1.3.1空间几何体的表面积与体积（课堂PPT）

1、.1.2一、柱体、锥体、台体的表面积一、柱体、锥体、台体的表面积.3 (1)(1)矩形面积公式：矩形面积公式： _ _。 (2)(2)三角形面积公式：三角形面积公式：_。 正三角形面积公式：正三角形面积公式：_。 (3)(3)圆面积面积公式：圆面积面积公式：_。 (4)(4)圆周长公式：圆周长公式： _ _。 (5)(5)扇形面积公式：扇形面积公式： _ _。 (6)(6)梯形面积公式：梯形面积公式： _ _abS ahS21243aS 2rS2CrhbaS)(21复习回顾复习回顾12slr.4柱体柱体锥体锥体台体台体球球多面体多面体旋转体旋转体.5 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你

2、知道在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的表面积怎样得到的正方体和长方体的表面积怎样得到的几何体表面积几何体表面积展开图展开图平面图形面积平面图形面积空间问题空间问题平面问题平面问题.6把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？chhcbaS )（直直棱棱拄拄侧侧habcabchh底侧表面积SSS2.7正棱锥的侧面展开图是什么？正棱锥的侧面展开图是什么？侧面展开正棱锥的正棱锥的侧面积侧面积如何计如何计算？算？表面积表面积如何计算？如何计算？21chS正棱锥侧正棱锥侧.8 正棱台的正棱台的侧面展开图侧面展开图是什么？是什么？侧面展开侧面展开hh正棱台的正棱

3、台的侧面积侧面积如何计算？如何计算？ 表面积表面积如何计算？如何计算？) 21hccS （正正棱棱台台侧侧.9h一般地一般地, ,多面体的表面积就是各个面的面积之和多面体的表面积就是各个面的面积之和表面积表面积= =侧面积侧面积+ +底面积底面积.10小结：1、弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键； 2、对应的面积公式)cc21hS（正正棱棱台台C=021chS三三棱棱锥锥C=CchchS 直直棱棱柱柱.11 例例1 已知棱长为已知棱长为a，各面均为等边三角形，各面均为等边三角形的四面体的四面体S-ABC，求它的表面积，求它的表面积 BCAS.12 例例1 已知棱长为已知棱长为a，各面均为

4、等边三角形的四面，各面均为等边三角形的四面体体S-ABC，求它的表面积，求它的表面积 DBCASaaaBDSBSD2322222所以：所以： 243232121aaaSDBCSSBC因此，四面体因此，四面体S-ABC 的表面积的表面积交交BC于点于点D解：先求解：先求 的面积，过点的面积，过点S作作SBCBCSD 223434aaS因为因为aBC .13思考.14)(2222lrrrlrS圆柱表面积rlr2.15)(2lrrrlrS圆锥表面积r2lOr.16)(22rll rrrSr2lOrO r2 rlrrrrS222122.17lOrO rlOrlOOr)(2lrrS柱)(lrrS?)(2

5、2rllrrrS?rr上底扩大上底扩大r0上底缩小上底缩小圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？.18 例例2 2 如图，一个圆台形花盆盆口直径如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm20 cm，盆，盆底直径为底直径为15cm15cm，底部渗水圆孔直径为，底部渗水圆孔直径为1.5 cm1.5 cm，盆壁长，盆壁长15cm15cm那么花盆的表面积约是多少平方厘米（那么花盆的表面积约是多少平方厘米（ 取取3.143.14，结果精确到，结果精确到1 1 ）？）？2cmcm15cm20cm15 解：由圆台的表面积公式得解：由圆台的表面积公式得 花

6、盆的表面积：花盆的表面积：2225 . 11522015215215S)(9992cm答：花盆的表面积约是答：花盆的表面积约是999 999 2cm)(22rllrrrS圆台表面积.19各面面积之和各面面积之和rr0 r展开图展开图22()Srrr lrl 圆台圆台圆柱圆柱)(2lrrS)(lrrS圆锥圆锥空间问题转化成平面问题空间问题转化成平面问题棱柱、棱锥、棱柱、棱锥、棱台棱台圆柱、圆锥、圆柱、圆锥、圆台圆台所用的数学思想：所用的数学思想：柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的表面积.20二、柱体、锥体、台体的体积二、柱体、锥体、台体的体积.21长方体体积：长方体体积：正方体体积：正方

7、体体积：圆柱的体积：圆柱的体积：Vabh3Va2Vr hVShabhaaah底面积底面积高高aa 2.22 以前学过特殊的棱柱以前学过特殊的棱柱正方体、长方体以及圆柱正方体、长方体以及圆柱的体积公式的体积公式, ,它们的体积公式可以统一为：它们的体积公式可以统一为：柱体（棱柱、圆柱）柱体（棱柱、圆柱）的体积公式：的体积公式：ShV （其中（其中S为底面面积，为底面面积，h为柱体的高）为柱体的高）VSh.233.3.1 1锥体（棱锥、圆锥）的体积锥体（棱锥、圆锥）的体积 （底面积（底面积S，高高h） 注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体的每一个面都可以作为底面，可以用来求点到面的距离

