高中数学人教版选修2-2,2-3知识点总结

1、数学选修2-2导数及其应用知识点1.函数的平均变化率是什么？答：平均变化率为_y_X_ f( X2)- f( X1)_ f( x 1 x)- f (x1)x x X2 - xix注1：其中x是自变量的改变量，可正，可负，可零。注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速理二2、与函数的概念是什么？一y = f (x)在点 x或 y |x x0,答：函数y =f ( x)在x40处的瞬时变化率是limg_y三lim J ( x0*Ax)(X。) ,则称函数。x 0 0Ax可与，并把这个极限叫做y = f ( x)在x。处的与数，记作f ' ( x 0 )f (xo ) = lim /

2、 lim f ( x 0 x) f ( x 0 ) .x 0' x x ' 0x3.平均变化率和与数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。4与数的背景是什么？答：(1)切线的斜率；(2)瞬时速度；(3)边际成本。5、常见的函数与数和积分公式有哪些?函数与函数不定积分y =cy '=0M n (可* )y x 'n Nn _1 y ' nx.n5，xnt1 xd=n +1y _a x «a _0, a 供)y ' =ax In aI axdxax-In ax y ey 1飞xe e

3、xdx _exy =log a x(aj0, a # 1, x 0)_1y 'x In ay = In xy ' =1x11- dx =ln xxy 飞in xy '二 cos x*1 cosxdx =sin xy 一 cos xy ' = =in xfl%in xdx = 一 cos x6、常见的与数和定积分运算公式有哪些?答：若f(x , g x)均可与(可积)，则有:8和差的与数运算积的与数运算商的与数运算复合函数的导数f (x) g( x) f ( x) g (x)»L FJ,、，、土,，、f (x) g (x) f (x)g( x) - f

4、(x)g ( x) 特别地：Cf x日Cf ' (x)'f ( x) f ( x) g(x)：f ( x) g (x) .二j2(g ( x) _0). g (x)1 g ( x)特别地：；|一1一 ,二二山g (x 1 g2x)/ t £ I _yxyu_ux微积分基本定理dx(其中F '和差的积分运算fi(x)二 f 2( x)dx _ fi( x)dx _f2 (x)dxaaa特别地：a积分的区间可加性c()dx -一 abbkf (x)dx kab为常数)()dx()(其中6 .用与数求函数单调区间的步骤是什么？答：求函数f(x)的号数f'(x

5、)令f '(x) >0,解不等式，得 x的范围就是递增区间.令f(x) <0,解不等式，得 x的范围，就是递减区间;注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。7 .求可与函数f(x)的极值的步骤是什么？答：(1)确定函数的定义域。(2)求函数f(x)的与数f '(x)(3)求方程f '( x) =0的根 (4)用函数的与数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区问， 并列成表格，检查f / ( x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这

6、个根处无极值8 .利用与数求函数的最值的步骤是什么？ 答：求f ( x)在,b上的最大值与最小值的步骤如下： 求f ( x)在a| b上的极值；将f ( x)的各极值与f (a), f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；9 .求曲边梯厂的思想和骤是什么?答：分割 卜 近似代替|t 而It帆极限|( “以直代曲”的思想)10 .定积分的性质有哪些？根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： b性质 1 J 1dx 二 b - a a性质 5 若 f (x) >0, x e , b I,贝Ijf( x) dx 为 a

7、bbbb推广：J f1 (x) 士 f2 (x) 土 III± fm( x)dx =Jf1 (：x)i dxf 2 (x)dx土出土 j fm (x)aaaabC1C21db推广:f ( x)dx = f ( x)dx f (x)dx | f ( x) dxaaC1ck11定积分的取值情况有哪几种？ 答：定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.(l )当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值，E 于x轴上方的图形面积;(2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，且半 于x轴上方图形面积的相反数;(3)当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面

