2019-2020学年高中数学必修五综合测试卷及答案

1、2019-2020学年高中数学必修五综合测试卷（时间:120分钟 满分:150分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的）I 1设 ABC的内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,若a,b,c成等比数列，且c=2a,则cos B等于（）1 3v2a.4b.4c.了 D.w答案：BI 2下列结论正确的是（）A.若 ac>bc,则 a>bB.若 a8>b8,则 a>bC.若 a>b,c<0则 ac<bcD.若® /?则 a>b答案:CJ 3等差数列an的前n项和为Sn,若a

2、2+a7+a2=30，则S3的值是（）A.130B.65C.70D.75解析：因为 a2+a 7+a 12=（a2+a 12）+a7=2a7+a7=3a7=30，所以 a7=10.erP/ Cc 13（?+?%）13（?+?7）Si3 = 2= 2 = 13a7=130.答案:AJ 4已知锐角 ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若23cos2A+ cos 2A=0,a=7,c= 6,贝U b等于（）A.10B.9C.8D.51斛析：由 23cos2A+ cos 2A= 0,得 cos2A= 25.,e-兀-1 A C （0 ,） , . cos A= 5.36+?2-49,13

3、 人- cos A= 2>< 6? ,b= 5或 b=- 3（舍）.故选D.答案：DL5若在等比数列an中,a4=7,a6=21，则a8等于（）A.35B.63C.21V3D.i21v3答案：BJ 6若在 ABC中,a= 4,b= 4V3,A= 30。，则角B的度数等于（）A.30 °B.30 或 150°C.60 °D.60 或 120°答案：DI 7在 ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b2=ac,则角B的取值范围是（）如 ，一 兀1rl兀一,A. （0,3 B. 3 ,兀C. （0,6 D. 6 ,兀）答案:A匚8某旅行社

4、租用 A,B两种型号的客车安排 900名客人旅行，A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，若旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于 A型车7辆,则租金最少为（）A.31 200 元B.36 000 元C.36 800 元D.38 400 元36?+ 60? > 900 ,?+ ?< 21,解析：设需A,B型车分别为x,y辆（x,yC N）,则x,y需满足 ？?. 7设租金为z,则z=1 600x+2 ?E N,?E N, 400y,画出可行域如图中阴影所示，根据线性规划中截距问题，可求得最优解为x=5,y=12，此时z最小等

5、于36 800.故选C.答案:CL9 若 x>0,y> 0,且 xy-(x+y)=1M()A.x+y >2(v + 1)B.xy< 五 + 1C.x+y < ( v5 + 1)2D.xy> 2(+ 1)QQ+QQ2解析：:xy= 1+(x+y)w (亍)， (x+y )2-4(x+y )-4 > 0,.x+y >2(v+ 1),当且仅当x=y=媲+ 1时等号成立.答案:A10若数列an满足 ai = 0,an+1 = (n N ),则 azo等于()A.OB.- v3C.vBD. 1解析：由 a1二o,an+1 =蔡A(nCN*),得a2=- v

6、5,a3 = v3,a4= 0,由此可知数列an是周期数列，周期为3,所以a2o=a2=- v3. 答案：B11若在R上定义运算。:a©b=ab+2a+b,则满足xo（x-2）<0的实数x的取值范围为（A.(0,2)B.(-2,1)C.(-8,-2)U (1,+ 8)D.(-1,2)解析：由题意，得 x(x-2)+ 2x+(x-2)<0, 即 x2+x-2< 0,解得-2<x< 1.答案：B12已知集合A=tR4W0,对于满足集合 A的所有实数t,关于x的不等式x2+tx-t> 2x-1恒成立，则x的取值范围是()A.(-°°,

7、-1)U (3+oo)B.(-oo,1)U (3, + oo)C.(-OO,-1)D.(3, + 8)解析：由题意知A=t|-2WtW2,设f(t)=(x-1)t+x2_2x+1,由条件知f(t)在区间-2,2上恒为正值.?储?93 >> 0.0,解得x> 3或x<-1.答案：A二、填空题（本大题共4小题,每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）J 13某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(nC N解析：由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos 120 . °-c= v?/2a2=a2

8、+b2+ab,即 a2=b2+ab ,a2-b2=ab> 0. a2>b2,即 a>b.答案：a>bJ 16已知数列an满足a1=t,an+1-an+2=0(tC N*,n C N*).记数列 an的前n项和的最大值为f(t),则f(t) =.?2+2?二 ,?偶数，答案:<2(?) ,? ?奇数三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)J 17(12分)设等差数列an满足a3=5,a10=-9.(1)求an的通项公式；(2)求an的前n项和Sn及使得号最大的序号n的值.解(1)由 an=a 1+(n-1)d 及 a3= 5,

