计算机数学基础第5章定积分几何应用

1、5.1 定积分的微元法定积分的微元法5.2 定积分求平面图形的面定积分求平面图形的面5.3 定积分求空间立体的体积定积分求空间立体的体积结束前页前页结束结束后页后页1.选取一个变量为积分变量，并确定其变化区间选取一个变量为积分变量，并确定其变化区间a,b,此方法称为微元法或积分元素法此方法称为微元法或积分元素法. .在区间上任在区间上任取一小区间取一小区间, ,并记为并记为 . .d x,x+xd( )dbbaaaaf xxxdxx aba 5.1 5.1 定积分的微元法定积分的微元法对定积分问题对定积分问题,所求量所求量 的积分表达式的积分表达式,可如下确定可如下确定: a 2. 2.找出找

2、出 在在a,ba,b 上任意小区间上任意小区间 x,x+d+dx 上部分量上部分量a a的近似值的近似值 , ,d( )daf xx a 3. 3.在在 a, ,b 上求上求d da的定积分即得的定积分即得a的积分表达式的积分表达式前页前页结束结束后页后页 设函数设函数 在区在区间间 上连续上连续, ,求由曲线求由曲线 及及直线直线 所围成所围成的图形的面积的图形的面积.1. 直角坐标下平面图形的面积直角坐标下平面图形的面积5.2 5.2 用定积分求平面图形的面积用定积分求平面图形的面积( ), ( )f xg x , a b( )( )g xf x( ),( )yf xyg x, ()xa

3、xbab( )yf x ( )yg x ab前页前页结束结束后页后页(2) (2) 以以 为被积表达式为被积表达式, ,在区间在区间 作定作定积分积分 , ,这就是所求图形的面积这就是所求图形的面积. . (1) (1) 在区间在区间 上任取小区间上任取小区间 , ,设此小设此小区间上的面积为区间上的面积为 , ,它近似于高为它近似于高为 , ,底为底为 的小矩形面积的小矩形面积, ,从而得面积微元为从而得面积微元为d ( )( )d .af xg xx ( )( )dbaaf xg xx 分析分析 , a b ,d x xx a ( ) ( )f xg x dx ( )( ) df xg x

4、x , a b 在这个公式中，无论曲线在这个公式中，无论曲线 在在x 轴的上方或下方都成立，只轴的上方或下方都成立，只要要 在曲线在曲线 的下方的下方即可。即可。( )y g x ( )yf x ( )yf x ( )yg x abx xdx da前页前页结束结束后页后页 ( )0f x ( )0g x ( )0f x ( )0g x 前页前页结束结束后页后页331202331.3xx 120daxxx2ddaxxx例例1 1 求由曲线求由曲线 所围成的图形的面积所围成的图形的面积a a。2yxyx，解解 两曲线的交点为两曲线的交点为（0,0）,（1,1）,于是积分区间为于是积分区间为0,1面

5、积微元面积微元所求面积为所求面积为1xdxx 前页前页结束结束后页后页面积为面积为 , ,则近似于高为则近似于高为d dy, ,底底同理，设函数同理，设函数 在区间在区间 上连续，上连续，为为 的小矩形面积的小矩形面积, , 在区间在区间 上任取小区间上任取小区间 , ,设此小区间上的设此小区间上的求由曲线求由曲线 及直线及直线 所所围成的图形的面积围成的图形的面积.21()()d dcayyy12( ),( )yy , c d12( )( )yy 12( ),( )xyxy, ()yc ydcddyy cd2( )y 1( )y y ,d y yy 21d( )( )d .ayyx ,c d

6、a 21( )( )yy 于是所求面积为于是所求面积为从而得面积微元为从而得面积微元为前页前页结束结束后页后页2212231(242)d 2 =439.ayyyyyy 解解 由由 解得交点解得交点a(2,-1),b(8,2)例例2 2 求抛物线求抛物线 与直线与直线 所围成的图所围成的图形的面积形的面积. . 22yx 24xy242xyxy a(2,-1),b(8,2)取取y为积分变量为积分变量,于是于是,所求面积为所求面积为:前页前页结束结束后页后页且且 求此曲线与射线求此曲线与射线 所围成的曲边所围成的曲边扇形的面积扇形的面积.2.2.极坐标下平面图形的面积极坐标下平面图形的面积 设曲线

