极坐标与参数方程知识讲解

1、参数方程和极坐标系一、知识要点（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中， 如果曲线上任意一点的坐标x、y 都是某个变数 t 的函数，即xf (t)yf (t )并且对于 t 每一个允许值，由方程组所确定的点M（ x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、 y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数（二）常见曲线的参数方程如下：1过定点（ x，y ），倾角为的直线：00xx0 t cos（ t 为参数）yy0t sin其中参数t 是以定点 P（x0，y0）为起点，对应于t 点 M（ x，y）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点 M 间的有向距离根据 t 的几何

2、意义，有以下结论设A、 B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA 和 tB，则 AB tBtA1(t Bt A )24t A t B t At B 线段 AB 的中点所对应的参数值等于222中心在（ x0，y0），半径等于r 的圆：xx0r cos为参数）yy0（r sin3中心在原点，焦点在x 轴（或 y 轴）上的椭圆：xa cos（ 为参数）（或xb cosyb siny）a sin中 心 在 点 （ x0,y0）焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程xx0a cos ,为参数）yy0(b sin .4中心在原点，焦点在x 轴（或 y 轴）上的双曲线：xa sec为参数）（或xbt

3、gy（y）btgasec5顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：x2 pt 2y2 pt直线的参数方程和参数的几何意义（ t 为参数， p 0）过定点 P（ x0 ，y0 ），倾斜角为的直线的参数方程是xx0t cos（ t 为参数）yy0t sinJ3.2 极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向） 。对于平面内的任意一点M，用表示线段 OM的长度，表示从 Ox 到 OM的角， 叫做点 M的极径， 叫做点 M的极角， 有序数对 ( , ) 就叫做点 M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。MOx图12、

4、极坐标有四个要素：极点；极轴；长度单位；角度单位及它的方向极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应惟一点 P(，)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(, 2k)或（， (2k1)），( kZ)极点的极径为0，而极角任意取若对、的取值范围加以限制则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定>0，02或<0，等极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的即一个点的极坐标是不惟一的3、直线相对于极坐标系的几种不同的

5、位置方程的形式分别为：aa0coscosaasinsinM（，）0Ox图10Macos(MOa图2acos)Ma O图3acosM（，）aOaaN (a ,)O图4asinM图5asinOp图6acos()4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为(a0) ：a2a cos2a cos2a sin2a sin2a cos()MMMaaOxOxOax图3图1图22acosa2 a cosMOxMaMa( a, )aOx图5Ox图4图62asin2a sin2a cos()5 、极坐标与直角坐标互化公式：y( , )NxMyxOx2 y22Hcosysintany( x 0)x（直极互化

6、图）例题（ j3.1 参数方程）例 1.讨论下列问题：1、已知一条直线上两点M 1 x1 , y1 、 M 2 x2 , y2 ，以分点M（ x， y）分 M 1M 2 所成的比为参数，写出参数方程。3x3t2、直线2(t 为参数 )的倾斜角是y11 t2A B 5D263C363、方程x1t cos（ t 为非零常数，为参数）表示的曲线是()y3t sinA 直线B圆C椭圆D双曲线x5cosP(5， 23 )的离心角可4、已知椭圆的参数方程是（为参数），则椭圆上一点y4sin2以是AB 245C3D333例 2 把弹道曲线的参数方程xv0 cost,(1)1 gt 2 ,yv0 sint化成

7、普通方程(2)2例 3. 将下列数方程化成普通方程 x2t 2x2x1t 2xa(t1) ，xmy1，1t 2，1t 2，ty2ty2ty2tyb(t1)ymx11t 21t 2t6xa cos,( 为参数 , a b0)7xcos2yb sin .ysin例 4. 直线 3x 2y6=0，令 y = tx 6（ t 为参数）求直线的参数方程例 5.已知圆锥曲线方程是x3t 5cos1y6t 24 sin5（1）若 t 为参数，为常数，求该曲线的普通方程，并求出焦点到准线的距离；（2）若 为参数， t 为常数，求这圆锥曲线的普通方程并求它的离心率。例 6. 在圆 x2 2x y2=0 上求一点

8、，使它到直线2x 3y5=0 的距离最大例 7. 在椭圆 4x2 9y2=36 上求一点P，使它到直线x 2y 18=0 的距离最短（或最长） 例 8.已知直线； l：x13t与双曲线 （ y-2）2-x2= 1 相交于 A 、 B 两点， P 点坐标 P(-1， 2)。y24t求：（ 1） |PA|.|PB|的值；（ 2）弦长 |AB|;弦 AB 中点 M 与点 P的距离。例 9.已知 A（ 2,0）,点 B,C 在圆 x2+y 2=4 上移动，且有 BAC2求ABC 重心 G 的轨迹方程。3例 10.已知椭圆 x 2y 21和圆 x22在椭圆上求一点12,12328+(y-6) =5,P

