天津市和平区2021届高考数学一模试题(含解析)

1、重点中学试卷可修改欢迎下载3天津市和平区2021届高考数学一模试题(含解析)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集/=x|3vxv3/eZ, A = 1,2, B = 2,0,2,则AU(C,B)=()A- 10,1,2【答案】BB. -1,1,2C. 2D.【解析】【分析】先利用补集运算求出C/B ,即可根据并集运算求岀【详解】因为/=x|3<xv3,"Z = 2,1,0丄2,所以C/B = 1,1,故 AU(C,B)=1 丄 2故选：B.【点睛】本题主要考查集合的补集和并集运算，以及常用数集的识别，属于基础题.Z、2“a = + k兀伙

2、wZ)” 是 “tan a-3I 6丿A.充分不必要条件C.充分必要条件【答案】C【解析】【分析】£”的(B.必要不充分条件D 既不充分也不必要条件根据特殊角的正切函数值，可知tanL-= a- = - + k7ckZ)，根据充分3 66必要条件的判断，即可求出结果.tan=空 oa 彳= £ + &%,(« wZ)oa =彳 + &龙,(& eZ)a = +k7T (k e Z)w 是 “tan a故选：c.【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值和充分必要条件的判断，属于基础题.3. 已知x表示不超过实数x的最大整数，gM = x为取整函

3、数，忑是函数f(x) = nx + x-4 的零点，则 g(xj=()【答案】C【解析】【分析】根据零点存在左理，可判断出零点所在的相邻整数区间，即可由左义求得g(x°)的值.【详解】函数/(x) = lnx + x-4(0,+s)递增，且/(2) = ln2-2<0, /(3) = ln3-l>0,所以函数f(x)存在唯一的零点兀£(2,3),故 g(xo) = 2,故选：C.【点睛】本题考査了零点存在立理的简单应用，由泄义求函数值，属于基础题.2 24. 已知双曲线c：4-4 = i >。上>0)的两条渐近线与抛物线r：/= 2px(p>0

4、)的准线分别交于4 3两点.若双曲线C的离心率为2, “130的而积为、庁，。为坐标原A.(血0)点，则抛物线厂的焦点坐标为()【答案】B【解析】【分析】重点中学试卷可修改欢迎下载求出双曲线双曲线2-亠=1 (a>0, b>Q)的渐近线方程与抛物线f=2px (p>0)的准 cr tr线方程.进而求出丛万两点的坐标，再由双曲线的离心率为2,的而积为列岀方程，由此方程求岀P的值.2 2【详解】双曲线二一匚=1 (a>0. Q0),cr b-双曲线的渐近线方程是y=±-xa又抛物线f=2px (p>0)的准线方程是x=-g,故丛万两点的纵坐标分别是y=

5、77;纶,2a又由双曲线的离心率为2,所以-=2,则？ = >/5aaA, 万两点的纵坐标分别是尸土斗上，即AB = p, 又血的面积为且AB丄x轴,A x>/3/?x = 3 > 得 p=2.2 2抛物线的焦点坐标为：(1, 0)故选B.【点睛】本题考査圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出月， 刃两点的坐标，列出三角形的而积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一立的运算量, 做题时要严谨.5. 某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：40, 50), 50, 60), 60, 70), 70, 80), 80, 9

6、0), 90,100L 从样本成绩不低于 80 分的学生 中随机选取2人，记这2人成绩在90分以上(含90分)的人数为J则g的数学期望为频率0.010.0060.054办.T _十计十._|40 50 60 70 80 90 100成绩 / 分【答案】B【解析】由频率分布直方图知，3X0. 006X10+0. 01X10+0. 054X10+ 10x=b 解得 x=0. 018, A成绩不低于80分的学生有(0. 018+0. 006)X10X50 = 12人，成绩在90分以上(含90分)的C? 6学生有 0.006X10X50=3 人.g 的可能取值为 0,1,2, P( =0) =, P(

7、B =1)P(=2) = £l = ±C 22 g的分布列为012P6TT922122.E(4)=0xA+1x|+2X± = 1.选 B.6已知函数/(x) = sin2x-2sin2x+l.给出下列四个结论，英中正确的结论是(A. 函数/(x)的最小正周期是2龙B. 函数/'(X)在区间兰，罕上是减函数8 8C. 函数八x)的图象关于x =对称16D. 函数/(x)的图象可由函数y = V2 sin 2x的图象向左平移卫个单位得到4【答案】B【解析】【分析】重点中学试卷可修改欢迎下载先将f (x) = Sin2x一2sin2x +1化简为/ (x) =

