单个总假设检验

1、1本章教学目标本章教学目标l了解和掌握统计推断中的另一个基本问题：参假设检验及其在经济管理中的应用；l掌握运用 excel 的“数据分析”及其统计函数功能求解假设检验问题。 第第7章章 单个总体的假设检验单个总体的假设检验2本章主要内容：本章主要内容：7.1 案例介绍 7.2 假设检验的基本原理7.3 单个正态总体均值的检验 7.4 单个正态总体方差的检验本章重点：本章重点：假设检验中不可避免的两类错误及其应用 excel“数据分析”功能的使用及其运行输出结果分析。难点：难点：假设检验中不可避免的两类错误及其应用。 3【案例【案例1】新工艺是否有效？】新工艺是否有效？ 某厂生产的一种钢丝的平均

2、抗拉强度为 10560 (kg/cm2)。 现采用新工艺生产了一种新钢丝，随机抽取 10 根，测得抗拉强度为： 10512, 10623, 10668, 10554, 10776 10707, 10557, 10581, 10666, 10670 求得新钢丝的平均抗拉强度为 10631.4(kg/cm2)。 是否就可以作出新钢丝的平均抗拉强度高于原钢丝，即新工艺有效的结论? 7.1 案例介绍案例介绍4某台加工缸套外径的机床，正常状态下所加工缸套外径的标准差应不超过 0.02 mm。检验人员从加工的缸套中随机抽取 9 个，测得外径的样本标准差为 s = 0.03 mm。问：该机床的加工精度是否符

3、合要求?【案例【案例2】机床加工精度是否符合要求】机床加工精度是否符合要求?57.2 假设检验的原理假设检验的原理一、实际推断原理假设检验的理论是小概率原理，又称为实际推断原理，其具体内容是：小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的。二、假设检验推理的思想方法假设检验推理的思想方法是某种带有概率性质的反证法。6三、基本原理和步骤例例1：统计资料表明，某电子元件的寿命 xn(0 , 2 )，其中 0 已知， 2 未知。现采用了新工艺生产，测得新工艺生产的 n 个元件寿命为 x1, x2, , xn。问：新工艺生产的元件期望寿命 是否比原工艺的元件期望寿命 0 有显著提高?此问题要推断的是： 是否

4、 0?这可用假设检验的方法解决，步骤如下： 7 本例中 h0： = 02. 按希望出现的结果提出一个与原假设对立的假设，按希望出现的结果提出一个与原假设对立的假设，称为备择假设，记为称为备择假设，记为 h1。 本例中 h1： 03. 构造一个能用来检验原假设构造一个能用来检验原假设 h0 的统计量的统计量本例中，要检验的是总体均值 ，的优良是而 x当 h0 为真时，xt (n-1) nsxt/0估计, 故应使用来构造检验 的统计量。统计量1.提出一个希望推翻的假设提出一个希望推翻的假设,称为原假设称为原假设,记为记为 h084. 给定一个小概率给定一个小概率 ，称为显著性水平称为显著性水平显著

5、性水平 是当 h0 为真时， 拒绝 h0 的概率(即犯“弃真”错误的概率)。也即当检验结果拒绝 h0 时，不犯错误的概率为 1-， 从而可以有1- 的可信度接受备择假设 h1。5. 确定要拒绝确定要拒绝 h0 时统计量的取值范围，时统计量的取值范围，称为称为拒绝域拒绝域，拒绝域的边界点称为拒绝域的边界点称为临界值临界值。本例中，由于 h1： 0 而当 h0 为真时，有 p t t ( n-1 ) = 1-可知当统计量 t t(n-1) 时，就可以有1- 的把握判定h0 不真 (犯错误的概率仅为 )， 故此时应拒绝 h0。从而拒绝域为 t t(n-1)，临界值为 t(n-1)。 (右边检验)，9

6、 t (n-1)0f (x) x右边检验的拒绝域本例中，若计算结果为 t t(n-1)，6. 计算统计量计算统计量 t 的值，并作出检验结论的值，并作出检验结论则拒绝 h0，接受 h1，即在水平 下， 认为 显著高于 0。若 t t(n-1) | h0 为真= 可知检验中可能出现以下两类判断错误：二二. .检验中可能犯的两类错误检验中可能犯的两类错误第一类错误第一类错误当 h0 为真时拒绝 h0 的错误，即“弃真”错误，犯此类错误的概率为 。第二类错误第二类错误 当 h0 不真时接受 h0 的错误，即“取伪”错误， 记犯该类错误的概率为 ，即p tt(n-1)h0 不真= 由于 h0 不真时与