8、积时，定积分的值为 0,且等于x轴上方图形的面积减去下方的图 形的面积.12 .物理中常用的微积分知识有哪些？答：(1)位移的与数为速度L原度的与数为加速明(2)力的积分为功一推理与证明知识点13 .归纳推理的定义是什么？答：从个别事实 中推演出一般性 的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。 归纳推理是由部分到整体，由个别到一般 的推理。 14 .归纳推理的思维过程是什么？答,大致如图,实验、观察概括、推广 猜测一般性结论15 .归纳推理的特点有哪些？答： 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实， 还需经过逻辑证

9、明和实验检验，因此,它不能作为数学证明的工具。归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助 人们发现问题和提出问题。16 .类比推理的定义是什么？答：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同， 这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。 17 .类比推理的思维过程是什么?答.I观察、比较n .联想、类推|_-推测新的结论18 .演绎推理的定义是什么？答：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到帅殊的推理。 19 .演绎推理的

10、主要形式是什么？答：三段论20 .“三段论”可以表示为什么？答：大前题：M是P小前提：S是M结论：S是P。其中是大前提，它提供了一个一般性的原理；是小前提，它指出了一个特殊对象； 是结论,它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。21 .什么是直接证明？它包括哪几种证明方法？答：直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。22 .什么是综合法？答：综合法就是“由因与果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的 结论。23 .什么是分析法？答：分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或

11、者一定成立的式子，可 称为“由果索因”。要注意叙述的形式： 要证A,只要证B, B应是A成立的充分条件.分析法和综合法常结合使用,不要将它们割裂开。24什么是间接证明？答：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而 肯定原结论是正确的证明方法。25 .反证法的一般步骤是什么？答：1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；2）从假设由发，经过推理论证，得由矛盾;（3）从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。 26原结论词反义词原结论词反义词至少有一个一个也没有时所有的x都成立存在x使不成立AAIE至多有一个至少有两个对任意x不成立存在x使成立至少有n

12、个至多有n-1个至多有n个至少有n+1个rp 或-q27 .答证法的思维方法是件么？答：正难则反 28 .如何归缪矛盾？答：(1)与已知条件 矛盾；(2)与已有公理、定理、定义矛盾； (3)自相矛盾.VVVVVVVVVVVVVV29 .数学归纳法(只能证明与正整数有关的数学命题)的步骤是什么? u 答：(1)证明：当n取第一个值_ n0 n0e N ')时命题成立；(2)假设当n=k (k N ,且k>n。)时命题成立，证明当 n=k+1时命题也成立由(1), (2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n都正确 .注：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。数系的扩充

13、和复数的概念知识点30.复数的概念是什么？答：形如a+bi的数叫做复数，其中 i叫虚数单位，a叫实部， b叫虚部，数集Ca朝| a,b R叫 做复数集。规定：a b. c +=a二c且 ,强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相等。 f实数(=)b 031 .数集的关系有哪些？答： 复数Zj(b o一般虚数(毡0 )T :飞纯虚数(a0)32 .复数的几何意义是什么？答：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。33 .什么是复平面？答：根据复数相等的定义，任何一个复数z a b尸，都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定。由于有序实数对(a, b)与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面

14、直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x轴叫做实轴,y轴叫做匠 我实轴上的点都表示实数+盎了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。34 .如何求复数的模(绝对值)？答：与复数z对应的向量oZ"1勺模r叫做复数z =a+bi的模(也叫绝对值)记作z或a +bi。由模的定义可知：|z = 1a +bi| = Ja2 +b235 .复数的加、减法运算及几何意义是什么？答：复数的加、减法法则：za "bi与z 2，+di ,则z1工22,士c*(b ±d )i。注：复数的加、减法运算也可以按向量 的加、减法来进行。 复数的乘法

15、法则：(a九i )(c *di)式aC. bd )+(ad bc i )复数的除法法则：亡凡=匚叫二吗=再“十且3 i其中c -di叫做实数化因子+3+c di36.什么是共掘复数？答：两复数a 'bi与a-bi互为共转复数，当b =0时，它们叫做共转虚数。常见的运算规律I =+二二 二二,一 二| 2=忖 2= 2+ 2= =一二 E(1) , zz ；(2) z z 2a, z z 2bi； (3) z z z 1 z a 2 b2 ;(4) z z;(5) z zz Ro11 -：)2四鼻 +=+ .+(7) 1 = i 1=浜 i；(8) i - i, i - i , 1.=&

