人教A版高中数学必修4练习手册：2单元综合测试 含答案

1、起单元综合测试二时间：120分钟分值：150分第卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1如图所示的方格纸中有定点o，p，q，e，f，g，h，则()a. b.c. d.解析：利用平行四边形法则作出向量，平移即可发现.答案：c2若向量a(2,0)，b(1,1)，则下列结论正确的是()aa·b1 b|a|b|c(ab)b dab解析：a·b2，所以a不正确；|a|2，|b|，则|a|b|，所以b不正确；ab(1，1)，(ab)·b(1，1)·(1,1)0，所以(ab)b，所以c正确；由于2×10×120，所以a，b不平行，

2、所以d不正确故选c.答案：c3设p是abc所在平面内的一点，2，则()a.0 b.0c.0 d.0解析：由2，可得p是边ac的中点，从而0.答案：b4已知o(0,0)，a(2,0)，b(3,1)，则()·()a4 b2c2 d4解析：由已知得(2,0)，(3,1)，(1,1)，则()·(1,1)·(3,1)314.答案：a5在四边形abcd中，a2b，4ab，5a3b，其中a，b不共线，则四边形abcd为()a平行四边形 b矩形c梯形 d菱形解析：8a2b2，四边形abcd为梯形答案：c6设x，yr，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，则|

3、ab|()a. b.c2d10解析：由题意可知，解得，故ab(3，1)，|ab|.答案：b7已知|a|1，|b|6，a·(ba)2，则向量a与b的夹角是()a. b.c. d.解析：记a与b的夹角是，则a·(ba)a·ba26cos12，cos.又0，所以.故选c.答案：c8下列说法中，正确的个数为()(1)；(2)若a·b<0，则a与b的夹角是钝角；(3)向量e1(2，3)，e2(，)能作为平面内所有向量的一组基底；(4)若ab，则a在b上的投影为|a|.a1 b2c3 d4解析：()，(1)正确；当|a|b|1且a与b反向时，a·b1

4、<0，但a与b的夹角为180°，因而(2)不正确；由于e14e2，所以e1e2，所以向量e1，e2不能作为基底，(3)不正确；若ab，则a与b的夹角为0°或180°，所以a在b上的投影为|a|cos±|a|，(4)不正确答案：a9已知a(1,2)，b(2，3)，若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c()a(，) b(，)c(，) d(，)解析：不妨设c(m，n)，则ac(1m,2n)，ab(3，1)，对于(ca)b，则有3(1m)2(2n)，又c(ab)，则有3mn0，联立解得m，n.故c(，)答案：d10在abc中，p是边bc的中点，角a，b，

5、c的对边分别是a，b，c，若cab0，则abc的形状为()a等边三角形b钝角三角形c直角三角形d等腰三角形但不是等边三角形解析：如图，由cab0，知c()ab(ac)(cb)0，而向量与不共线，accb0，故选a.答案：a11若a，b，c均为单位向量，且a·b0，(ac)·(bc)0，则|abc|的最大值为()a.1 b1c. d2解析：由向量a，b，c都是单位向量可得a21，b21，c21，由a·b0及(ac)·(bc)0，可得(ab)·cc21，因为|abc|2a2b2c22a·b2a·c2b·c，所以有|ab

6、c|232(a·cb·c)1，故|abc|1.所以|abc|的最大值为1.答案：b12定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的a(m，n)，b(p，q)，令abmqnp.下列说法错误的是()a若a与b共线，则ab0babbac对任意的r，有(a)b(ab)d(ab)2(a·b)2|a|2|b|2解析：根据题意可知若a，b共线，可得mqnp，所以abmqnp0，所以a正确；因为abmqnp，而banpmq，故二者不相等，所以b错误；对于任意的r，(a)b(ab)mqnp，所以c正确；(ab)2(a·b)2m2q2n2p22mnpqm2p2n2q22mn

7、pq(m2n2)(p2q2)|a|2|b|2，所以d正确故选b.答案：b第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60 m，若牵绳与船前进方向的夹角为，人的拉力为50 n，则纤夫对船所做的功为_j.解析：功w60×50×cos1 500(j)答案：1 50014设向量a，b满足|a|2，b(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为_解析：设a(x，y)，x<0，y<0，则x2y0且x2y220，解得x4，y2(舍去)，或者x4，y2，则a(4，2)答案：(4，2)15(20

8、13·山东卷)已知向量与的夹角为120°，且|3，|2.若，且，则实数的值为_解析：，由于，所以·0，即()·()(1)·94(1)×3×2×()0，解得.答案：16(2012·江苏卷)如图(1)，在矩形abcd中，ab，bc2，点e为bc的中点，点f在边cd上，若·，则·的值是_ 解析：以a为坐标原点，ab，ad所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图(2)，则b(，0)，e(，1)设f(x,2)(0x)，由·可得x，则x1，所以f(1,2)，·(，1)&

9、#183;(1，2).答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)在边长为1的等边三角形abc中，设2，3.(1)用向量，作为基底表示向量；(2)求·.解：(1).(2)··()·()·|·|cos150°|·|cos30°×1×()××1×.18(12分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a(1,2)(1)若|b|2，且ab，求b的坐标(2)若|c|，且2ac与4a3c垂直，求a与c的夹角解：

10、(1)设b(x，y)，由|b|2，ab得得或所以b(2,4)或b(2，4)(2)由已知(2ac)(4a3c)，(2ac)·(4a3c)8a23c22a·c0，又|a|，|c|，解得a·c5，所以cosa，c，a，c0，所以a与c的夹角为.19(12分)如图，平行四边形abcd中，a，b，h，m是ad，dc的中点，f使bfbc.(1)以a，b为基底表示向量与；(2)若|a|3，|b|4，a与b的夹角为120°，求·.解：(1)连接af，由已知得ab.ab，b(ab)ab.(2)由已知得a·b|a|b|cos120°3×

11、;4×()6，从而·(ab)·(ab)|a|2a·b|b|2×32×(6)×42.20(12分)设a，b是两个不共线的非零向量(1)若a与b起点相同，t为何值时，a、tb、(ab)三个向量的终点在一条直线上？(2)若|a|b|，且a与b的夹角为60°，那么t为何值时，|atb|的值最小？解：(1)设atbma(ab)，mr，化简得(m1)a(t)b.因为a与b不共线，故，即t时，a、tb、(ab)三个向量的终点在一条直线上(2)|atb|2(atb)2|a|2t2|b|22t|a|b|·cos60

12、6;(1t2t)|a|2，故当t时，|atb|有最小值|a|.21(12分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，2e1e2，e1e2，2e1e2，且a，e，c三点共线(1)求实数的值；(2)若e1(2,1)，e2(2，2)，求的坐标；(3)已知点d(3,5)，在(2)的条件下，若a，b，c，d四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点a的坐标解：(1)(2e1e2)(e1e2)e1(1)e2.a，e，c三点共线，存在实数k，使得k，即e1(1)e2k(2e1e2)，得(12k)e1(k1)e2.e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，解得k，.(2)3e1e2(6，3)(1,1)(7，2)(3)a，b，c，d四点按逆时针顺序构成平行四边形，.设a(x，y)，则(3x,5y)，(7，2)，解得，即点a的坐标为(10,7)22(12分)已知在等边abc中，点p为线段ab上一点，且(0