8、JIsin 2x +彳j,再逐个选项判断即可.【详解】f(x)=sin2x-2sin? x + = sin 2x + cos2x = >/2 sin 2x +扌 |川选项，因为0 = 2,则.f(x)的最小正周期T = jt,结论错误;万选项当"学冷时，2x +o 87T4上是减函数,71 3tt23结论正确;/ 116丿Q选项，因为/孑$土迈,则/(x)的图象不关于直线x =对称，结论错误:1 o16D选项设 (x) = >/2sin2x > 则in 2x + y j = >/2cos2a- f (x),结论错误.故选:B【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及

9、三角函数的性质，属于中档题.7函数/(x)是左义在R上的奇函数，对任意两个正数心七,(坷吃)，都有，记« = 25/(0.22) t b = /(1)> c =-logs 3/ log】5 ,则abc 大小关系为( a>c>bA. c>b> aB. b>c>aC a >b>cD.【答案】C【解析】【分析】构造函数 g(x)=，则函数 g(x)单调递减，且 ei=g(0.22 ),b=g(l),c=g (log3 5), X通过自变量的大小和函数的单调性比较函数值的大小即可.【详解】构造函数(X)= 则函数g(X)单调递减，X心 2

10、5/(0.22)=架kg©，), w（i）=孕=g（i）,c = -logs3f log5 =- = g（log35）t31吧5/0.22 < 1 <log35 , :.a>b>c.故选c.【点睛】本题主要考查函数的单调性及英应用，实数比较大小的方法等知识，意在考査学生 的转化能力和讣算求解能力.8.国际髙峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问, 要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同 的提问方式的种数为（）扎 378B. 306C. 268D. 198【答案】D【解析】【分析】分“选

11、两个国内媒体一个国外媒体”和“选两个外国媒体一个国内媒体”两种情况讨论，分 别求岀种数再相加即可.【详解】解：分两种情况讨论. 若选两个国内媒体一个国外媒体，有C：C； = 90种不同提问方式； 若选两个外国媒体一个国内媒体，有C'CX = 108种不同提问方式.所以共有90 + 108 = 198种提问方式.故选:D【点睛】本题考查组合数公式的运用，排列与组合问题要区分开题目要求元素的顺序，则是排 列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约朿条件，解题时要先考虑有限制条件的元素, 体现了分类讨论的数学思想，属于中档题.9已知圆。的半径为2, RQ是圆0上任意两点，且NPOQ = 60

12、 , AB是圆。的一条直径，若点C满足bC = （A-）OP+AOQ （人wR）,则色至的最小值为（） 础题.A. -1B. -2C. -3D. -4【答案】C【解析】【详解】因为乙5耳=（而+丙）（死+西）=而'+乙刁（丙+西）+丙西，由于圆0的半径为2, 是圆。的一条直径,所以 OA + OB = 6 OAOB = 2x2x(-!) =-4,又 POQ = 60° f所以 CACB = CO2-4 = (2-l)dP + T-4G4 C§ = (/1-1)2 OP +2(A-)A?OP OQ + A2 OQ2 -4CA-CB =4(32 3/1 + 1)4 =

13、4(3几 32)= 4所以,当心时，十T3 3-! =一故匕的最小值为4x4 4min=_3，故选C.二 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上.2020 4- iIO已知d为实数，i为虚数单位，若复数z = （/ 1） + （g + M为纯虚数，贝011= 1 + /【答案】V2【解析】【分析】利用纯虚数的左义、复数的运算法及复数模的公式即可得到答案.【详解】解：Z = （/l） + （d + l”为纯虚数，。2-1 =0且Q + 1H0,解得“竺二空=壬所以I空二曰迈1 + /1 + Z (1 +0(1-01+/故答案为：2.【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚

14、数的左义，考查了推理能力与计算能力，属于基11. 若(X +希r的展开式中Z1的系数为-448,则实数【答案】-2【解析】【分析】写出展开式通项公式，令尤的指数为4,求得疋的项数，得其系数，由系数为一448可得 p (14【详解】由题意展开式通项公式为T=Cr(-=)r =arCx 3，令8-r = 4, r = 3> yjX3系数为dC；=-448,解得c = 2.故答案为：-2.【点睹】本题考査二项式左理，解题关键是掌握二项展开式通项公式.12. 已知一个体积为8的正方体内接于半球体，即正方体的上底而的四个顶点在球而上，下底面的四个顶点在半球体的底而圆内.则该半球体的体积为【答承】4

15、來 7T【解析】【分析】过正方体对角而作半球的截而，得半个大圆，在此平而图形中求得半球的半径后可得体积,【详解】过正方体对角面作半球的截而，得半个大圆0,矩形AAXCC是正方体对角而，0是AG中点，设正方体棱长为则/=8，。= 2,由图知球半径为OC = Q+(运)2=拆，半球体积为V=1.OC3 =-x(>/6)3 =4辰.33故答案为：4辰.川 0 C1【点睹】本题考查求半球的体积，解题关键是过正方体对角而作半球的截面，得出正方体与半球的关系.13. 函数f(x) = xnx+a的图象在x = 1处的切线被圆C: x2 + /-2x + 4y-4 = 0截得弦长为2,则实数的值为【答

16、案】一6或2.【解析】【分析】由题可知切线的斜率=/'=1,又= 所以切点坐标为(1卫)，函数/(x)的图 象在x = l处的切线方程为y = x + a-圆心到切线的距离,则l2 + «r迈7+12 = 32»求岀实数a的值.【详解】因为f(x) = xnx+a.所以f(x) = + nx 代入切点横坐标x = l,可知切线的斜率k=f) = .又/(!) = «.所以切点坐标为(14),所以函数fx) = xnx+a图象 在x = 1处的切线方程为y = x + a-.又因为圆C:F + y22x + 4y 4 = 0,圆心坐标为(L-2),半径为3,

17、所以圆心到切线的距离=12 + t/l因为切线被圆C:F + y22x + 4y 4 = 0截得眩长为2,+12 = 32 >解得实数a的值是一6或2故答案为：-6或2.【点睹】本题考査直线与圆的位置关系，及导数的几何意义，属于中档题.2 X + 3 ¥14若x>0, J >0,且log? 3“ + log?9、=log481,则此时x + 2y =_, - + 的最小值为一【答案】（1）. 2（2）. 2 + 出3【解析】【分析】(1) 由对数运算和换底公式，求得兀、的关系为x + 2y = 2即可.2 x + 32 v x根据x + 2y = 2化简二+ - =

18、 2 + + ，再利用基本不等式求最小值即可. x 3yx 3y【详解】(1)因为x>0, y>Of log23r + Iog29v=log481,所以 log2（3 x 32v） = log22 34 n log2 3心=log2 3?,所以 x + 2y = 2.因为“2y = 2,故？ +兽=注+兽=2 +空+&2 +x 3y x 3yx 3y2 v x当且仅当=页,龙+ 2尸2,即6-26时取等号y = >/6-2所以最小值为2+半 故答案为：2： 2 + 3【点睛】本题考查了对数的运算和对数换底公式的综合应用，根据“1”的代换联系基本不等 式求最值，综合性强

19、,属于中档题.15 已知函数f(x) = < J 1,则3呱心若方程f(x) = x + a在区间2 f (x-2),xe (0, +cc)-2, 4有三个不等实根，则实数丄的取值范围为_a【答案】 (1). 81(2). 1彳一00, 勻【解析】【分析】(1>利用函数的递推关系式，代入/(x) = l-|x + l|即可求解.(2)画岀函数的图象，利用函数的零点的个数推出实数丄的取值范囤a详解】(1)由fM = <1 -卜 + 1冷 * -2,02 f (x-2),x e (0,+co)'则/(3) = 2/(3-2) = 2/(l) = 2x2/(l-2) = 4

20、/(-l) = 4x(l-0) = 4, 3l256 =34 =81答案：81(2>作出函数/(x)在区间-2,4±的图象，如图所示，设y = x+",由图象可知要使方程f(x) = x + a在区间2,4有3个不等实根, 则直线y = x + o应位于厶与12之间或直线/3的位置,所以实数a的取值范囤为-2<a<0或“ =1 所以，丄V丄或丄=1a 2 ai 故答案为：l 6、一 7【点睛】本题考查了分段函数求值、根据零点个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

