灰色预测模型及应用论文

1、灰色系统理论的研究摘 要：科学地预测尚未发生的事物是预测的根本目的和任务。无论个体还是组织，在制定和规划面向未来的策略过程中，预测都是必不可少的重要环节，它是科学决策的重要前提。在众多的预测方法中，灰色预测模型自开创以来一直深受许多学者的重视，它建模不需要太多的样本，不要求样本有较好的分布规律，计算量少而且有较强的适应性，灰色模型广泛运用于各种领域并取得了辉煌的成就。本文详细推导GM（1,1）模型，另外对灰关联度进行了进一步的改进，让改进的计算式具有唯一性和规范性。通过给出的实例高校传染病发病率情况，建立了GM(1,1)预测模型，并预测了1993年的传染病发病率。另外对传染病发病率较高的痢疾、

2、肝炎、疟疾三种疾病做了关联度分析，发现痢疾与整个传染病关系最密切，而肝炎、疟疾与整个传染病的密切程度依次差些。关键词：灰色预测模型；灰关联度；灰色系统理论22 灰色系统理论的研究 GM(1,1)预测与关联度的拓展1、引言 模型按照对研究对象的了解程度可分为：黑箱模型、白箱模型、灰箱模型。黑箱模型：信息缺乏，暗，混沌。白箱模型：信息完全，明朗，纯净。灰箱模型：信息不完全，若明若暗，多种成分。1.1、研究背景1.1.1、国内研究现状 灰色系统理论在我国提出至今已有二十几年的历史，它的应用引起了人们的广泛兴趣，不论是我国粮食发展决策中总产量预测模型，还是对湖北2000年宏观经济的发展趋势的量化分析，

3、抑或是河南人民胜利渠的最佳灌溉决策，还是武汉汉阳火车对火车装车吨位的预测等，无一不是灰色预测系统理论杰出的硕果。1.1.2、国外研究现状灰色系统理论在国际上也产生了很大的影响，IBM公司要求将灰色系统软件加入其为全球服务的管理软件库。目前英国、美国、德国、日本、澳大利亚、加拿大、奥地利、俄罗斯等国家、地区及国际组织有许多学者从事灰色系统的研究和应用。国内外84所高校开设了灰色系统课程，数百名博士、硕士研究生运用灰色系统的思想方法开展学科研究，撰写学位论文。国际、国内200多种学术期刊发表灰色系统论文，许多会议把灰色系统列为讨论专题，SCI、EI、ISTP、SA、MR、MA等纷纷检索我国灰色论著

4、。1.2、研究意义 邓聚龙教授提出灰色系统有着重要的意义: (1) 是系统思维和系统思想在方法论上的具体体现; (2) 是科学方法论上的重大进展, 具有原创性的科学意义和深远的学术影响 ，是对系统科学的新贡献。2、灰色系统及灰色预测的概念 2.1、灰色系统理论发展概况 2.1.1、灰色系统理论的提出 著名学者邓聚龙教授于20世纪70年代末、80年代初提出。 2.1.2、灰色系统理论的研究对象 灰色系统产生于控制理论的研究中。若一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是充足完全的，我们称之为白色系统。若一个系统的内部信息是一无所知，一团漆黑，只能从它同外部的联系来观测研究，这种系统便是黑色系

5、统。灰色系统介于二者之间，灰色系统的一部分信息是已知的，一部分是未知的。区别白色和灰色系统的重要标志是系统各因素间是否有确定的关系。2.1.3、灰色系统理论的应用范围在工程技术、社会、经济、农业、生态、环境等各种系统中经常会遇到信息不完全的情况。比如：农业方面，农田耕作面积往往因许多非农业的因素而改变，因此很难准确计算农田产量、产值，这是缺乏耕地面积信息；生物防治方面，害虫与天敌间的关系即使是明确的，但天敌与饵料、害虫与害虫间的许多关系却不明确，这是缺乏生物间的关联信息；一项土建工程，尽管材料、设备、施工计划、图纸是齐备的，可是还很难估计施工进度与质量，这是缺乏劳动力及技术水平的信息；一般社会

