【创新方案】高考数学理一轮突破热点题型：第9章 第2节　导数的应用

1、高考数学精品复习资料 2019.5第二节导数的应用(一) 考点一利用导数研究函数的单调性 例1(20xx·重庆高考改编)设f(x) a(x5)26ln x，其中ar，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与y轴相交于点(0,6)(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间自主解答(1)因为f(x)a(x5)26ln x，故f(x)2a(x5).令x1，得f(1)16a，f(1)68a，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y16a(68a)(x1)，由点(0,6)在切线上可得616a8a6，故a.(2)由(1)知，f(x)(x5)26ln x(x>0)，f(x

2、)x5.令f(x)0，解得x12，x23.当0<x<2或x>3时，f(x)>0，故f(x)在(0,2)，(3，)上为增函数；当2<x<3时，f(x)<0，故f(x)在(2,3)上为减函数故函数f(x)的单调递增区间为(0,2)和(3，)，单调递减区间为(2,3)【互动探究】若函数f(x)2x在(1，)上是增函数，求k的取值范围解：由题意知f(x)20在(1，)上恒成立，即k2x2在(1，)上恒成立，所以k(2x2)max，又y2x2在(1，)上单调递减，所以(2x2)max2，所以k2，即k的取值范围是2，) 【方法规律】利用导数研究函数的单调性应注意

3、三点(1)在区间内f(x)>0(f(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件(2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)，且f(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零(3)由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f(x)0(或f(x) 0 )恒成立问题，要注意“”是否可以取到已知函数f(x)2x2ln x，其中a为常数(1)若a1，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间1,2上为单调函数，求a的取值范围解：(1)若a1，则f(x)3x2x2ln x的定义域为(

4、0，)，f(x)4x3(x>0)当x(0,1)，f(x)>0时，函数f(x)3x2x2ln x单调递增当x(1，)，f(x)<0时，函数f(x)3x2x2ln x单调递减故函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)(2)f(x)4x，若函数f(x)在区间1,2上为单调函数，即在1,2上，f(x)4x0或f(x)4x0，即4x0或4x0在1,2上恒成立即4x或4x.令h(x)4x，因为函数h(x)在1,2上单调递增，所以h(2)或h(1)，即或3，解得a<0或0<a或a1.高频考点考点二 利用导数研究函数的极值问题1函数的极值是每年高考的必考内容

5、，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题2高考对函数极值的考查主要有以下几个命题角度：(1)知图判断函数极值的情况；(2)已知函数求极值；(3)已知极值求参数例2(1)(20xx·重庆高考)设函数f(x)在r上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()a函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)b函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)c函数f (x)有极大值f(2)和极小值f(2)d函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)(2)(20xx·郑州模拟)若a>0，b>0，且函数f(x)

6、4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()a2 b3 c6 d9 (3)(20xx·福建高考)已知函数f(x)xaln x(ar)当a2时，求曲线yf(x)在点a(1，f(1)处的切线方程；求函数f(x)的极值自主解答(1)当x<2时，1x>0.(1x)f(x)>0，f(x)>0，即f(x)在(，2)上是增函数当2<x<1时，1x>0.(1x)f(x)<0，f(x)<0，即f(x)在(2,1)上是减函数当1<x<2时，1x<0.(1x)f(x)>0，f(x)<0，即f(x)在(1,2)

7、上是减函数当x>2时，1x<0.(1x)f(x)<0，f(x)>0，即f(x)在(2，)上是增函数综上：f(2)为极大值，f(2)为极小值(2)f(x)12x22ax2b，f(x)在x1处有极值，f(1)122a2b0，即ab6，又a>0，b>0，ab2，ab9，当且仅当ab3时等号成立，ab的最大值为9.(3)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.当a2时，f(x)x2ln x，f(x)1(x>0)，因而f(1)1，f(1)1，所以曲线yf(x)在点a(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.由f(x)1，x>0知：当a0时，

8、f(x)>0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a>0时，由f(x)0，解得xa.又当x(0，a)时，f(x)<0；当x(a，)时，f(x)>0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值答案(1)d(2)d函数极值问题的常见类型及解题策略(1)知图判断函数极值的情况先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号(2)已知函数求极值求f(x)求方程f(x)0的根列表检验f(x)在f(x)0的根的附近

