东北师大附属中学高三一轮导学案：轨迹与轨迹方程【A】

1、高考数学精品复习资料 2019.5 轨迹与轨迹方程(教案)a一、 知识梳理：1. 求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一,求符合某种条件的动点轨迹方程,其实质就是利用题设中的已知条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系问题，解决这类问题不但对圆锥曲线的定义、性质等基础知识要熟练掌握，还要利用各种数学思想方法，同时具备一定的推理能力和运算能力。2. 求曲线的轨迹方程常采用的方法有：直接法、定义法、参数法、几何法、交轨法(1)、定义法:若动点的轨迹条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆,双曲线,圆等)可用定义直接求解.(2)、直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后

2、化简，得出动点的轨迹方程（也就是常说的五步法）(3)、相关点法（轨迹转移法）： 根据相关点所满足的方程,通过转换而求出动点轨迹的方程.(4)、参数法:若动点的坐标(x，y)中的x,y,分别随另一个变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数建立轨迹的参数方程.(5)、交轨法:求两动曲线交点的轨迹时,可由方程直接消去参数,例如:求两动直线交点的轨迹时常用此方法,也可以引入参数来建立这些动曲线之间的联系,然后消去参数得到轨迹方程.3.易错点提示:(1):要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”这两个不同的概念；（2）：检验是否有不符合条件或漏掉的点。二、题型探究探究1：定义法 例1：（1）、由动点p向圆x2

3、+y2=1引两条切线pa，pb，切点分别为a，b，apb=600，求动点p的轨迹方程。(2)已知abc三边ab,bc,ac的长度成等差数列,点b,c的坐标分别是(-1,0),c(1,0),求点a的轨迹方程.探究2：直接法：例2：已知abc中，bc=2，abac=m（m>0），求动点a的轨迹方程，并说明轨迹是图形。探究3：相关点法：例3：已知p是圆c：x2+y2=1上任意一点，由p向x轴作垂线段pm，m为垂足，求线段pm的中点n的轨迹。探究4：参数法例4：设椭圆的方程为4x2+y2=4，过点m（0，1）的直线l交椭圆于点a，b，o是坐标原点，点p满足op=12（oa+ob），当l绕点m旋转

4、时，求动点p的轨迹方程。探究5：交轨法：例5：双曲线x2-2y2=2的左、右顶点分别为a1，a2 ，点p（x1，y1），q（x1，-y1）是双曲线上不同的两个动点，求直线a1p与a2 q交点的轨迹e的方程。三、 方法提升：求轨迹方程时，一般先观察能否根据条件直接判断轨迹是什么图形，设出方程，利用待定系数法求方程，即定义法；否则通过条件列出动点坐标所满足的方程，若能直接列出就是直接法；否则寻求动点的坐标与其它动点的坐标的关系即相关点法，或寻求动点坐标与其它参数的关系，消去参数得到轨迹方程即参数法，交轨法关键是处理涉及到的轨迹方程，消参得到变通方程。四、反思感悟 五、课时作业一、选择题（每小题6分

5、，共42分）1.两定点a（-2，-1），b（2，-1），动点p在抛物线y=x2上移动，则pab重心g的轨迹方程是（ ）a.y=x2- b.y=3x2- c.y=2x2- d.y=x2-答案：b解析：设g（x,y），p（x0,y0）则x0=3x，y0=3y+2，代入y=x2得重心g的轨迹方程：3x+2=(3x)2.2.曲线c上任意一点到定点a（1，0）与到定直线x=4的距离之差等于5，则此曲线c是（ ）a.抛物线 b.由两段抛物线弧连接而成c.双曲线 d.由一段抛物线和一段双曲线弧连接而成答案：b解析：设p（x,y）为曲线c上任意一点，由题意，得-|x-4|=5，故y2=故曲线c是由两段抛物线弧

6、连接而成.3.下列命题中，一定正确的是（ ）a.到两定点距离之比为定常数的点的轨迹是椭圆b.到定点f（-c，0）和到定直线x=-的距离之比为（ac0）的点的轨迹是椭圆的左半部分c.到定直线x=-和到定点f（-c，0）的距离之比为（ac0）的点的轨迹是椭圆d.平面上到两定点的距离之比等于常数（不等于1）的点的轨迹是圆答案：d解析：对照椭圆定义可知a、b、c都不对，故知选d.4.一动圆与圆x2+y2=1外切，而与圆x2+y2-6x+8=0内切，那么动圆的圆心的轨迹是（ ）a.双曲线的一支 b.椭圆c.抛物线 d.圆答案：a解析：设动圆圆心为p（x，y），半径为r，又圆（x-3）2+y2=1的圆心为

7、f（3,0）.故|po|=r+1，|pf|=r-1，故|po|-|pf|=2.由双曲线定义知p点轨迹是双曲线的右支.5.已知点p是直线2x-y+3=0上的一个动点，定点m（-1，2），q是线段pm延长线上的一点，且|pm|=|mq|，则q点的轨迹方程是( )a.2x+y+1=0 b.2x-y-5=0c.2x-y-1=0 d.2x-y+5=0答案：d解析：设q（x，y），则p点（-x-2，-y+4），又点p在直线2x-y+3=0上，故2（-x-2）-（-y+4）+3=0，即：2x-y+5=0.6.设a1、a2是椭圆=1的长轴两个端点，p1、p2是垂直于a1a2的弦的端点，则直线a1p1与a2p2