8、shV31三棱锥.24椎体（圆锥、棱锥）的体积公式：椎体（圆锥、棱锥）的体积公式：ShV31（其中（其中S为底面面积，为底面面积，h为高）为高）h.25 由此可知，由此可知， 棱柱与圆柱棱柱与圆柱的体积公式类似，都是的体积公式类似，都是底面面积乘高；底面面积乘高； 棱锥与圆锥棱锥与圆锥的体积公式类似，都是的体积公式类似，都是底面面积乘高的底面面积乘高的 13.26ss/ss/hx四四.台体的体积台体的体积V V台体台体= =1 1h(s+ss +s)h(s+ss +s)3 3上下底面积分别是上下底面积分别是s/,s,高是高是h，则，则.27VVV大 锥小 锥1133113313S hShSSS

9、SShSSS hh SSSSS hxSS11 =33S xhS x 11 =33ShSSx2xSxhSxSxhSS hxSSSShx.28台体（棱台、圆台）的体积公式台体（棱台、圆台）的体积公式hSSSSV)(31 , S Sh其中 ，分别为上、下底面面积，为圆台（棱台）的高.29柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？hSSSSV)(31S为底面面积，为底面面积，h为柱体高为柱体高ShV SS 分别为上、下分别为上、下底面面积，底面面积，h 为台体为台体高高ShV310SS为底面面积，为底面面积，h为锥体高为锥体高上底扩大上底扩大上底缩小上底缩小,

10、SS.3021.,a m已知圆锥的表面积且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径。.31例例2 2 如图，一个圆台形花盆盆口直径如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm20 cm，盆底直径为盆底直径为15cm15cm，底部渗水圆孔直径为，底部渗水圆孔直径为1.5 1.5 cmcm，盆壁长，盆壁长15cm15cm那么花盆的表面积约是多那么花盆的表面积约是多少平方厘米？少平方厘米？cm15cm20cm15.32 例例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 ）六角螺帽共重）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边，已知底面是正六边形，边长为形，边长为12mm，内孔

11、直径为，内孔直径为10mm，高为，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（问这堆螺帽大约有多少个（ 取取3.14）？）？3/8 . 7cmg 解：六角螺帽的体积是六棱柱解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即的体积与圆柱体积之差，即: :10)210(14. 3106124322V)(29563mm)(956. 23cm所以螺帽的个数为所以螺帽的个数为252)956. 28 . 7(10008 . 5（个）（个）答：这堆螺帽大约有答：这堆螺帽大约有252252个个.33RROORR球的体积球的体积：一个半径和高都等于一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下

12、底面圆心为顶点的圆锥以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为后，所得的几何体的体积与一个半径为R的的半球的体积相等。半球的体积相等。探究.34球球1 1V =V =2 23 32 2= = R R3 33 3球球4 4V =V = R R3 3RROORR22221 1 RR-RR- RRRR3 3.35半径为半径为R R的球的体积的球的体积 343VR.36第一步：分割第一步：分割O O球面被分割成球面被分割成n n个网格，个网格， 表面积分别为：表面积分别为：nSSSS.321，则球的表面积：则球的表面积：nSSSSS.321则球的体积为：则球的体积为：设设

13、“小锥体小锥体”的体积为：的体积为：iViVnVVVVV.321iSO O知识点三、球的表面积和体积知识点三、球的表面积和体积（.37O O第二步：求近似和第二步：求近似和O Oih由第一步得：由第一步得：nVVVVV.321nnhShShShSV31313131332211.iiihSV31iSiV.38第三步：转化为球的表面积第三步：转化为球的表面积RSVii31 如果网格分的越细如果网格分的越细, ,则则: :RSRSRSRSVni3131313132.RSSSSSRni313132).( 由由 得得: :334RV 球的体积球的体积: :2 24 4R RS S iSiVih的值就趋向

14、于球的半径的值就趋向于球的半径R RRihiSO OiV“小锥体小锥体”就越接近小棱锥。就越接近小棱锥。.39半径为半径为R R的球的的球的表面积表面积公式公式24SR.40设球的半径为R，则球的体积公式为V球 .43R3例例1(2009年高考上海卷年高考上海卷)若球若球O1、O2表表面积之比面积之比4，则它们的半径之比，则它们的半径之比_.41(1)(1)若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2 2倍倍, ,则半径变为原来的则半径变为原来的倍。倍。(2)(2)若球半径变为原来的若球半径变为原来的2 2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的倍。倍。(3)(3)若两球表面积之比为若两

15、球表面积之比为1:21:2，则其体积之比是，则其体积之比是。(4)(4)若两球体积之比是若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是。例例2 2：2422:134: 1.42例例3.3.如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a,a,它的各个它的各个顶点都在球顶点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积。的表面积。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方体内接于球，则由球

16、和正方体都是中心对称图形可分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。略解：2222211113423,)2()2(22:aRSaRaaRaDBRDBDDBRt得得：，中中变题变题1.1.如果球如果球O O和这个正方体的六个面都相切，则有和这个正方体的六个面都相切，则有S=S=。变题变题2.2.如果球如果球O O和这个正方体的各条棱都相切，则有和这个正方体的各条棱都相切，则有S=S=。2a2 2 a 关键关键：找正方体的棱长找正方体的棱长a a与球半径与球半径R R之间的关系之间的关系.4