21、16. 在MBC中，内角A、B、C的对边分别为b, c,V? cos C(6Z cosB + bcos A) + c = 0 (1) 求角C的大小；(2)若q =近,b = 2求:(i )边长c；(ii) sin(2B-C)的值.【答案】(1) C =；4(2) ( i ) c = *x/To :(ii)sin(2B-C) =7 >/210【解析】【分析】(1) 利用正弦左理化简已知条件，求得cosC的值，由此求得角C的大小.(2) ( i )已知两边和夹角，用余弦泄理求得边c；(ii)由两角差的正弦公式求得sin(2B-C)的值.【详解】解：(1)由已知及正弦定理得V2 cos C(s

22、in A cos B + sin B cos A) + sin C = 0二 5/2cosCsinC + sinC = 0，二 cosC = -丄2 0 v C <龙，C =4(2) ( i )因为"=/2, b = 2 9 C =, 由余弦定理得圧=/+方2 一2acosC = 2 + 4 2xV?x2x(-*) = 10, /. c = V10(ii )由一-=-=> sin B因为3为锐角，所以cosB =sin2B = 2x - = - , cos2B = cos2 3-sin' B = - 9sin(2B -C) = sin 2B cos C 一 cos

23、 2Bsin C【点睛】本题考查了利用正弦泄理和余弦左理解三角形，还考查同角三角函数的基本关 系式，二倍角公式以及两角差的正弦公式.17. 如图所示，平而ABCD丄平而BCEF,且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直 角梯形，BF / ICE, BC 丄 CE, DC = CE = 4, BC = BF = 2 (I )求证：AF/平而CDE；(II) 求平面与平而BCEF所成锐二而角的大小:（III）求直线EF与平而ADE所成角的余弦值.【答案】（I）详见解析：（II） （III）週.4 2【解析】【分析】证明DC丄平而BCEF,以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为V轴，CD

24、所在直线为z轴建立空间宜角坐标系，（I） d为平而CDE的一个法向量，证明AF平 而CDE，只需证明盘奇=0；（II）求出平面ADE的一个法向量、平而BCEF个法 向量，利用向量的夹角公式，即可求平面ADE与平而BCEF所成锐二而角的余弦值：（III） 求出平ADE一个法向量为兀=（0,1,1）,丽=（2,2,0）,利用向虽的夹角公式，即可求 直线EF与平而4DE所成角的余弦值.【详解】（I ）证明：四边形BCEF为直角梯形，四边形ABCD为矩形，/. BC丄CE, BC1CD，又平而ABCD丄平而BC£F,且平WABCDA平而BCEF = BC, :.DCLCE:.DC 丄平 M

25、BCEF.以C为原点，CB所在直线为X轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为Z轴建立如图所 示空间直角坐标系根据题意，得以下点的坐标：4(2,0,4), B(2,0,0), C(0A0), £>(0,0.4). E(OAO), F(2,2,0) 则 AF = (0,2,-4) , CB = (2,0.0).V BC 丄 CD, BC ICE, cA为平mCDE的一个法向虽.又盘可=0AFu平而CDE:.AF/平而CDE(II) 设平Made的一个法向量为7=g,z),则 AD = (-2,0,0), D£ = (0,4,-4),aDh =-2x = 0<_.得亓

26、= (0,1,1)DEri =4y-4z = 0DC丄平面BCEF，二平而BCEF 一个法向量为CD = (0,0.4),设平而ADE与平而BCEF所成锐二而角的大小为a ,n CD 4y/2mil cos a = ： r =人|m|-|CD| 4x/2 2因此，平而4DE与平而BC£F所成锐二而角的大小为4(III) 根据(II)知平WiADE一个法向量为得"(0,1,1)丽=(2-2,0),设直线EF与平而ADE所成角为&,则| | 丽川21应朴肋心卜后讣如n.- cos 6 = Jl sin' 8 =2因此，直线EF与平而4DE所成角的余弦值为2【点睛