16、quot;=£i(6) i4 n 1 i , i 4n 21 1,i4n 3 - i, i4n 4- 1;1 i 1 i2(9)设3=1 % 3i是1的立方虚根，则1十蕨十缶2=0 ,3n1户3n ;二5户3 01 = 1数学选修2-3导数及其应用知识点第一章计数原理知识点什么是分类加法计数原理？答：做一件事情，完成它有 n类办法,在第一类办法中有 mi种不同的方法，在第二类办法中有 m2种 不同的方法？在第 n类办法中有mn种不同的方法。 那么完成这件事情共有 N三mi+m2+ - + mn种不同 的方法。1 .什么是分步乘法计数原理？答：做一件事情，完成它需要 n个步骤，做第一个

17、步骤有 mi种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法？?做第 n个步骤有mn种不同的方法。那么完成这件事情共有 N mi m2 m种荏同的方法。2 .排列的定义是什么？答：一般地，从n个不同的元素中任取 m m qn介元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n个不同 的元素中任取 m个元素的一个排列。3 .组合的定义是什么？答：一般地，从n个不同的元素中任取 m m，n 元素并成一组，叫做从 n个不同的元素中任取 m个 元素的一个组合。4 .什么是排列数？答：从n个不同的元素中任取 mmn斗九素的所有排列的个数，叫做从 n个不同的元素中任取 m个元素的 排列数，记作Anm o5 .什么是组合

18、数？答：从n个不同的元素中任取 mm n介元素的所有组合的个数，叫做从 n个不同的元素中任取 m个 元素的组合数，记作 Cnm o7 .排列数公式有哪些？m j 7/上、 mn !答：(1)An二n ni n-2广(n -m+i)或 An=；n - m !(2) Ann=n!,规定 0! = 1。8 .组合数公式有哪些？，答： (1) Cnm -n-fl in2dn_m,或 C nm=ni ;m!m! n m !(2) Cnm 二CnTm,规定 Cn0=1。9 .排列与组合的区别是什么？答：排列有顺序，组合无顺序。10 .排列与组合的联系是什么？答：Anm- Cnm Amm ,即排列就是先组合

19、再全排列。11 .排列与组合的性质有哪些？答：两个性质公式：(1)排列的性质公式： An% = An"mAnm 1(2)组合的性质公式：Cnm=CnnF；。叫1= Cn" Cnm112 .二项式定理是什么？答：a b n>=Cn0 an+Cn1an_1b Cn2a"n 2b2f Cnran r/Cnn bn n N-)13二项展开式的通项是什么？答：Tr + 二C nr an r br 0r 艾n, r 厘 N , n / N4i14. (1 X n)的展开式是什么？答：.1 n=Cn° X n C1n Xn 1Cn2 Xn ""

20、;+Cnn X° 若令二X( +=+ '+'1 ,酗珈 喇n MH哂商数c曲间F的二媪:系数最大且为第帽举1 项 nj券数为唱* ，一 京工,豆j的奇加T + l内偶数，中间两项的二®粽艘然闻华项败 口U1项,其二项式系数位C9 口0,应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和即令式子中变M为1。 1 a。+ 01+的 + 国餐+ *+门生4 ""+ =j（：g：rteL 1 得工 jr"士1,豫 +6通上工片上*工一 -品 4 干 工 + % +一=- 上2?26组工 -加5"。m/+ a +”=守A-22孙r &q

21、uot;W/ =/®第二章随机变量及其分布知识点15 .什么是随机变量？答：在某试验中，可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量 X叫做一个随机变量。离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称 X为离散型随机变量16 .什么是概率分布列？答：要掌握一个离散型随机变量X的取值规律，必须知道：（1） X所有可能取的值X1, X2,xn ；（2） X取每一个值Xi的概率p1, P2，Pn ；我们可以把这些信息列成表格（如此）：XX1X2?Xi?XnPP1P2?Pi?Pn上表为离散型随机变量 X的概率分布，或称为离