6、经济系统，除了输出的时间数据列（比如产值、产量、总收入、总支出等）外，其输入数据列不明确或者缺乏，因而难以建立确定的完整的模型，这是缺乏系统信息；工程系统是客观实体，有明确的“内”、“外”关系（即系统内部与系统外部，或系统本体与系统环境），可以较清楚地明确输入与输出，因此可以较方便地分析输入对输出的影响，可是社会、经济系统是抽象的对象，没有明确的“内”、“外”关系，不是客观实体，因此就难以分析输入（投入）对输出（产出）的影响，这是缺乏“模型信息”（即用什么模型，用什么量进行观测控制等信息）。信息不完全的情况归纳起来有：元素（参数）信息不完全；结构信息不完全；关系信息（特指“内”、“外”关系）不

7、完全；运行的行为信息不完全。一个商店可看作是一个系统，在人员、资金、损耗、销售信息完全明确的情况下，可算出该店的盈利大小、库存多少，可以判断商店的销售态势、资金的周转速度等，这样的系统是白色系统。遥远的某个星球，也可以看作一个系统，虽然知道其存在，但体积多大，质量多少，距离地球多远，这些信息完全不知道，这样的系统是黑色系统。人体是一个系统，人体的一些外部参数（如身高、体温、脉搏等）是已知的，而其他一些参数，如人体的穴位有多少，穴位的生物、化学、物理性能，生物的信息传递等尚未知道透彻，这样的系统是灰色系统。显然，黑色、灰色、白色都是一种相对的概念。世界上没有绝对的白色系统，因为任何系统总有未确知

8、的部分，也没有绝对的黑色系统，因为既然一无所知，也就无所谓该系统的存在了。2.1.4、三种不确定性系统研究方法的比较分析项目灰色系统 概率统计模糊数学研究对象贫信息不确定 随机不确定认知不确定基础集合灰色朦胧集 康托集模糊集方法依据信息覆盖 映射映射 途径手段灰序列算子 频率统计截集数据要求任意分布 典型分布隶属度可知侧重点内涵 内涵 外延目标现实规律历史统计规律认知表达特色小样本 大样本凭经验表12.2、灰色系统的特点灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的 “小样本”、“贫信息”不确定型系统的研究对象。 （1）用灰色数学来处理不确定量，使之量化。 在数学发展史上，最早研究的是确定型的

9、微分方程，即在拉普拉斯决定论框架内的数学。他认为一旦有了描写事物的微分方程及初值，就能确知事物任何时候的运动。随后发展了概率论与数理统计，用随机变量和随机过程来研究事物的状态和运动。模糊数学则研究没有清晰界限的事物，如儿童和少年之间没有确定的年龄界限加以截然划分等，它通过隶属函数来使模糊概念量化，因此能用模糊数学来描述如语言、不精确推理以及若干人文科学。灰色系统理论则认为不确定量是灰数，用灰色数学来处理不确定量，同样能使不确定量予以量化。1，2，3 不确定量 量化（用确定量的方法研究） 1、概率论与数理统计； 2、模糊数学； 3、灰色数学（灰色系统理论） （2）充分利用已知信息寻求系统的运动规

10、律。 研究灰色系统的关键是如何使灰色系统白化、模型化、优化。 灰色系统视不确定量为灰色量。提出了灰色系统建模的具体数学方法，它能利用时间序列来确定微分方程的参数。灰色预测不是把观测到的数据序列视为一个随机过程，而是看作随时间变化的灰色量或灰色过程，通过累加生成和累减生成逐步使灰色量白化，从而建立相应于微分方程解的模型并做出预报。这样，对某些大系统和长期预测问题，就可以发挥作用。 （3）灰色系统理论能处理贫信息系统。灰色预测模型只要求较短的观测资料即可，这和时间序列分析，多元分析等概率统计模型要求较长资料很不一样。因此，对于某些只有少量观测数据的项目来说，灰色预测是一种有用的工具。 2.3、常见

11、灰色系统模型 GM(1,1)模型 GM(1,N)模型 GM(0,N)模型 GM(2,1)模型 Verhulst模型目前，最常用、研究最多的是GM(1,1)模型。2.4、灰色预测灰色系统分析方法是通过鉴别系统因素之间发展趋势的相似或相异程度，即进行关联度分析，并通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。生成数据序列有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。灰色预测是用灰色模型GM(1,1)来进行定量分析的，通常分为以下几类：(1) 灰色时间序列预测。用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量（如产量、销量、人口数量、存款数量、利率等）构造灰色预