27、】本题主要考查空间点、线、而的位置关系，线面垂直，二面角及空间坐标系等基础 知识与基本技能，考查用向量方法解决数学问题的能力.意在考查考生的空间想象能力、运 算求解能力和推理论证能力.计算二而角大小的常用方法:分别求出二面角的两个半平面所 在平而的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二而角的大小，但要注意结合实际 图形判断所求角的大小18. 已知椭圆C: +匚= l(“>b>0)的离心率e = <2,左、右焦点分別是片、F,以 cr b2原点0为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线I'x-y + 2 = 0相切.(I)求椭圆C的标准方程；（II）设P为椭圆C上不

28、在X轴上的一个动点，过点F2作0P的平行线交椭圆与M、N两 个不同的点，记S严S和冲S严Sg，令S = ®+S2,求S的最大值.【答案】才今【解析】【分析】（1）由圆心到切线的距藹求出/?，再由离心率可求得4,从而得椭圆方程：（2）设M （x, x）, Ng,儿），由平行线的等积转化，得S= S + $2 = SOMN = OF2IIX -儿= £丿（卩+儿）2一4儿丁2，因此设直线方程为X二做+ JI，代入椭圆方程整理后用韦达左理得儿+儿，”儿，代入S后利用基本不等式 可得最大值.【详解】解：（1）由题意可知：椭圆C:=1（6/ > /? > 0）焦点在X轴上

29、，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线r y + 2 = 0相切,所以"10-0 + 21VT+T又椭圆的离心率幺解得：/=4,椭圆C的方程为：令+”（2）由（1）可知：椭圆的右焦点&（近、0）,设MCg ”），Ng 儿），OPUF2M£- Q1/y /.s = S| + $2 = SM1N = -OF2II - y21= J（y+曲-4加2，设直线MN:x = ky + y/2 ,x = ky + 5/2r2 v2 ,整理得：伙2+2），+2血做一2 = 0, + = 1142-2k2+2 >|O?2 =8淙S2>/2 x 1 = >/

30、2 ,= 22x!一-一当且仅当君时，即“0时，取等号,S的最大值为J.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考査直线与椭圆的位宜关系，解题中设交点坐标，设 直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达立理，求弦长、求而积等.这是直线与椭圆相交问题 中的常用方法.19. 数列也”是等比数列，公比大于0,前”项和S(n wN、, bn是等差数列，已知«,=|, 乙11” 1 1矿石7 "乔汗“吋？(I) 求数列"，的通项公式,化;(II) 设SJ的前况项和为Tn(neNi(7* b )bn(ii)若4 = 二 T ,记尺严工C求心的取值范围.1131【答案】(I ) %=市；化=

31、一1：(II)<i)7；=«-1 + ; (ii)-).2 2 & 2【解析】【分析】(I) 由等比数列的泄义求得公比g,得通项公式"”，再由等差数列的定义求得勺和，得仇:(II) ( i )由等比数列前"项和公式求得S“，由分组求和法求得人，(ii)求得c”后，用裂项相消法求得心,结合函数性质可得取值范国.【详解】解：(I)设数列也”的公比为*7>0),因为5=；,丄=丄+ 4,可得2“34,整理得飞一一 2 = 0解得§ = 一1 (舍)或q = _，所以数列冷通项公式为2 2所以数列bn 的通项公式为仇=77-1;(II ) (

32、 i )由等比数列的前"项和公式可得£ =(ii )由(i )可得化0心小 +1)W + 1)2宀 n.2n (n + l)<2M+,所以的前"项和R = q + + + C = ( ) + (r r ) + + ()=-”1“1>2 2>222>22 3>23小 2“ ( + 1)2卡2 (n + l)>2,T 1 _3 1又心在nM上是递增的，一8231所以心的取值范围为帚扣【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和前”项和公式，考查分组求和法与裂项 相消法.解题过程只要按照题意计算即可，考查了学生的运算求解能力.20. 已知函数/ Cr)=肚> 卫小已R,且。> 0x若函数/(X)在x = -处取得极值丄，试求函数/(X)的解析式及单调区间： e(2)设g(x) = i心-10 -/(a) , gx)为g(x)的导函数,若存在如e (l,+oo)，使sW + sfW = o成立，求-的取值范帀.a2 丫 +1【答案】函数/(X)的解析式为f(x) = -一R ,定义域为X12 0： 单调增区间为(-8, -1和£,亦)，单调减区间为(1,0)和(0,*)； (2) (1,4-0).【解析】【分析】(1)求导后根据/(X)在x = -处取得