微分方程(new)

1、数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束重庆大学数理学院国家级精品课程数学实验课件数学实验之微分方程shuxueshiyanzhiweifenfangcheng课件制作：数学实验课程组 你可以自由地从网站 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束实验目的实验目的 掌握微分方程数值解法 了解微分方程的实际应用 学会使用matlab软件求解析解、数值解和图形解 通过范例学习怎样建立微分方程模型和分析问题的思想数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束应用场景应用

2、场景伪画鉴定伪画鉴定 woman taken in adultery h.a. van meegeren 数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束伪画鉴定伪画鉴定 disciples at emmaus应用场景应用场景数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束江湖河流的污染江湖河流的污染应用场景应用场景数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束疾病的传播疾病的传播 应用场景应用场景数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法

3、软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束牛顿冷却定律牛顿冷却定律将温度为x0的物体放入处于常温m的介质中,则该物体的冷却率正比于物体温度与周围介质温度 m的差. 设物体在t 时刻的温度为x (t), 则引例引例00()( )dxk xmdtx tx 数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束卢瑟福放射性衰变定律卢瑟福放射性衰变定律放射性物质衰变的速度与现存的放射性物质的原子数成正比设n(t)为该放射性物质在时刻t的原子数，则dnndt 引例引例数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结

4、束v=d 2x / 4 (d是常数)倒葫芦形状容器壁上的刻度问题倒葫芦形状容器壁上的刻度问题圆柱体形状容器圆柱体形状容器倒葫芦形状容器倒葫芦形状容器xdd(x)xd引例引例数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束21( )4vd xx0)0(,)(41dd2vxdxv由微元法分析知由微元法分析知截面积截面积厚度厚度或或2) 12(41ddxxv例如：例如：?)(xv引例引例xd(x)数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束 如果给出如果给出d(x)d(x)的部分测试数的部分测试数据，

5、如据，如(x(xi i, d, di i), i =1,2,), i =1,2,20.,20. 如何求解上述微分方程如何求解上述微分方程? ? 即求关系即求关系 v= v(d(xv= v(d(x) ) 或或 (xi, vi), i =1,2,20 （数值解）（数值解）倒葫芦形状容器壁上的刻度问题倒葫芦形状容器壁上的刻度问题引例引例数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束人口问题人口问题马尔萨斯人口模型马尔萨斯人口模型假设:人口出生率和死亡率是常数，因此人口的净增长率为常数.设时刻t的人口数量为p(t)，人口出生率为b，死亡率为d 则从而t

6、tdpttbptpttp)()()()()()()(d)(dtkptdptbpttp(k=b-d)引例引例数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束.)( ),(d)(d00ptptkpttp)(00)(ttkeptp因此马尔萨斯人口模型如下：该微分方程初值问题的解析解：马尔萨斯人口模型马尔萨斯人口模型为了验证，采用某国家的人口历史数据,见下页表. 引例引例数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束年 份179018001810182018301840185018601870188018

7、90人口/103392953087240963812866170692319231433385585015662948年 份19001910192019301940195019601970198019902000人口/1037599591972105711122755131669150697179323203212226505248710281416)()(ln00ttkptp00)/ )(ln(ttptpk17901840)3929/17069ln(k首先确定参数k：因为所以利用1790年和1840年的数据计算得出：= 0.0294.马尔萨斯人口模型马尔萨斯人口模型引例引例数学实验之微分方程

8、实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束由此预测，1850年的人口数量为22,898,000，误差为1%，1900年的人口数量为 99,476,000，误差为31%，2000年的人口数量为 1,877,463,000，误差为567%，2050年将达到80多个亿？该模型对于长期预测不合理。马尔萨斯人口模型马尔萨斯人口模型引例引例数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束 1837 1837年荷兰生物数学家年荷兰生物数学家verhulstverhulst 提出改进提出改进. . 人口增长率不应该是常数，假设