12、测模型，预测未来某一时刻的特征量，或者达到某特征量的时间。(2) 畸变预测（灾变预测）。通过模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。 (3) 波形预测，或称为拓扑预测，它是通过灰色模型预测事物未来变动的轨迹。 (4) 系统预测，是对系统行为特征指标建立一族相互关联的灰色预测理论模型，在预测系统整体变化的同时，预测系统各个环节的变化。上述灰预测方法的共同特点是：a.允许少数据预测；b.允许对灰因果律事件进行预测，比如:u 灰因白果律事件 在粮食生产预测中，影响粮食生产的因子很多，多到无法枚举，故为灰因，然而粮食产量却是具体的，故为白果。粮食预测即为灰因白果律事件预测。u 白

13、因灰果律事件 在开发项目前景预测时，开发项目的投入是具体的，为白因，而项目的效益暂时不很清楚，为灰果。项目前景预测即为灰因白果律事件预测。c.具有可检验性，包括：建模可行性的级比检验（事前检验），建模精度检验（模型检验），预测的滚动检验（预测检验）。2.5、基本概念2.5.1、灰数的概念在灰色系统中，灰数（或灰色数）是指信息不完全的数，例如：“那人的身高约为170cm、体重大致为60kg”，这里的“（约为）170（cm）”、“60”都是灰数，分别记为、。又如，“那女孩身高在157160cm之间”，则关于身高的灰数。记为灰数的白化默认数，简称白化数，则灰数为白化数的全体。灰数有离散灰数（属于离散

14、集）和连续灰数（属于某一区间）。灰数的运算符合集合运算规律。2.5.2、灰色生成数列 在灰色系统理论中，把随机变量看成灰数，即是在指定范围内变化的所有白色数的全体。对灰数的处理主要是利用苏剧处理方法寻求数据间的内在规律，通过对已知数据列中的数据尽心处理而产生新的数据列，以此来研究寻找数据的规律性，这种方法称为数据的生成。数据生成的常用方式有累加生成、累减生成和加权累加生成。2.5.3、累加生成把数列各项（时刻）数据依次累加的过程称为累加生成过程。由累加生成过程所得的数列称为累加生成数列。设原始数列为，令称所得到的新数列为数列的1次累加生成数列。类似地有，称为的次累加生成数列。 2.5.4、累减

15、生成 对于原始数据列依次做前后相邻的两个数据相减的运算过程称为累减生成过程（IAGO）。如果原始数据列为，令称所得到的数列为的1次累减生成数列。注：从这里的记号也可以看到，从原始数列，得到新数列，再通过累减生成可以还原出原始数列。实际运用中在数列的基础上预测出，通过累减生成得到预测数列。 2.5.5、加权邻值生成 设原始数列为，称为数列的邻值，为后邻值，为前邻值。对于常数，令由此得到的数列称为数列在权下的邻值生成数，权也称为生成系数。 特别地，当生成系数时，则称为均值生成数，也称等权邻值生成数。 2.5.6、关联度 a、关联系数 设，则关联系数定义为：式中:为第k个点与的绝对误差； 为两级最小

16、差； 为两级最大差； 称为分辨率，0<<1,一般取=0.5；对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数前应首先进行初始化，即将该序列所有数据分别除以第一个数据。b、关联度 称为与的关联度3、 简单的灰色预测GM(1,1)预测目前使用座广泛的灰色预测模型就是关于数列预测的一个变量、一阶微分的GM(1,1)模型。GM(1,1)模型是基于随机的原始时间序列，经按时间累加后所形成的新的时间序列呈现的规律可用一阶线性微分方程的解来逼近。经证明，经一阶线性微分方程的解逼近所揭示的原始时间数列呈指数变化规律。因此，当原始时间序列隐含着指数变化规律时，灰色模型GM(1,1)的预测将是非常成功的。3