9、a10=-9,? + 2?= 5,? = 9,付?+ 9?= -9，斛信?= -2,所以数列an的通项公式为an=11-2n.?1)(2)由(1)知,Sn=na1 + -?= 10n-n2.因为 Sn=- (n-5)2+25,所以当n=5时,Sn取得最大值.)等于.解析：由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项,2为公比的等比数列，所以 Sn=笔")= 2(-1 + 2n)> 100.所以 2n>51,n>6.答案：6?+ ?W 4,J 14已知点P(x,y)的坐标满足条件?> ?点O为坐标原点，则|PO|的最小值等于 ，最?> 1,大值等于.答案: v

10、40J 15在 ABC中，角A,B,C所对的边长分别为 a,b,c.若C=120 ,c= v2?则a与b的大小关系是.J 18(12分)海面上相距10海里的A,B两船,B船在A船的北偏东45 0方向上两船同时接到指令同时驶向C岛,C岛在B船的南偏东75。方向上 行驶了 80分钟后两船同时到达C岛，经测算，A船行驶了 10 v7海里，求B船的速度.解如图所示，在 4ABC 中,AB= 10,AC=10v7,/ABC= 120°.9由余弦定理，得 AC2=BA2+BC2-2BA BC cos 120 , 即 700=100+BC2+10BC,得 BC=20.804 20设B船速度为v,仃

11、驶时间为60= 3(小时)，路程为BC= 20海里，则有v= ? = 15(海里/时)，即B船的速度为15海里/时.L 19(12分)在 ABC中，角A,B,C的对边分别为一 ，一 2? a,b,c,且满足 cos?cos?(1)求角A的大小；(2)若a=2v5,求 ABC面积的最大值.2? cos?,斛(1)因为 二石，所以(2c-b)cos A=acos B. ? cos?由正弦定理，得(2sin C-sin B)cos A= sin Acos B, 整理得 2sin Ccos A-sin Bcos A= sin Acos B.所以 2sin Ccos A=sin (A+B)=sin C.

12、在ABC中,0<C<兀所以sin C4.所以cos A= 1.又0<A<为故A= J. 23,一兀一 一工(2)由得 A= 3,又a=2v5,?夕+?夕_?31贝U cos A=2?.=2,整理得 b2+c2=bc+ 20.由基本不等式 相b2+c2>2bc,则bc+20A2bc,所以bcW20,当且仅当b=c时，等号成立， 故三角形的面积 S= 1?sA= 2?s&= J?y X20=5v.所以 ABC面积的最大值为 5 V3.20(12分)已知等差数列an满足a2=0,a6+a8=-10.(1)求数列 an的通项公式； (2)求数列而的前n项和.解(1

13、)设等差数列an的公差为d,由已知条件可得?;+?京?= -10故数列an的通项公式为 an=2-n.?一(2)设数列尸斤的刖n项和为Sn,?c?即 Sn=a 1 + + ? + 2?i,则 S=a 1= 1,.Tn>1 时,?= ?+与 +?=2 + +?7 ?21?2?12?2?111 、2-?=1 - (2+ 4+ 2? - -2?=1 - (1 - 2?2-?2? = 2?. G _?Sn= 2?1.当n=1时,&=1也符合该公式.综上可知，数列需的前n项和c ?Sn= 2W.21(12分)电视台为某个广告公司特约播放两套片集淇中片集甲播映时间为20分钟，广告时间为1分钟

14、,收视观众为60万;片集乙播映时间为10分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万.广告公司规定每周至少有 6分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间.电视台每周应播映两套片集各多少次，才能获得最高的收视率？解设片集甲播放x集，片集乙播放y集，?+ ?> 6,21?+ 11?< 86, ?>0,? N, ?>0,?要 N.要使收视率最高，则只要z=60x+20y最大即可.21?+ 11?= 86"由 Ga'得M(2,4).?+ ?= 6,由图可知，当x=2,y=4时,z=60x+20y取得最大值 200万.故电视台每周片集甲和片集乙各播映2集和4集,其收视率最高.22(14分)已知各项均不相等的等差数列an的前4项和S4=14，且ai,a3,a7成等比数列.(1)求数列 an的通项公式；(2)设Tn为数列七的前？?页和，若？?？后n+1对任意ne N*恒成立，求实数入的最小值.解(1)设等差数列an的公差为d,由已知得4? + 6?= 14,/口2解得d=