9、增长率人口增长率不应该是常数，假设增长率k k是随着人是随着人口数量接近最大数量口数量接近最大数量mm而线性递减而线性递减. . 逻辑斯谛人口模型逻辑斯谛人口模型)(pmrk 从而得到改进后的人口模型从而得到改进后的人口模型( (逻辑斯谛增长模型逻辑斯谛增长模型) )ppmrkpttp)(d)(d00)(ptp引例引例数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束逻辑斯谛人口模型逻辑斯谛人口模型可以求得，该人口模型的解为：可以求得，该人口模型的解为：)(0000)()(ttrmepmpmptp1)如何得到逻辑斯谛人口模型种的参数m？2) 逻辑斯

10、谛是否适合人口长期预测？引例引例数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束定义：定义：如果一个方程中未知的量是一个函数,且方程中含有未知函数的导数,则称该方程称为微分方程微分方程。 如 ：n n阶常微分方程的一般形式：阶常微分方程的一般形式：ddyxxy 基本概念基本概念( )( , ,)0nf x y yy标准的标准的n n阶微分方程：阶微分方程：11( , ,)nnnnd ydydyf x ydxdxdx显式隐式数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束标准的一阶微分方程组标准的一阶

11、微分方程组标准的一阶微分方程：标准的一阶微分方程：初始条件：初始条件： y(x0) = y0基本概念基本概念111212( ,);( ,);mmmmdyfx yyydxdyfx yyydxd( , )dyf x yx数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束图形解 xyo简单的微分方程。复杂、大型的微分方程解析解 y = f(x)数值解 (xi, yi)欧拉方法改进欧拉方法 梯形法龙格-库塔法微分方程的数值解法微分方程的数值解法数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束“常微分方程初值问

12、题数值解常微分方程初值问题数值解”的提法的提法不求解析解不求解析解 y = yy = y( (x x) ) ( (无解析解或求解困难无解析解或求解困难) )12nxxx而在一系列离散点而在一系列离散点求求y(xy(xn n) )的近似值的近似值y yn n(n(n=1,2,=1,2,) )设设y=f(x,yy=f(x,y), y(x), y(x0 0)=y)=y0 0的解的解 y = yy = y( (x x) )存在且唯存在且唯一一微分方程的数值解法微分方程的数值解法数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束“常微分方程初值问题数值解常微

13、分方程初值问题数值解”的提法的提法12nxxx而在一系列离散点通常取等步长h0nxxnh0 x0y)(xyy yxy1y2yn)(nxy1x2xnx求y(xn)的近似值yn(n=1,2,)微分方程的数值解法微分方程的数值解法数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束1、欧拉法2、龙格库塔法00)(),(yxyyxfdxdy微分方程数值解法微分方程数值解法数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束00( , ), ()yf x y y xy基本思路基本思路1 ()()/nnyy xy xh

14、11()()( , ( ),nnnny xy xhf x y xxxxx取不同点各种欧拉公式1、欧拉方法在小区间xn,xn+1上f(x,y)中的 x取 xn,xn+1内的某一点数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束yp0 x0 x1x2x3 xy=y(x)y0p1p2p31()( )( , ( )nnnny xy xhf x y x1( ,),0,1,nnnnyyhf x yn向前欧拉公式向前欧拉公式显式公式显式公式11(),()nnnnyy xyy x1、欧拉方法11()()( , ( ),nnnny xy xhf x y xxxxx

15、取左端点xn数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束11()()( , ( ),nnnny xy xhf x y xxx x11(),()nnnnxyy xyy x取右端点，111(,),0,1,nnnnyyhf xyn向后欧拉公式向后欧拉公式 隐式公式隐式公式1、欧拉方法微分方程的数值解法微分方程的数值解法数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束p3yp0 x0 x1x2x3 xy0y=y(x)p1p2n+1y右端未知，可迭代求解(0)1(,)nnnnyyhfxy初值(1)()11

16、1(,),0,1, 2,kknnnnyyhfxyk n()11limknnkyy1、欧拉方法111(,),0,1,nnnnyyhf xyn数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束1,(0)1,0.1yyxyh 例 1观察向前欧拉、向后欧拉算法计算情况。与精确解进行比较。误差有多大？解：1） 解析解： y = x + e-x1、欧拉方法微分方程的数值解法微分方程的数值解法( ,)1f x yyx 其中数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束2） 向前欧拉法： yn+1 = yn + h