17、.1、GM(1,1)预测模型的基本原理 设为原始数列，其1次累加生成数列为，其中定义的灰导数为令为数列的邻值生成数列，即 于是定义GM(1,1)的灰微分方程模型为 即 (1) 在式(1)中， 称为灰导数，称为发展系数，称为白化背景值，称为灰作用量。 将时刻代入(1)式有 (1) 引入矩阵向量记号：, , 数据向量 参数向量 数据矩阵 于是GM(1,1)模型可表示为 现在问题归结为求的值。用一元线性回归，即最小二乘法求它们的估计值为注：实际上回归分析中求估计值是用软件计算的，有标准程序求解，matlab, excel都可以。对于GM(1,1)的灰微分方程(1),如果将灰导数的时刻视为连续变量，则

18、视为时间的函数，于是对应于导数，让背景值对应于导数。于是GM(1,1)的灰微分方程对于的白微分方程为 (2)称之为GM(1,1)的白化型。式子(2)以初值的解为注：GM(1,1)的白化型(2)并不是由(1)直接推导出来的，仅仅是一种“借用”或“白化默认”。所以从GM(1,1)的白化型推导出来的结果，要在不与定义矛盾的情形下才成立。后面我们会看到，对数据列有要求。令为GM(1,1)建模序列，为的1-AGO序列，令为的紧邻均值（MEAN）生成序列则GM(1,1)的定义型，即GM(1,1)的灰微分方程模型为 （3） 模型符号含义为 G M （1， 1） Grey Model 1阶方程 1个变量 式中

19、称为发展系数，为灰色作用量。设为待估参数向量，即，则灰微分方程(3)的最小二乘估计参数列满足 其中 称 (4)为灰色微分方程的白化方程，也叫影子方程。如上所述，则有1） 白化方程的解也称时间响应函数为2） GM(1,1)灰色微分方程的时间响应序列为3） 取，则4） 还原值上式即为预测方程。有关建模的问题说明如下：1 定原始序列中的数据不一定要全部用来建模，对原始数据的取舍不同，可得模型不同，即和不同。2 模的数据取舍应保证建模序列等时距、相连，不得有跳跃出现。3 一般建模数据序列应当由最新的数据及其相邻数据构成，当再出现新数据时，可采用两种方法处理：一是将新信息加入原始序列中，重估参数；二是去

20、掉原始序列中最老的一个数据，再加上最新的数据，所形成的序列和原序列维数相等，再重估参数。 3.2、GM(1,1)模型检验GM(1,1)模型的检验分为三个方面：残差检验；关联度检验；后验差检验。3.2.1、残差检验残差大小检验，即对模型值和实际值的残差进行逐点检验。首先按模型计算，将累减生成，最后计算原始序列与的绝对残差序列及相对残差序列，并计算平均相对残差给定，当，且成立时，称模型为残差合格模型。3.2.2、关联度检验关联度检验，即通过考察模型值曲线和建模序列曲线的相似程度进行检验。按前面所述的关联度计算方法，计算出与原始序列的关联系数，然后算出关联度，根据经验，关联度大于0.6便是满意的。3

21、.2.3、后验差检验后验差检验，即对残差分布的统计特性进行检验。（1） 计算出原始序列的平均值： （2） 计算原始序列的均方差：（3） 计算残差的均值：（4） 计算残差的均方差：（5） 计算方差比C：（6） 计算小残差概率：令，即。若对于给定的当时，称模型为均方差比合格模型；如对给定的，当时，称模型为小残差概率合格模型。表2 后验差检验判别参照表模型精度>0.95<0.35优>0.80<0.5合格>0.70<0.65勉强合格<0.70>0.65不合格 若相对残差、关联度、后验差检验在允许的范围内，则可以用所建的模型进行预测，否则应进行残差修正。

22、3.3、GM(1,1)残差模型当原始数据序列建立的GM(1,1)模型检验不合格时，可以用GM(1,1)残差模型来修正。如果原始序列建立的GM(1,1)模型不够精确，也可以用GM(1,1)残差模型来提高精度。若用原始序列建立的GM(1,1)模型可获得生成序列的预测值，定义残差序列。若取，则对应的残差序列为：计算其生成序列，并据此建立相应的GM(1,1)模型：得修正模型 (5) 其中为修正参数。应用此模型时要考虑：1 一般不是使用全部残差数据来建立模型，而只是利用了部分残差。2 修正模型所代表的是差分微分方程，其修正作用与中的i的取值有关。 3.4、GM(1,N)模型如果考虑的系统由若干个相互影响

