（1）证明：acsb；（2）求二面角n-cm-b的大小。（3）求点b到平面cmn的距离。【特别提醒】立体几何中的距离以点到面的距离最为重要利用空间和量求点到面的距离关键是对公式d=的理解和记忆，其中a为过该点且与平面相交的线段确定的向量，n为平面的任意一个法向量，这个任意给解题带来了很大的方便。当然有些题目用空间向量来解可能没有传统方法简单。【举一反三】1 已知abcd是边长为4的正方形，e、f分别是ab、ad的中点，pc垂直于abcd所在的平面

11、，且pc=2。 求点b到平面pef的距离。2 如图：正四棱柱abcda1b1c1d1的底面边长是，侧棱长是3，点e、f分别在bb1、dd1上，且aea1b，afa2c。（1）求证：a1c平面aef；（2）求二面角a-ef-b的大小；（3）求点b1到平面aef的距离。3、在三棱锥p-abc中，pa=pb=pc，bc=2a，ac=a，ab=a，点p到平面abc的距离为a来源:（1）求二面角p-ac-b的大小；（2）求点b到平面pac的距离。【20xx高考突破】1给出下列四个命题：若pxayb，则p与a，b共面；若p与a，b共面，则pxayb.若xy，则p，m，a、b共面；若p，m，a，b共面，则x

12、y.其中真命题的序号是_2. 如图所示，在平行六面体abcda1b1c1d1中，m为a1c1与b1d1的交点若a，b，c，则用a，b，c表示为_3已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，则与的值是_4已知a(1t,1t，t)，b(2，t，t)，则|ba|的最小值为_5. 如图，已知空间四边形oabc，oboc，且aobaoc，则cos，的值为_6已知a3b与7a5b垂直，且a4b与7a2b垂直，则a，b_.7正方体abcda1b1c1d1的棱长为a，点m在ac1上且，n为b1b的中点，则|为_8在下列条件中，使m与a、b、c一定共面的是_2；0；0；9已知a(2，1,2)，b(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为_10已知abcda1b1c1d1为正方体，给出下列四个命题：()23a1b12；·()0；向量与向量的夹角是60°；正方体abcda1b1c1d1的体积为|a··a|.其中正确命题的序号是_11若a(1,5，1)，b(2,3,5)(1)若(kab)(a3b)，求k；(2)若(kab)(a3b)，求k.来源:12. 如图，已知空间四边形abcd的各边和对角线的长都等于a，点m、n分