17、(-yn + xn+ 1) = (1-h) yn + h xn+ h 3）向后欧拉法： yn+1 = yn + h(- yn +1+xn +1+1) 转化 yn+1 = (yn + h xn+1+ h )/(1+h)y = f(x,y) = -y + x +1;1、欧拉方法微分方程的数值解法微分方程的数值解法数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束x1(1)=0;y1(1)=1;y2(1)=1;h=0.1; %(died.m)for k=1:10 x1(k+1)=x1(k)+h; y1(k+1)=(1-h)*y1(k)+h*x1(k)+h

18、; y2(k+1)=(y2(k)+h*x1(k+1)+h)/(1+h);endx1,y1,y2,（y1向前欧拉解，y2向后欧拉解）x=0:0.1:1;y=x+exp(-x)（解析解）plot(x,y,x1,y1,k:,x1,y2,r-)1、欧拉方法数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束x精确解向前欧拉向后欧拉01110.11.004811.00910.21.01871.011.02640.31.04081.0291.05130.41.07031.05611.08300.51.10651.09051.12090.61.14881.1314

19、1.16450.71.19661.17831.21320.81.24931.23051.26650.91.30661.28741.324111.36791.34871.3855（1 1）步长）步长h=0.1h=0.1的数值解比较表的数值解比较表计算结果计算结果数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束（2 2）步长）步长h=0.01h=0.01的数值解比较表的数值解比较表x精确解向前欧拉向后欧拉01110.11.00481.00441.00530.21.01871.01791.01950.31.04081.03971.04190.41.07

20、031.06901.07170.51.10651.10501.10800.61.14881.14721.15040.71.19661.19481.19830.81.24931.24751.25110.91.30661.30471.308411.36791.36601.3697结论：显然迭代步长结论：显然迭代步长h h 的选取对精度有影响。的选取对精度有影响。数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束00.5111.11.21.31.4xx+exp(-x)图形显示图形显示 有什么方法可以使精度提高？向后欧拉法 数学实验之微分方程实验目的 应用

21、场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束梯形公式 ,.2 , 1 , 0),(),(2111nyxfyxfhyynnnnnn改进欧拉公式),(),()(21121211hkyxfkyxfkkkhyynnnnnnyn + hf(xn,yn)数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束x精确解向前欧拉向后欧拉改进欧拉011110.11.004811.00911.0050.21.01871.011.02641.0190.31.04081.0291.05131.04120.41.07031.05611.08301.07080.

22、51.10651.09051.12091.10710.61.14881.13141.16451.14940.71.19661.17831.21321.19720.81.24931.23051.26651.25000.91.30661.28741.32411.307211.36791.34871.38551.3685步长步长 h= 0.1 h= 0.1 的数值解比较表的数值解比较表使用改进欧拉公式的例数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束向前欧拉公式向前欧拉公式向后欧拉公式向后欧拉公式1(,)nnnnyyhf xy111(,)nnnnyy

23、hfxy二者平均得到二者平均得到梯形公式梯形公式111(,)(,),0,1,2nnnnnnhyyfxyfxyn仍为隐式公式，需迭代求解仍为隐式公式，需迭代求解将梯形公式的迭代过程简化为两步将梯形公式的迭代过程简化为两步1(,)nnnnyyhf x y预测预测111(,)(,),0,1,2nnnnnnhyyfxyfxyn校正校正改进欧拉公式改进欧拉公式数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束11()()( ,( ),nnnny xy xhf x y xxxx 向前，向后欧拉公式：向前，向后欧拉公式： 用用 x xn n, x, xn n+1

24、+1 内个点的导内个点的导 数代替数代替 f f( (x x, , y y( (x x) ) 梯形公式，改进欧拉公式梯形公式，改进欧拉公式：用：用 x xn n, x, xn n+1+1 内个点内个点导数的平均值代替导数的平均值代替 f f( (x x, , y y( (x x) )龙格龙格- -库塔方法的基本思想库塔方法的基本思想在在 x xn n, x, xn n+1+1 内多取几个点，将它们的导数加权平均内多取几个点，将它们的导数加权平均代替代替 f f( (x x, , y y( (x x) )，设法构造出，设法构造出精度更高精度更高的计算公式。的计算公式。 2 2、龙格、龙格- -库