23、的因素组成，设为系统特征数据序列，而. . 为相关因素序列。为的1-AGO序列，为的紧邻生成序列，则称 （6）为GM(1,N)灰色微分方程。定义为GM(1,N)灰色微分方程的参数列，根据最小二乘法可以得出：式中 称 (7)为GM(1,N)灰色微分方程（6）的白化方程，也称影子方程。于是，我们有1） 白化方程（7）的解为2）当变化幅度很小时，可视为灰常量，这样，GM(1,N)灰色微分方程（6）的近似时间响应式为 (8)其中取为。3） 累减还原式为 (9)3.5、灰色系统建模的基本思路可以概括为以下几点： （1）建立模型常用的数据有以下几种：1科学实验数据；2经验数据；3生产数据；4决策数据。 （

24、2）序列生成数据是建立灰色模型的基础数据。 （3）一般非负序列累加生成后，得到准光滑序列，对于满足光滑条件的序列，即可建立GM微分模型。 （4）模型精度可以通过不同的灰数生成方式，数据的取舍，序列的调整、修正以及不同级别的残差GM模型补充得到提高。 （5）灰色系统理论采用残差大小检验、关联度检验、后验差检验三种方法检验、判断模型的精度。4、 灰色关联度分析4.1、灰色关联分析理论及方法对于两个系统之间的因素，其随时间或不同对象而变化的关联性大小的量度，称为关联度。在系统发展过程中，若两个因素变化的趋势具有一致性，即同步变化程度较高，即可谓二者关联程度较高；反之，则较低。因此，灰色关联分析方法，

25、是根据因素之间发展趋势的相似或相异程度，亦即“灰色关联度”，作为衡量因素间关联程度的一种方法。灰色系统理论提出了对各子系统进行灰色关联度分析的概念，意图透过一定的方法，去寻求系统中各子系统（或因素）之间的数值关系。因此，灰色关联度分析对于一个系统发展变化态势提供了量化的度量，非常适合动态历程分析。 在实际问题中，如社会系统、经济系统、农业系统、生态系统、教育系统等都包含有许多种因素，多种因素共同作用的结果决定了系统的发展态势，人们常常希望弄清在众多因素中，哪些是主要因素？哪些是次要因素？如粮食生产系统，我们希望提高粮食总产量，而影响粮食总产量的因素是多方面的，有播种面积、水利、肥料、土壤、种子

26、、劳力、气候、耕作技术和政策环境等。为了实现少投入多产出，并取得良好的经济效益、社会效益和生态效益，就必须进行系统分析。传统方法：数理统计中的回归分析、方差分析、主成分分析、因子分析等的不足之处：a 要求有大量数据，数据量少就难以找出统计规律；b 要求样本服从某个典型的概率分布，要求各因素数据与系统特征数据之间呈现线性关系且各因素之间彼此无关，这种要求往往难以满足；c 计算量大，一般要靠计算机帮助；d 可能出现量化结果与定性分析结果不符的现象，导致系统的关系和规律遭到歪曲和颠倒。关联度分析法便是对付这种情况的一副良药，它的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。一般地，曲

27、线越接近，相应序列之间的关联度就越大，反之就越小。 4.2、灰色关联技术的应用 直接应用：因素分析、方案决策、优势分析； 与其他方法结合：灰色关联和聚类方法相结合、灰色关联分析和层次分析法相结合、优化方法、非线性模型与灰关联分析相结合； 应用新领域：应用于安全科学中, 如煤矿安全的分析与评估；应用于 环境科学中, 如水质评价、大气环境质量评价等；应用于医学诊断中；应用于油田的开发中；应用于系统水文学中。 此外，在灰色关联技术的带动下，相继产生了灰色地质学、灰色育种学、灰色控制理论、灰色混沌理论、区域经济灰色系统分析、灰色价值学、灰色综防学等新兴学科。 4.3、灰色关联度计算式及改进 设一个母因