7、 h0 为真时，统计量 t 的分布是不同的，故 1-。 h0: 无辜无辜法官判决法官判决假设检验假设检验实际情况实际情况实际情况实际情况判决判决无辜有罪决策决策h0 真h0 假无辜correcterror没有拒绝h01 - type iierror ( )有罪errorcorrect拒绝h0type ierror( )power(1 - )result possibilities结果的各种可能性结果的各种可能性relationship between a & a & 间的联系间的联系 两个错误有反向的关两个错误有反向的关系系13由图可知，减少 会增大 ，反之也然。在样本容量 n

8、 不变时，不可能同时减小犯两类错误的概率。应着重控制犯哪类错误的概率，这应由问题的实际背景决定。n当第一类错误造成的损失大时，就应控制犯第一类错误的概率 (通常取 0.05，0.01等)；n反之，当第二类错误造成的损失大时，就应控制犯第二类错误的概率 。要同时减小须犯两类错误的概率，必须增大样本容量 n。 x0h0：=0t(n-1)h1：=1两类错误的关系两类错误的关系14t (n -1) nsxt/0/2/2 t/2(n-1)- t/2(n-1)0f (x)x1- 设 xn( , 2 )， 2 未知，x1, x2, , xn 为总体x 的样本，给定水平 ， 原假设为 h0： =0 ( 0为某

9、一给定值)当 h0 为真时，统计量1. h1： 0 (双边检验双边检验)当 h0 为真时，由 p-t/2 (n-1)tt/2 (n-1)=1- 可得：若 |t| t/2 (n-1) 就拒绝 h0，接受 h1；否则接受 h0。 7.3 单个总体均值的检验单个总体均值的检验 15 当 h0 为真时，由 p t t ( n-1) =1-可得：若 t t ( n-1 ) 就拒绝 h0，接受 h1；否则就认为 并不显著高于 0 。3. h1： 0 (左边检验左边检验) 由 p t -t (n-1) =1-可得：若 t 0 (右边检验右边检验)16 某厂生产的一种钢丝抗拉强度服从均值为10560(kg/c

10、m2)的正态分布，现采用新工艺生产了一种新钢丝，随机抽取10根测得抗拉强度为： 10512, 10623, 10668, 10554, 10776 10707, 10557, 10581, 10666, 10670 问在显著性水平 = 0.05下，新钢丝的平均抗拉强度比原钢丝是否有显著提高? 案例案例1. 检验新工艺的效果检验新工艺的效果17案例 1 解答：, 4 .10631xnsxt/0说明新工艺对提高钢丝绳的抗拉强度是有显著效果的。本案例为右边检验问题，设新钢丝的平均抗拉强度为 ， 2 未知，故使用t 检验。由题意，h0： =0，h1： 0由所给样本数据，可求得：s = 81，n =10

11、， =0.05，t0.05(9)=1.8331 t =2.7875 故拒绝 h0，即在水平 =0.05下， 显著高于 0。10/81105604 .106317875. 2 t(n-1) = t0.05(9) =1.833118在案例1中，若取 = 0.01，问结论如何?【解】 t0.01(9) = 2.8214， t =2.7875 p0 p 25%， 样本比例 p = 112/400 = 0.28nppppz/ )1 (000400/ )25. 01 (25. 025. 028. 03856. 1326. 201. 0 z22 设 h0： 2 = 02 (02为某一给定值)则当 h0为真时

12、，统计量 与前面分析完全类似地，可得如下检验方法：2022) 1(sn 统计量统计量 h1 拒绝域拒绝域 2022) 1(sn7.5 7.5 单个总体方差的检验单个总体方差的检验) 1(2n 2 02 2 02 2 02 2022) 1(sn 故拒绝 h0，即该机床加工精度已显著下降。 应立即停工检修，否则废品率会大大增加。) 1(2n【案例【案例2】 机床加工精度问题机床加工精度问题)8(2050.50715.25课堂练习 4 一台奶粉自动包装的包装精度指标为 标准差 = 0.005 (kg) 某天开工时，随机抽检了 10 袋产品，测得其样本标准差为 s = 0.00554 (kg) (1)在水平 = 0.25 下，检验该天包装机的包装精度是否符合要求。 (2)在本检验问题中，为什么要将 取得较大？26统计意义上的显著和实际的显著 有时，由于非常大的样本容量，你很有可能会得出统计意义上的显著性但实际中的显著性却很小。比如，假设在全国性的关于高档次的商业电视市场推广活动之前，你知道人们对你的品牌认知度是0.3。在活动结束之后，根据对20,000人的调查显示有6,168人认识你的品牌。单边检验希望能证明现在的认知比例是大于0.3,而p-值结果为0.0047，正确的统计结论是品牌名字消费者的比例现在取得了显著性改变