25、塔法库塔法数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束111222111(,)(,)(,),3,4,lnniiinnnniininiijjjyyhkkf xykf xc h yc hkkf xc h yc ha kill级?阶龙格龙格- -库塔方法的一般形式库塔方法的一般形式1, 10, 1,111ijijiliiijiiacac满足使精度尽量高.数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束常用的常用的( (经典经典) )龙格龙格库塔公式库塔公式不足不足: :收敛速度较慢收敛速度较慢1123

26、41213243(22)6(,)(/ 2,/ 2)(/ 2,/ 2)(,)nnnnnnnnnnhyykkkkkfxykfxhyhkkfxhyhkkfxhyhk4级4阶微分方程的数值解法微分方程的数值解法2 2、龙格、龙格- -库塔法库塔法数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束matlabmatlab软件求解软件求解解析解解析解y=dsolve(eqn1,eqn2, , c1 , x )微分方程组初值条件注意： y dy，y d2y 自变量名可以省略，默认变量名t。指明变量数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂

27、延伸 范 例 布置实验 结 束例1)0(,12yydxdy输入：y=dsolve (dy=1+y2) y1=dsolve(dy=1+y2,y(0)=1,x)输出：y= tan(t-c1) （通解） y1= tan(x+1/4*pi) （特解）matlabmatlab软件求解软件求解解析解数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束例 常系数的二阶微分方程0)0( , 1)0(, 032 yyyyyy=dsolve(d2y-2*dy-3*y=0,x)y=dsolve(d2y-2*dy-3*y=0,y(0)=1,dy(0)=0,x)输入：y =

28、c1*exp(-x)+c2*exp(3*x)y = 3/4*exp(-x)+1/4*exp(3*x)结果：matlabmatlab软件求解软件求解解析解数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束x=dsolve(d2x-(1-x2)*dx+x=0, x(0)=3,dx(0)=0)例 非常系数的二阶微分方程2( ) (1( ) ( )( ) 0,(0) 3, (0) 0 x tx t x tx txx 无解析表达式！matlabmatlab软件求解软件求解解析解数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布

29、置实验 结 束x=dsolve(dx)2+x2=1,x(0)=0)例 非线性微分方程22( )( )1, (0)0 x tx txx = sin(t) -sin(t)若欲求解的某个数值解，如何求解？t=pi/2; eval(x)matlabmatlab软件求解软件求解解析解数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束输入：x,y=dsolve(dx=3*x+4*y,dy=-4*x+3*y)x,y=dsolve(dx=3*x+4*y,dy=-4*x+3*y,x(0)=0,y(0)=1)例1)0(0)0(3443yxyxdtdyyxdtdx输出：

30、 x = 1/2*exp(7*t)-1/2*exp(-t) y = 1/2*exp(-t)+1/2*exp(7*t)matlabmatlab软件求解软件求解解析解数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束t，x=solver（f,ts, x0）ode23 ode45由待解方程写成的m-函数文件ts=t0，tf，t0、tf为自变量的初值和终值函数的初值ode23：2阶3级龙格-库塔算法ode45：4阶5级龙格-库塔算法自变量值函数值matlabmatlab软件计算数值软件计算数值解解数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解

31、 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束1 1）首先建立）首先建立m-m-文件文件 （weif.mweif.m） function f = weif(x,yfunction f = weif(x,y) ) f=-y+x+1; f=-y+x+1;2 2）求解：）求解：xx，y=ode23(weif, 0, 1, 1)y=ode23(weif, 0, 1, 1)3) 3) 作图形作图形: plot(x, y, r);: plot(x, y, r);4) 4) 与精确解进行比较与精确解进行比较 hold on hold on ezplot(x+exp(-x),0, 1) ezplot(x+exp(-x)

32、,0, 1)例例1 1 y y= - = - y y+ +x x+1+1，y y(0) = 1(0) = 1标准形式：标准形式： y y= = f f( (x x , , y y) )matlabmatlab软件计算数值软件计算数值解解数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束 1 1、在解、在解n n个未知函数的方程组时，个未知函数的方程组时，x x0 0和和x x均为均为n n维向量，维向量，m-m-函数文件中的待解方程组应以函数文件中的待解方程组应以x x的的分分量量形式写成形式写成. . 2 2、使用、使用matlabmatlab软

