高中数学《直线的方程》教案新人教A版必修

1、直线方程的一般形式一、教学目标（一） 知识教学点掌握直线方程的一般形式，能用定比分点公式设点后求定比（二 ） 能力训练点通过研究直线的一般方程与直线之间的对应关系，进一步强化学生的对应概念；通过对几个典型例题的研究，培养学生灵活运用知识、简化运算的能力（三） 学科渗透点通过对直线方程的几种形式的特点的分析，培养学生看问题一分为二的辩证唯物主义观点 二、教材分析1 重点：直线的点斜式、斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线，教学中要讲清直线与二元一次方程的对应关系2难点：与重点相同3疑点：直线与二元一次方程是一对多的关系同条直线对应的多个二元一次方程是同解

2、方程三、活动设计分析、启发、讲练结合四、教学过程（一） 引入新课点斜式、斜截式不能表示与 x轴垂直的直线；两点式不能表示与坐标轴平行的直线；截 距式既不能表示与坐标轴平行的直线，又不能表示过原点的直线.与x轴垂直的直线可表示成x=x0,与x轴平行的直线可表示成 y=y0。它们都是二元一次方程.我们问：直线的方程都可以写成二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线吗？（二）直线方程的一般形式我们知道，在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角当a w 90。时，直线有斜率，方程可写成下面的形式：y=kx+b当& 二90°时，它的方程可以写成 x=x0的形式.由于是在坐标平面上讨论

3、问题，上面两种情形得到的方程均可以看成是二元一次方程.这样，对于每一条直线都可以求得它的一个二元一次方程，就是说，直线的方程都可以写成关 于x、y的一次方程.反过来，对于x、y的一次方程的一般形式Ax+By+C=0. 其中A、B不同时为零.（1）当片0时，方程（1）可化为A C这就是直线的斜截式方程.它表示斜率为一捻，在,由上的截距为JD一曾的直线.k：这里，我们借用了前一课 y=kx+b表示直线的结论，不弄清这一点，会感到上面的论证不 知所云.（2）当B=0时，由于A、B不同时为零，必有 AW 0,方程（1）可化为C它表示一条与y轴平行的直线.这样，我们又有：关于 x和y的一次方程都表示一条

4、直线.我们把方程写为Ax+By+C=0这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式.引导学生思考：直线与二元一次方程的对应是什么样的对应？直线与二元一次方程是一对多的，同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程.（三）例题例1已知直线经过点4）,斜率为求直线的点斜式，f式和截距式.解：直线的点斜式是歹+4 =_（葭-6）.化成一般式得4x+3y-12=0 .把常数次移到等号右边，再把方程两边都除以12,就得到截距式耳+ 丫1 3 + 4-1,讲解这个例题时，要顺便解决好下面几个问题：（1）直线的点斜式、两点式方程由于给出的点可以是直线上的任意点，因此是不唯一的，一般不作为最后结果保留，须

5、进一步化简；（2）直线方程的一般式也是不唯一的，因为方程的两边同乘以一个非零常数后得到的方程与原方程同解，一般方程可作为最终结果保留，但须化为各系数既无公约数也不是分数；（3）直线方程的斜截式与截距式如果存在的话是唯一的，如无特别要求，可作为最终结果保留.例2 把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线 l的斜率和在x轴与y轴上的 截距，并画图.解：将原方程移项，得 2y=x+6,两边除以2得斜截式：1X因此，直线I的斜率k = J在y#上的截距是比在上面的方程中令y =。可得x=-6(图根据直线过点 A(-6 , 0)、B(0, 3),在平面内作出这两点连直线就是所要作的图形 1-2

6、8).本例题由学生完成，老师讲清下面的问题：二元一次方程的图形是直线，一条直线可由 其方向和它上面的一点确定，也可由直线上的两点确定，利用前一点作图比较麻烦，通常我 们是找出直线在两轴上的截距，然后在两轴上找出相应的点连线.例3 证明：三点 A(1 , 3)、B(5, 7)、C(10, 12)在同一条直线上.证法一 直线AB的方程是：y - 3 _ k - 1 73 = 51'化简得 y=x+2 .将点C的坐标代入上面的方程，等式成立. A、B C三点共线.证法二二 K二言=1 R* =关 A、B C三点共线.证法三 |AB|=+(7染-472.|AQ|-+(12-3尸-9拒|Bq =

7、 712-7)a 10-5)2 = 5反. , |AB|+|BC|=|AC| , A、C C三点共线.讲解本例题可开拓学生思路，培养学生灵活运用知识解决问题的能力.例4 直线x+2y-10=0与过A(1 , 3)、B(5 , 2)的直线相交于 C,试求附有向线段屈所成的定比.此题按常规解题思路可先用两点式求出 AB的方程，然后解方程组得到点 C的坐标，再求 点C分AB所成的定比，计算量大了一些.如果先用定比分点公式设出点 C的坐标(即满足点C 在直线AB上)，然后代入已知的直线方程求入，则计算量要小得多.解；设吩在所成的定比为立，则C点的坐标为1 + 5九代入 x+2y-10=0 有:1+5儿

8、 4十2人+ 2 一解之得 入=-3 .即点防熊所成的定比为九 = 3.(四)课后小结(1)归纳直线方程的五种形式及其特点.(2)例4一般化：求过两点的直线与已知直线 (或由线)的交点分以这两点为端点的有向线 段所成定比时，可用定比分点公式设出交点的坐标，代入已知直线(或曲线)求得.五、布置作业1. (1 . 6练习第1题)由下列条件，写出直线的方程，并化成一般式：(1)斜率是，经过点-2);(2)经过点B(4 , 2),平行于x轴；经过点平行于共由二：4)在匚轴却-制上的截距:弁机是R - 3： £-1经过两点 P1(3, -2)、P2(5, -4);(6)x轴上的截距是-7 ,倾

9、斜角是45° .解： x+2y-4=0 ;(2)y-2=0 ;2x+1=0 ;(4)2x-y-3=0 ;(5)x+y-1=0 ;(6)x-y+7=0 .2 .(习题二第5题)一条直线经过A-孰 它的倾斜角等于直线y = +支的倾斜角的2倍，求这条直线的方程.JrTT解；已知直线的斜率k1=倾斜南，所求直线快斜角亏， 5b3斜率#,所求直线方程是y -=9段-2),即、国-y0.3 .(习题二第8题)一条直线和y轴相交于点P(0, 2),它的倾斜角的正弦是：，求这条直线的方程,这样的直线有几条T解：设直线的忸斜角为口，则sind 二5，35口 = ± 唔口 = ±才

10、所求直线的斜率1<= 士，所求直线方程为y = * +2或y =+4 .(习题二第十三题)求过点P(2, 3),并且在两轴上的截距相等的直线方程.解：当直线过原点时，直线在两轴上的截距均为0,直线方程为y =当直线不过原点时，设在两上的截距是鼻，直线方程为三十±二1,2汽 讥将式2, 3)代入有el = 5,直线方程为篮+ y-5=0.5 .(习题二第16题)设点P(x0 , y0)在直线As+By+C=0上，求证：这条直线的方程可以 写成 A(x-x0)+B(y-y0)=0.证明：将点 P(x0 , y0)的坐标代入有 C=-Ax0-By0 ,将C代入Ax+By+C=0即有 A(x-x0)+B(y-y0)=06 .过 A(x1 , y1)、B(x2 , y2)的直线交直线 l : Ax+By+C=0于 C,7kqi丁 /工 匚1亡,1、 -r 、1 + By q +C试证，所成定比