17、3OABCO 例例4已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距离的距离等于球半径的一半，且等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体，求球的体积，表面积积，表面积解：如图，设球解：如图，设球O半径为半径为R，截面截面 O的半径为的半径为r，r332AB2332AO 是正三角形，是正三角形，ABCROO ,2 .44题型一题型一 旋转体的表面积及其体积旋转体的表面积及其体积 如图所示如图所示, ,半径为半径为R R的半圆内的的半圆内的 阴影部分以直径阴影部分以直径ABAB所在直线为轴所在直线为轴, ,旋旋 转一周得到一几何体转一周得到一几何体, ,求该几何

18、体的求该几何体的 表面积表面积( (其中其中BACBAC=30=30) )及其体积及其体积. . 先分析阴影部分旋转后形成几何体的先分析阴影部分旋转后形成几何体的 形状形状, ,再求表面积再求表面积. .45解解 如图所示如图所示, ,过过C C作作COCO1 1ABAB于于O O1 1, ,在半圆中可得在半圆中可得BCABCA=90=90, ,BACBAC=30=30, ,ABAB=2=2R R, ,ACAC= = , ,BCBC= =R R, ,S S球球=4=4R R2 2, ,R3,231RCO ,231123234,2323,233232222112121RRRRSSSSRRRSRR

19、RSBOAOBOAO侧圆锥侧圆锥球几何体表侧圆锥侧圆锥.23112R表面积为旋转所得到的几何体的.46 解决这类题的关键是弄清楚旋转后所解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割，形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割，然后利用有关公式进行计算然后利用有关公式进行计算. . .652134)(41314131,34333111221111221113RRRVVVVBORCOBOVAORCOAOVRVBOAOBOAO圆锥圆锥球几何体圆锥圆锥球又.47知能迁移知能迁移2 2 已知球的半径为已知球的半径为R R，在球内作一个内，在球内作一个内 接圆柱，这个圆柱底面半径

20、与高为何值时，它接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它 的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？ 解解 如图为轴截面如图为轴截面. . 设圆柱的高为设圆柱的高为h h，底面半径为，底面半径为r r， 侧面积为侧面积为S S，则，则,)2(222Rrh.2414,2,22,21.41)21(4)(442.2242242222222222RRRhRrRrRRrrRrrRrrhSrRh最大值是最大圆柱侧面积时即当且仅当即.48知能迁移知能迁移2 2 已知球的半径为已知球的半径为R R，在球内作一个内，在球内作一个内 接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它接圆柱，这

21、个圆柱底面半径与高为何值时，它 的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？ 解解 如图为轴截面如图为轴截面. . 设圆柱的高为设圆柱的高为h h，底面半径为，底面半径为r r， 侧面积为侧面积为S S，则，则,)2(222Rrh.2414,2,22,21.41)21(4)(442.2242242222222222RRRhRrRrRRrrRrrRrrhSrRh最大值是最大圆柱侧面积时即当且仅当即.49题型二题型二 多面体的表面积及其体积多面体的表面积及其体积 一个正三棱锥的底面边长为一个正三棱锥的底面边长为6 6，侧棱长，侧棱长 为为 ，求这个三棱锥的体积，求这个三

22、棱锥的体积. . 本题为求棱锥的体积问题本题为求棱锥的体积问题. .已知底面已知底面 边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面面积边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面面积 和高，再根据体积公式求出其体积和高，再根据体积公式求出其体积. . 解解 如图所示，如图所示， 正三棱锥正三棱锥S SABCABC. . 设设H H为正为正ABCABC的中心，的中心， 连接连接SHSH， 则则SHSH的长即为该正三棱锥的高的长即为该正三棱锥的高. .15.50连接连接AHAH并延长交并延长交BCBC于于E E，则则E E为为BCBC的中点，且的中点，且AHAHBCBC. .ABCABC是边长为是边长为6 6的正三角

23、形，的正三角形，, 33623AE. 93393131312153215,Rt. 393362121,. 323222SHSV，AHSASH，AHSASHAAEBCSABCAEAHABCABC正三棱锥中在中在.51 求锥体的体积，要选择适当的底面和求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式高，然后应用公式 进行计算即可进行计算即可. .常用方常用方法：割补法和等积变换法法：割补法和等积变换法. .（1 1）割补法：求一个几何体的体积可以将这个几）割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱何体分割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱体的体积，从而得出几何体的体积体的体积，从而得出几何体的体积. .（2 2）等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为）等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面三棱锥的底面. .求体积时，可选择容易计算的方求体积时，可选择容易计算的方式来计算；利用式来计算；利用“等积性等积性”可求可求“点到面的点到面的距离距离”. .ShV31.52题型题型三三 组合体的表面积及其体积组合体的表面积及其体积 (12 (12分分) )如图所示如图所示, ,在等腰梯形在等腰梯形ABCDABCD中中, , ABAB=2=2DCDC=2=2，DABDAB=60=60，E