33、件求数值解时，软件求数值解时，高阶高阶微分方微分方程必须等价地程必须等价地变换成一阶变换成一阶微分方程组微分方程组. .注意注意: :matlabmatlab软件计算数值软件计算数值解解数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束注意注意1 1：)(),(,()(1tytxtfdttdx)(),(,()(2tytxtfdttdy1 1、建立、建立mm文件函数文件函数 function xdotfunction xdot = = funfun(t,(t,z z) ) xdot xdot = = f f1 1(t, (t, z z(1), (1)

34、, z z(2)(2)； f f2 2(t, (t, z z(1), z(2)(1), z(2)；2 2、数值计算、数值计算（执行以下命令）（执行以下命令） t,zt,z=ode23(=ode23(funfun,t,t0 0,t ,tf f,x,x0 0,y,y0 0) )注意：执行命令不能写在注意：执行命令不能写在mm函数文件中。函数文件中。matlabmatlab软件计算数值软件计算数值解解数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束( , , )yf t y yyxyx例如：例如：令令注意注意2 2：function xdot = fu

35、n1(t,z) （fun1.m) xdot = f(t,z(1), z(2)；z(1)；m-m-文件函数如何写呢？文件函数如何写呢？注意：注意：y(t)y(t)是原是原方程的解。方程的解。x(t)x(t)只是中间变只是中间变量。量。其中其中 z(1)=x, z(2)=yt,x,y= ode23(fun1,t0,tf,x0,y0)( , , )xf t x yyx所以所以数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束例例2 van der pol2 van der pol 方程方程：2( )(1( ) ) ( )( )0(0)3, (0)0 x

36、tx tx tx txx令令122212112;(1);(0)3,(0)0;yyyyyyyy该方程是否有解析解？该方程是否有解析解？12( ),( )yx tyx t 数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束（1）编写m文件 ( 文件名为 vdpol.m): function yp = vdpol(t,y); yp=y(2);(1-y(1)2)*y(2)-y(1);（2）编写程序如下:（vdj.m） t,y=ode23(vdpol,0,20,3,0); y1=y(:,1); % 原方程的解 y2=y(:,2); plot(t,y1,t,y

37、2,-) % y1(t),y2(t) 曲线图 pause, plot(y1,y2),grid, % 相轨迹图，即y2(y1)曲线matlabmatlab软件计算数值软件计算数值解解数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束05101520-3-2-10123time,secondy(1)and y(2)van der pol solution 计算结果计算结果 蓝色曲线 y（1）；（原方程解） 红色曲线 y（2）；(导函数曲线)数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束-3-2-1012

38、3-3-2-10123y1y2相轨迹图(y(y1 1,y,y2 2) ) 曲线曲线数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束例例3 3 考虑考虑lorenzlorenz模型：模型：112322332123( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )x tbx tx t x tx tcx tcx tx tx t x trx tx t 其中参数b =8/3，c =10，r =28解：1）编写m函数文件(lorenz.m); 2) 数值求解并画三维空间的相平面轨线；即(x1,x2,x3)曲线. (ltest.m)mat

39、labmatlab软件计算数值软件计算数值解解数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束1、 lorenz.mfunction xdot=lorenz(t,x)b=8/3;c=10;r=28;xdot=-b,0,x(2);0,-c,c;-x(2),r,-1*x;12122323( )0( )( )( )0( )( )( )1( )x tbx tx tx tccx tx tx trx tmatlabmatlab软件计算数值软件计算数值解解8,10,283bcr其中数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例

40、布置实验 结 束2 2、ltest.mltest.mx0=0 0 0.1;x0=0 0 0.1;t,x=t,x=ode45ode45( (lorenzlorenz,0,10,x0);,0,10,x0);plot(t,x(:,1),plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),t,x(:,2),* *,t,x(:,3),t,x(:,3),+) )pausepauseplot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3),grid onplot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3),grid on计算结果如下图matlabmatlab软件计算数值软件计算数值解解数学实验之微分方程实验目的