22、散型随机变量X的分布列17.什么是二点分布？答：X10PPq其中0节15q 1 P7则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布。18 .什么是超几何分布？答：一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取 n A云N件，这n件m c n -mCM CN M中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为P X m4一7（0 - m隹，l为n和M中较小的一个）。我们称离散型随机变量 X的这种形式的概率分布为超几何服 分布，也称X从参数为N , M ,n的超几何分布。19 .什么是条件概率？答：对于任何两个事件A和B ,在已知事件 A发生的条件下，事件 B发生的概

23、率叫做条件概率，用符号pBA来表示。20 .什么是事件的交（积）？答：事件A和B同时发生所构成的事件D ,称为事件A和B的交（积）。21 .什么是相互独立事件？答：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P fa A上P（B j这时我们称两个事件A和B相互理上：，并把这两个事件叫做相互独立事件。一般地，当事件 A和B相互独时，A和B , A和B, A 和B也相互独立。22 .什么是独立重复试验？答：在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它为 n次独立重复试验。23独立重复试验的概率公式是什么？答：一般地，事件A在n次试验中发生k次，共有Cnk种情形，由试验的

24、独立性知A在k次试验中发生,而在其余n k次试验中不发生的概率都是p*lp产，所以由概率加法公式知，如果在一次试验中事件A发生的概率是p ,那么在n次独立重复试验中，事件 A恰好发生k次的概率为Pn ( k )=Cnk pk ( 1一 p n * ( k 0,1,2, n o )24.什么是二项分布?答：在独立重复试验概率公式中，若将事件A发生的次数设为 X ,事件A不发生的概率为16X01?k?nP0 0 nCn p q1 1 n(1Cn p q?k k n k _Cn p q?n n 0Cn pq由于表中的第二行恰好是二项式展开式在n次独立重复试验中， 事件A恰好发生k次的概率为P X k

25、=Cnk pkq 分布列qq 一 pn k其中k 0,1,2, n工于是得到X0 0 n 1 In 12 2_n 2k k.n kn n 0Cn p qCn p q Cn p qCn p qCn p qn各对应项的值，称这样的离散型随机变量25.什么是离散型随机变量的数学期望？X服从参数为n, p的二项分布，记作X - B d p )答：一般地，设一个离散型随机变量 X所有可能的取值是贝E X-X1 p1 , X2 p2 . .*Xn pn叫做这个离散型随机变量X1 , X2； Xn ,这些值对应的概率是p1, p2 ;X的均值或数学期望(简称期望)。26 .二点分布的数学期望是多少？答:27

26、 .二项分布的数学期望是多少？答:一 p-np28 .超几何分布数学期望是多少？答:ji = M。N29 .什么是离散型随机变量的方差？ 答：一般地，设一个离散型随机变量X所有可能的取值是Xi , X2： Xn ,这些值对应的概率是pi, p2;则 D X - xi - E X 2 pi X2 -E X 2p2汁&n-E(X(»pn叫做这个离散型随机变量X的方差。离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小(离散程度)。30 .二点分布的方差是多少？答:31 .二项分布的方差是多少？答:D X - pqD X - npq q T p)。32什么是标准差

27、？答： D X岫算术平方根33.什么是正态分布？Jd(X M做离散型随机变量 X的标准差。答：正态变量概率密度曲线函数表达式:,X R ,其中巴o是参数，且如下图:1 f X1 e 2-2 Q数学选修2-3第三章统计案例知识点34 .什么是回归分析，它的步骤是什么？答：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。其步骤：收集数据 t作散点图T求回归直线方程 t利用方程进行预报.35 .线性回归模型与一次函数有什么不同？答：一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式36 .什么是残差？答：样本值与回归值的差叫残差，即 e?i = yi - y?i.37 .什么是残差分析？答：通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残 差分析.38 .如何建立残差图？答：以残差为横坐标， 以样本编号， 或身高数据，或体重估计值等为横坐标，作出的图形称为残差图观察残差图，如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高39 .建立回归模型的基本步骤是什么？答：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量;(