28、素的时间序列和子因素时间数列分别为 令，则称表示第时刻子因素和母因素的关联系数，其中称为分辨系数，一般取，.则母因素和子因素的关联度计算式定义为 （10）式（10）的关联度计算式存在如下问题：1 与分辨系数有关，的值不唯一.2 灰关联度不具有保序性.即不是的单调函数.对某个，可能，而对另外一个，可能.3 关联度不具有规范性.即对完全相关的子因素与母因素的时间序列，.例如，显然与完全相关，但是若取，则按上式算.4 灰关联分析不能体现负相关.由灰关联度计算式知。然而，设有两个时间序列显然有与存在典型的负相关.5 通常分辨系数，则有灰关联度的值恒大于或等于.鉴于上述关联度计算式存在的问题，有必要提出

29、改进的关联度计算式.文献提出改进的关联度计算式，步骤如下：a 作一次累减生成，即相当于所在曲线上不同时点的斜率. .b 计算与两时间数列的标准差，记 ， ， ， .即和分别表示两时间数列和的均值，分别表示两时间数列和的标准差.c 计算时刻，的关联系数.,其中 d 计算与的灰关联度 . (11)上述改进的灰关联度式（11）具有唯一性和规范性，即且当且仅当与完全相关.5、传染病的问题据统计，高校传染病发病率情况如下，试建立GM(1,1)预测模型，并预测1993年的传染病发病率。另外传染病发病率较高的为痢疾、肝炎、疟疾，那么哪一种疾病更危害学生的健康呢？历来只有经验估计，如下统计表（表3），没有定量

30、分析。年度198419851986198719881989199019911992发病率100.2385.6264.5386.63105.8983.55316.47135.9356.56痢疾率19.4644.1930.9845.8655.4760.34271.994.9338.28肝炎率9.378.2925.8138.2225.2118.5733.4336.6814.14疟疾率71.3433.147.742.5525.214.6411.144.324.04表3 5.1、传染病发病率的的预测解：设第1步 构造累加生成序列第2步 构造数据矩阵和数据向量第3步 计算 第4步 得出预测模型第5步 残差

31、检验(1)根据预测公式，计算，得(2) 累减生成序列, 原始序列:(3)计算绝对残差和相对残差序列绝对残差序列：相对残差序列：第6步 进行关联度检验(1) 计算序列与的绝对残差序列(2) 计算关联系数由于只有两个序列（即一个参考序列，一个被比较序列）故不再寻求第二级最小差和最大差。求得(3) 计算关联度不满足时的检验准则的。第7步 后验差检验(1) 计算：(2) 计算序列的均方差：(3) 计算残差的均值：(4) 计算残差的均方差：(5) 计算：(6) 计算小残差概率： 可得小残差概率为，故见表2（ 后验差检验判别参照表），因此模型勉强合格。第8步 预测：即1993年的传染病发病率预测值为157

32、.13。（详见附件matlab程序1、2、3） 5.2、三种传染病的关联分析 建模 步1：数据处理 步2：计算关联度系数。经计算 据前文分析，设分辨系数为0.5。 将相应的与的数值代入式中，得 步3：算出关联度。由公式分别计算出痢疾、肝炎、疟疾关于整个传染病的关联度： 步4：比较关联度大小给出结论。由，说明痢疾发病与整个传染病关系最密切，而肝炎、疟疾与整个传染病的密切程度依次差些。（见附件4）所得到的结论是：通过高校传染病发病率情况，建立灰色预测模型，预测得到1993年的发病率为157.13。另外利用灰色关联度分析了三大传染病在高校传染病中的相关关系，得到关联度大小比较，知道在大学生中防治传染

33、病，首先要防治好痢疾。从医学角度看，虽然肝炎的影响不如痢疾，但肝炎病对人体的影响大，又不易治愈，所以高校对肝炎的防治也不能放松。 6、 小 结本文对灰色预测模型进行了推导研究，对GM(1,1)模型进行了残差、关联度及后验差检验，并推广了GM(1,1)模型到GM(1,N)模型。另外对灰关联度技术进行了说明并进一步推导进行了改进。 灰色模型是一个较新的研究方向，有许多问题需要进一步研究和探讨，由于时间有限，本文只是对灰色预测模型技术进行了一些初步的探讨，今后将在下述问题上进一步深入研究： 1本文只是对背景值、数据序列函数变换和初始条件选择进行了研究，没有对影响灰色预测模型精度的其它因素进行研究，所