41、应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束0246810-20-10010203040500204060-20020-20-100102030图中，图中，x x1 1的图形为实线的图形为实线( (蓝），蓝），x x2 2的图形为的图形为“* *”线（绿），线（绿），x x3 3的图形为的图形为“+”+”线（红）线（红）. .取取t t0 0，t tf f=0=0，1010。若自变量区间取若自变量区间取0，20、0，40，计算结果如下：，计算结果如下：数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束曲线呈震荡发散状三维图形

42、的混沌状05101520-200204060050-20020-50050010203040-40-200204060050-20020-50050数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束观察结果：观察结果： 1、该曲线包含两个“圆盘”，每一个都是由螺线形轨道构成。某些轨道几乎是垂直地离开圆盘中一个而进入另一个。 2、随着t的增加，x(t)先绕一个圆盘几圈，然后“跳”到另一个圆盘中。绕第二个圆盘几圈，又跳回原来的圆盘。 并以这样的方式继续下去，在每个圆盘上绕的圈数是随机的。 思考：该空间曲线与初始点x0的选择有关吗？数学实验之微分方程实验

43、目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束1）x0=0 0.1 0.1; t0,tf=0,30; 解向量y y2 2）x00=0.01 0.11 0.11; t0,tf=0,30; 解向量x x y x = (y1-x1,y2-x2,y3-x3)0102030-40-200204060-50050-50050-50050数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束问题背景问题背景范例范例: : 弱肉强食的双种群模型弱肉强食的双种群模型 生活在同一环境中的两种动物，存在各种各生活在同一环境中的两种动物，存在各种各

44、样的生存模式，弱肉强食就是其中典型的一种行样的生存模式，弱肉强食就是其中典型的一种行为。设想在一个海岛上，居住着野兔和狐狸，狐为。设想在一个海岛上，居住着野兔和狐狸，狐狸吃兔子，兔子吃青草。青草无限，兔子大量繁狸吃兔子，兔子吃青草。青草无限，兔子大量繁殖；兔多则狐狸容易捕食，狐狸数量增加，导致殖；兔多则狐狸容易捕食，狐狸数量增加，导致兔子减少，进而狐狸将减少。形成兔子狐狸数量兔子减少，进而狐狸将减少。形成兔子狐狸数量交替增减，无休无止地循环，形成生态平衡。交替增减，无休无止地循环，形成生态平衡。 数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束数

45、学模型数学模型范例范例: : 弱肉强食的双种群模型弱肉强食的双种群模型 用用x x( (t t) )、y y( (t t) )分别表示分别表示t t时刻兔子、狐狸的数量。模型为时刻兔子、狐狸的数量。模型为( (意大利数学家意大利数学家volterravolterra )()()()(tytxatxrdttdx)()()()(tytxbtysdttdy其中其中 rxrx( (t t) )表示兔子的繁殖数量，表示兔子的繁殖数量，axax( (t t) ) y y( (t t) ) 表示兔子与狐狸表示兔子与狐狸相遇而被吃掉的数量。相遇而被吃掉的数量。 sysy( (t t) )表示同类竞争造成死亡的

46、数量，表示同类竞争造成死亡的数量，bxbx( (t t) ) y y( (t t) ) 表示狐狸的增加与兔子狐狸相遇次数成比例。表示狐狸的增加与兔子狐狸相遇次数成比例。 数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束相平面轨迹图相平面轨迹图范例范例: : 弱肉强食的双种群模型弱肉强食的双种群模型 1. 1. 利用数值解作图利用数值解作图020004000600080001000012000020406080100120140160180200 xy数 值 解数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验

47、 结 束相平面轨迹图相平面轨迹图范例范例: : 弱肉强食的双种群模型弱肉强食的双种群模型 1. 1. 利用数值解作图利用数值解作图 系列初值下的解及其相平面轨迹图系列初值下的解及其相平面轨迹图, , 初值包括初值包括x(0), y(0) = 1,0.3, 1,0.5, , 1,1.5等。等。首先，建立首先，建立mm函数文件函数文件(fish.m(fish.m) )function xdot=fish(t,xfunction xdot=fish(t,x) )r=2;r=2;s=0.8;s=0.8;a=0.02;a=0.02;b=0.0002;b=0.0002;xdotxdot=r=r* *x(1