8、交点p的轨迹方程为( )a.=1 b.=1c.=1 d.=1答案：c解析：设p1、p2两点的横坐标为x=3cos，又a1(-3,0),a2(3,0),p1(3cos,2sin),p2(3cos,-2sin),故直线a1p1和a2p2方程分别为y=(x+3),y=(x-3).设交点p（x，y），则y2=(x2-9)，即=1.7.点m（x，y）与定点f（1，0）的距离和它到直线x=8的距离的比为，则动点m的轨迹方程为( )a.=1 b.=1c.=1 d.3x2+4y2+8x-60=0答案：d解析：设m为（x，y），则|x-8|=12.整理有：3x2+4y2+8x-60=0.二、填空题（每小题5分，

9、共15分）8.(20xx北京西城区一模，12)点p（0，2）到圆c：（x+1）2+y2=1的圆心的距离为_，如果a是圆c上一个动点，=3,那么点b的轨迹方程为_.答案： (x-2)2+(y-6)2=4解析：由圆的方程圆心(c-1,0),则p到圆心的距离d=.设a、b点的坐标分别为（x0,y0）、（x,y）.=（x-x0,y-y0）,=(-x0,2-y0).=3,即（x-x0,y-y0）=(-3x0,6-3y0).a在圆上，（-+1）2+()2=1.即(x-2)2+(y-6)2=4.即为b点的轨迹方程.9.已知定直线l上有三点a、b、c，ab=2，bc=5，ac=7，动圆o恒与l相切于点b，则过

10、点a、c且都与o相切的直线l1、l2的交点p的轨迹是_.答案：去掉两个顶点的双曲线解析：由题设条件可得|pa|-|pc|=3，根据双曲线定义知点p的轨迹为去掉两个顶点的双曲线.10.f1、f2为椭圆的两个焦点，q是椭圆上任意一点，从某一焦点引f1qf2的外角平分线的垂线，垂足为p，则点p的轨迹是_.答案：圆解析：如右图，延长f1p交f2q于f1，则|op|=|f1f2|=|f1q|+|f2q|)=(|f1q|+|f2q|)=×2a=a.p点轨迹为圆.三、简答题（1113题每小题10分，14题13分，共43分）11.设抛物线y2=2px的准线l，焦点为f，顶点为o，p为抛物线上任意一点

11、，pql，q为垂足，求qf与op的交点m的轨迹方程.解析：设抛物线上点p（2pt2，2pt）（t0），直线op的方程为：y=x.又q（-，2pt），f（，0），直线qf的方程y=-2t(x-).它们的交点m（x，y），由方程组由×得：y2=-2x(x-)，交点m的轨迹方程y2=-2x(x-).12.(20xx湖北重点中学模拟，21)平面直角坐标系中，o为原点，给定两点a（1，0）、b（0，-2），点c满足oc=+，其中、r，且-2=1，（1）求点c的轨迹方程；（2）设点c的轨迹与双曲线=1（a0,b0）交于两点m、n，且以mn为直径的圆过原点，求证：为定值.（1）解析：设c（x，y）

12、，因为=+，则（x，y）=（1，0）+（0，-2）-2=1,x+y=1.即点c的轨迹方程为x+y=1.（2）证明：由得：（b2-a2）x2+2a2x2-a2-a2b2=0.由题意,得b2-a20，设m（x1，y1），n（x2，y2）,则：x1+x2=,x1x2=-.因为以mn为直径的圆过原点，=0，即x1x2+y1y2=0,x1x2+(1-x2)(1-x2)=1-(x1+x2)+2x1x2=1+=0,即b2-a2-2a2b2=0,=2为定值.13.(20xx湖北十一校大联考，22)已知a、b、d三点不在一条直线上，且a（-2，0），b（2，0），|=2，=（+）,（1）求点e的轨迹方程；（2）

13、过点a作直线l交以a、b为焦点的椭圆于m、n两点.线段mn的中点到y轴距离为且直线mn与点e的轨迹相切，求椭圆的方程.解析：（1）设e（x，y），=（+）=2-.=2（x+2，y）-（4,0）=(2x,2y).又|=2,x2+y2=1(y0).（2）设椭圆方程为：=1，直线 l：y=k(x+2),由于直线l与圆e相切，=1.k=±.直线l：y=± (x+2).将y=±(x+2)代入b2x2+a2y2-a2b2=0,则有（3b2+a2）x2+4a2x+4a2-3a2b2=0.xm+xn=.x中=,|x中|=,5a2=6b2+2a2.a2=2b2.又c2=4,b2=4

14、,a2=8,椭圆方程为=1.14.(20xx广东珠海一模，18)已知两定点a（-t,0）和b（t，0），t0.s为一动点，sa与sb两直线的斜率乘积为.（1）求动点s的轨迹c的方程，并指出它属于哪一种常见曲线类型；（2）当t取何值时，曲线c上存在两点p、q关于直线x-y-1=0对称？解析：（1）设s（x，y），sa的斜率k1=(x-t)，sb斜率k2=(xt),由题意，得(x±t),经整理，得-y2=1(x±t).点s的轨迹c为双曲线（除去两顶点）.（2）假设c上存在这样的两点p（x1，y1)和q（x2，y2）,则pq直线斜率为-1，且p、q的中点在直线x-y-1=0上.设pq直线方程为：y=-x+b，由整理得（1-t2