34、以需要给出进一步优化灰色模型的方法。2灰色模型与其它模型的组合研究，比如与回归模型，马尔可夫模型的组合研究。 另外matlab语言具有良好的运行环境、强大的函数资源，其编程效率远远高于其他高级语言。多变量灰色预测模型广泛的应用于许多领域。但该模型参数估计以及预测都需要经过比较复杂的计算，本文灰色预测模型通过matlab程序能够方便的解决模型的计算问题。 参考文献：1宋健.人口预测与人口控制M.北京:人民出版社,1980.2邓聚龙.灰色系统理论基教程M.武汉:华中科技大学出版社,1990.3骆平,王绍锦等.辽阳地区1997-2005年日最大负荷及供电负荷预测J.华北电力技术,1997,6:33-

35、34.4陈华友，吴涛，许义生.灰关联空间与灰关联度计算的改进J.安徽大学学报（自然科学版），1999,23（4）：1-4.5谭冠军.GM(1,1)模型的背景值构造方法和应用(1)J.系统工程理论与实践,2000,(4):98- 103.6王义闹,刘开第,李应川.优化灰导数白化值的 GM(1,1)建模法J.系统工程理论与实践,2001, 21(5):124-128.7吕林正,吴文江.灰色模型GM(1,1)优化探讨J.系统工程理论与实践,2001,(8):92-96.8邓聚龙.灰色理论基础M.武汉:华中科技大学出版社,2002.9罗党,刘思锋,党耀国.灰色 GM(1,1)优化J.中国工程科学,20

36、03,(8):50-53.附 录附件1：GM程序(matlab)clc;clear;%X=5698,5703,5707,5719,5724;785,788,789,789,790;5767,5775,5790,5804,5811; %X=2.67,3.13,3.25,3.36,3.56,3.72;X=100.23,85.62,64.53,86.63,105.89,83.55,316.47,135.93,56.56;N=size(X);m1=N(1);m2=N(2);%m1和m2分别表示X的行数和列数 k0=3;%预测的阶数-1 for i=1:m1 n=i x0=X(i,:) E=triu(o

37、nes(m2); x1=x0*E;%E表示元素为1上三角阵 b1=x1 b1(m1)=; b2=x1 b2(m2)=; b=-0.5*(b1+b2) B=b;ones(1,m2-1); B=B' B'*B inv(B'*B) y0=x0; y0(1)=; y0=y0' A=(inv(B'*B)*B')*y0 a=A(1),u=A(2),u_a=u/a k=0:m2+k0; x2=(x0(1)-u_a)*exp(-k*a)+u_a; x3=x2 x3(m2+k0+1)=; x4=0 x3; x5=x2-x4 x6=x5(1:m2); Q=x0-x6

38、 r=Q./x0 s1=std(x0) Qmean=mean(Q) s2=std(Q) C=s2/s1 D=abs(Q-Qmean) p0=0.6745*s1 t=0; for j=1:m2 d=D(j); if(d<p0) t=t+1; end end P=t/m2 end 附件2：GM11fcn程序function Xe=GM11fcn(solution,iter)% 包含了GM(1,1)预测中累积量X1的解析通式。输入解析式系数solution和% 欲预测的iter代数，输出从1到iter代的预测值k=1:iter;temp=solution(1,1).*exp(solution(

39、1,2).*(k-1)+solution(1,3);Xe(1)=temp(1);for i=2:length(k) Xe(i)=temp(i)-temp(i-1);End附件3：GM11程序function solution p C error=GM11(x0)% GM(1,1)预测。输入X0，输出累计量X1的解析表达式的系数solution，预测% 评价指标p、C，预测值与样本相对误差error%x0=2.67,3.13,3.25,3.36,3.56,3.72;%gm1(x); 测试数据 x0=100.23,85.62,64.53,86.63,105.89,83.55,316.47,135.93,56.56;leng=length(x0)for j=1:leng x1(j)=sum(x0(1,1:j);endz(1)=x1(1);for j=2:leng z(j)=0.5 0.5*x1(j) x1(j-1)'endB=-z(1,2:leng)' ones(leng-1,1)Y=x0(1,2:leng)'A=inv(B'*B)*B'*Ya=A(1)b=A(2)solution=x0(1