48、)-ax(1)-a* *x(1)x(1)* *x(2);-sx(2);-s* *x(2)+bx(2)+b* *x(1)x(1)* *x(2);x(2);数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束相平面轨迹图相平面轨迹图范例范例: : 弱肉强食的双种群模型弱肉强食的双种群模型 1. 1. 利用数值解作图利用数值解作图%由数值解作相平面轨迹图 hold onhold on for k=1:8 for k=1:8 ts ts=1:0.01:8;x0=4000,10=1:0.01:8;x0=4000,10* *k;k; t,x t,x=ode45(

49、fish,ts,x0);=ode45(fish,ts,x0); plot(x(:,1),x(:,2),k) plot(x(:,1),x(:,2),k) end endxlabel(x);xlabel(x);ylabel(yylabel(y); title(); title(数值解数值解) ) 数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束相平面轨迹图相平面轨迹图范例范例: : 弱肉强食的双种群模型弱肉强食的双种群模型 2. 2. 利用等值线作图利用等值线作图02000400060008000100001200002040608010012014

50、0160180200 xy等 值 线数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束相平面轨迹图相平面轨迹图范例范例: : 弱肉强食的双种群模型弱肉强食的双种群模型 2. 2. 利用等值线作图利用等值线作图将以上微分方程通过分离变量方法得到其通解为将以上微分方程通过分离变量方法得到其通解为, ,kbxxsayyrlnln其中其中k k为任意常数。如果给定了初始条件（为任意常数。如果给定了初始条件（x x0, 0, y y0 0），则），则k k为定值。即为定值。即0000lnlnbxxsayyrk反之，对任何一个给定值反之，对任何一个给定值k k

51、，也就确定了一个，也就确定了一个特解。特解。 数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束相平面轨迹图相平面轨迹图范例范例: : 弱肉强食的双种群模型弱肉强食的双种群模型 2. 2. 利用等值线作图利用等值线作图 微分方程组的通解实质上是如下二元函数的微分方程组的通解实质上是如下二元函数的等值线等值线. . 参数取值参数取值r r=2,=2,s s=0.8,=0.8,a a=0.02,=0.02,b b=0.0002=0.0002时，由等时，由等值线作出的相平面轨迹图。值线作出的相平面轨迹图。bxxsayyryxflnln),(数学实验之微分

52、方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束相平面轨迹图相平面轨迹图范例范例: : 弱肉强食的双种群模型弱肉强食的双种群模型 2. 2. 利用等值线作图利用等值线作图 matlab程序如下 x0=100;x0=100;x1=12000; y0=10; x1=12000; y0=10; y1=200;y1=200; x,y x,y=meshgrid(x0:10:x1,y0:1:y1);=meshgrid(x0:10:x1,y0:1:y1); r=2; r=2;s=0.8;s=0.8;a=0.02;a=0.02;b=0.0002;b=0.0002; z=r z

53、=r* *log(y)-alog(y)-a* *y+sy+s* *log(x)-blog(x)-b* *x;x; contour(x,y,z,20,k); contour(x,y,z,20,k); axis(0 x1 0 y1); axis(0 x1 0 y1);xlabel(x);xlabel(x);ylabel(yylabel(y);); title( title(等值线等值线) )数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束相平面轨迹图相平面轨迹图范例范例: : 弱肉强食的双种群模型弱肉强食的双种群模型 初始值为x=4000; y=60

54、对应的相平面轨迹图1000200030004000500060007000800060708090100110120130140150160 xy一 条 等 值 线如果初始时刻有 4000只兔子, 60只狐狸，则这两种动物的种群数量变化情况如上图所示.数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值解法软件求解 课堂延伸 范 例 布置实验 结 束相平面轨迹图相平面轨迹图范例范例: : 弱肉强食的双种群模型弱肉强食的双种群模型 1)随着时间的推移，在相平面轨迹图4.8中,轨迹的走向是按逆时针还是顺时针方向？2)如果某生态系统中有三种弱肉强食的动物，相应的种群模型为三元微分方程，如何用图形表示其解的轨迹？数学实验之微分方程实验目的 应用场景基本概念数值