9、两侧的符号下结论(3)已知极值求参数若函数f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则f(x0)0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反1(20xx·浙江高考)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则()a当k1时，f(x)在x1处取到极小值b当k1时，f(x)在x1 处取到极大值 c当k2时，f(x)在x1处取到极小值 d当k2时，f(x)在x1处取到极大值 解析：选c当k1时，f(x)(ex1)(x1)，0,1是函数f(x)的零点当0<x<1时，f(x)(ex1)(x1)<0，当x>1时，f(x)(ex1)(x1)>0,1

10、不会是极值点当k2时，f(x)(ex1)(x1)2，零点还是0,1，但是当0<x<1，x>1时，f(x)>0，由极值的概念，知选c.2已知函数f(x)ax1ln x(ar)(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f(x)在x1处取得极值，且对任意的x(0，)，f(x)bx2恒成立，求实数b的取值范围解：(1)f(x)a，x>0，当a0时，f(x)<0在(0，)上恒成立，函数f(x)在(0，)单调递减，f(x)在(0，)上没有极值点；当a>0时，令f(x)<0得0<x<，令f(x)>0得x>，f(x)在上

11、单调递减，在上单调递增，即f(x)在x处有极小值综上所述，当a0时f(x)在(0，)上没有极值点；当a>0时，f(x)在(0，)上有一个极值点(2)函数f(x)在x1处取得极值，由(1)可知a1，f(x)x1ln x.又f(x)bx2，x1ln xbx2，即1b.令g(x)1，g(x)，当0<x<e2时，g(x)<0，即g(x)在(0，e2)上为减函数；当x>e2时，g(x)>0，即g(x)在(e2，)上为增函数，g(x)在xe2处取得最小值，g(x)ming(e2)1，即b1.故实数b的取值范围为.考点三利用导数研究函数的最值问题 例3(20xx·

12、;广东高考)设函数f(x)(x1)·exkx2(kr)(1)当k1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k时，求函数f(x)在0，k上的最大值m.自主解答(1)当k1时，f(x)(x1)exx2，f(x)ex(x1)ex2xxex2xx(ex2)令f(x)0，得x10，x2ln 2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化如下表：x(，0)0(0，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)00f(x)极大值极小值由表可知，函数f(x)的递减区间为(0，ln 2)，递增区间为(，0)，(ln 2，)(2)f(x)ex(x1)ex2kxxex2kxx(ex2k)，令f(x)0，得x10，x2l

13、n(2k)，令g(k)ln(2k)k，则g(k)10，所以g(k)在上递增，所以g(k)ln 21ln 2ln e<0，从而ln(2k)<k，所以ln (2k)0，k，所以当x(0，ln(2k)时，f(x)<0；当x(ln (2k)，)时，f(x)>0；所以mmaxf(0)，f(k)max1，(k1)ekk3令h(k)(k1)ekk31，则h(k)k(ek3k)，令(k)ek3k，则(k)ek3e3<0，所以(k)在上递减，而·(1)(e3)<0，所以存在x0使得(x0)0，且当k时，(k)>0，当k(x0,1)时，(k)<0，所以(k

14、)在上单调递增，在(x0,1)上单调递减因为h() >0，h(1)0，所以h(k)0在上恒成立，当且仅当k1时等号成立综上，函数f(x)在0，k上的最大值m(k1)ekk3.【方法规律】求函数f(x)在a，b上最值的方法(1)若函数f(x)在a，b上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值(2)若函数f(x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数f(x)在区间(a，b)上的极值，与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点已知ar，函数f(x)2x33(a1)

15、x26ax.(1)若a1，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若|a|>1，求f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值解：(1)当a1时，f(x)6x212x6，所以f(2)6.又因为f(2)4，所以切线方程为y6x8.(2)记g(a)为f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值f(x)6x26(a1)x6a6(x1)(xa)令f(x)0，得x11，x2a.当a>1时，x0(0,1)1(1，a)a(a,2a)2af(x)00f(x)0极大值3a1极小值a2(3a)4a3比较f(0)0和f(a)a2(3a)的大小可得g(a)当a<1时，x0(0,1)1(1，2a)2af(x)0f(x)0极小值3a1 28a324a2得g(a)3a1.综上所述，f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值为g(a)课堂归纳通