7、的极坐标方程设曲线的极坐标方程 在在 上连续上连续,( )( )rrr ， , ( ) 0r ，( )rr rd 在区间在区间 上任取一小区间上任取一小区间 ,设此小区间设此小区间上曲边扇形的面积为上曲边扇形的面积为 ,则则 近似于半径为近似于半径为 ,中心中心 , ,d a a ( )r 角为角为 的扇形面积的扇形面积,d 21dd2ar ，211 ( )d .22ar 从而可得面积为从而可得面积为从而得到面积微元为从而得到面积微元为前页前页结束结束后页后页22012(1cos ) d2aa220(12coscos)da2031(2coscos2 )d22a202312sinsin2243.

8、2aa 例例3 求心形线求心形线 所围成的面积所围成的面积. (1cos )ra 解解 当当 从从0变到变到 时时,得得 的图形为上半的图形为上半部分部分,心形线所围图形的面积心形线所围图形的面积a为极轴上方部分的两倍为极轴上方部分的两倍,即即 (1cos )rax前页前页结束结束后页后页 例例4 计算阿基米德螺线计算阿基米德螺线 上对应于上对应于 从从0变到变到 的一段曲线与极轴所围成图形的面积的一段曲线与极轴所围成图形的面积.ra 解解 面积微元为面积微元为21d() d2aa 于是于是,所求面积为所求面积为2202230231() d22343aaaa 前页前页结束结束后页后页5.3 5

9、.3 用定积分求旋转体的体积用定积分求旋转体的体积5.3.1 平行截面面积已知的立体体积平行截面面积已知的立体体积设有一立体价于过点设有一立体价于过点 且垂直于且垂直于 轴轴的两平面之间的两平面之间,求此立体的体积求此立体的体积., ()xa xbabxabxdxx 如图如图,介于介于 与与 之间的薄之间的薄片的体积近似等于底面积为片的体积近似等于底面积为a(x),高为高为dx的扁柱体的体积的扁柱体的体积,即体积微即体积微元为元为xdxx a(x)d( )dva xx( )dbava xx即对截面积即对截面积a(x)从从a到到b求积分求积分!于是所求体积为于是所求体积为前页前页结束结束后页后页

10、前页前页结束结束后页后页5.3.2 5.3.2 旋转体旋转体体积体积 设设 , 及及y=0所围图形绕所围图形绕x轴旋转轴旋转,求所得旋转体的体积求所得旋转体的体积.( )yf x ()xaxbab，ab( )yf x 选取选取 为积分变量为积分变量,其变化区其变化区间为间为 ,过点过点x做垂直于做垂直于x 轴的平轴的平面面,截得旋转体截面是半径为截得旋转体截面是半径为 的圆的圆,其截面积为其截面积为ab( )yf x x从而所求旋转体体积为从而所求旋转体体积为x , a b|( )|f x2( ) ( )a xf x 2( )d ( ) dbbaava xxf xx前页前页结束结束后页后页例例

11、4 计算由椭圆计算由椭圆 绕绕x轴旋转一周所成的旋轴旋转一周所成的旋转体转体(旋转椭球体旋转椭球体)的体积的体积.12222byax体积微元区间为积分变量，它的变化取,aaxxxaabvdd222. 22轴旋转而成的旋转体轴围成的图形绕与旋转体可看作上半椭圆xxxaaby解解前页前页结束结束后页后页xxaabxxaabvaaaad )( d 2222222旋转体的体积为xxaabad )(2 022223432203222abxxaaba前页前页结束结束后页后页.)0()0( 2 2222转体体积轴旋转一周所围成的旋绕形围成的图与抛物线求圆xxaaxyayx例5.d)(,) 12(d2) 12( , 0, 0 22xxaaaxaxaax积微元是上，体；在上，体积微元是在为积分变量，变化区间取，求解axyayx22222解，交点为)28,1)2( ()28,1)2( (aaaa前页前页结束结束