9、,在圆上求一点P 使|P P |达到最大值，并求出此最大值。例 11.已知直线 l 过定点 P(-2,0),与抛物线 C: x2+ y-8=0 相交于 A 、 B 两点。（ 1）若 P 为线段 AB 的中点，求直线 l 的方程；（ 2）若 l 绕 P 点转动，求 AB 的中点 M 的方程 .例 12.椭圆 x2y 21( a b 0) 上是否存在点 P，使得由 P 点向圆 x2+y 2=b 2 所引的两条切线a2b2互相垂直？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。例题（ J3.2 极坐标系）例 1 讨论下列问题：1在同一极坐标系中与极坐标M（ 2, 40°）表示同一点的极坐标

10、是（）（ A）（ 2, 220°）（ B）( 2, 140° )（ C） (2, 140° )（ D） (2, 40°)2已知 ABC 的三个顶点的极坐标分别为A(4， 0° ), B( 4, 120° ), C(23 2, 30°)，则ABC 为( )。（ A）正三角形（B）等腰直角三角形（ C）直角非等腰三角形（ D）等腰非直角三角形3在直角坐标系中，已知点M( 2， 1)，以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，当极角在 ( ， 内时， M 点的极坐标为（）（ A）（5 ， argtg( 1)）2（ B）

11、（ 5 ， argtg( 1)（ C）（5 ， argtg1 ）（ D）（5 ， argtg 1 ）222例 2.把点 A( 5,), B(3,4) 的极坐标化为直角坐标。6例 3.把点 M(3,1), N(0,3), P(2,0) 的直角坐标化为极坐标。例 4.已知正三角形ABC 中，顶点 A 、B 的极坐标分别为A(1,0), B(3,) ，试求顶点 C 的极坐标。2例 5.化圆的直角方程x2+y 2-2ax=0 为极坐标方程。例 6.化圆锥曲线的极坐标方程ep为直角坐标方程。iecos例 7.讨论下列问题：1在极坐标系里，过点 M（ 4， 30°）而平行于极轴的直线的方程是（）

12、（ A） sin2 （B）sin 2（ C）cos2（ D）cos22在极坐标系中，已知两点112( 6， arccos(2212M (4 ，arcsin)， M3)，则线段M M3的中点极坐标为（）（ A） ( 1， arccos 22)（ B） (1, arcsin1)33（ C） ( 1， arccos( 2 2)（ D） (1,arcsin1)333. 已知 P 点的极坐标是(1,)，则过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是（）。（ A） =1（ B） cos（C） cos = 1（ D） cos =14. 若 >0, 则下列极坐标方程中，表示直线的是（）。3（ A） =（ B

13、）cos =(0 )（ C） tg =1（D ）sin =1(0 32 )5.若点 A( 4,7 ) 与 B 关于直线 =对称，在 >0, <条件下， B 的极坐标63是。6.直线 cos()=1 与极轴所成的角是。47.直线 cos( )=1 与直线 sin( )=1 的位置关系是。8.直线 y=kx 1 (k<0 且 k12sin sin2 0 的公共点的个数是（）。)与曲线2（ A）0 （B）1 （C）2 （D）3例 8.讨论下列问题；1.圆的半径是 1，圆心的极坐标是 (1,0)，则这个圆的极坐标方程是（）。（ A） cos （ B） sin（ C） 2cos （ D

14、 ） 2sin2.极坐标方程分别是 cos和 sin的两个圆的圆心距是（）。（ A）2 （B） 22（C）1 （D）23. 在极坐标系中和圆=4sin相切的一条直线方程是（）（ A） sin =2 （ B） cos =2 （ C） sin=4（ D） cos=44圆 D cos Esin与极轴相切的充分必要条件是（）（ A）D·E0 （B）D2E20 （C）D0，E0 （D）D0，E05圆2 3 sin 2cos的圆心的极坐标为。6.若圆的极坐标方程为=6cos，则这个圆的面积是。7.若圆的极坐标方程为=4sin ，则这个圆的直角坐标方程为。8.设有半径为 4 的圆，它在极坐标系内的圆心的极坐标为( 4, 0)，则这个圆的极坐标方程为。例9.当 a、 b、 c 满足什么条件时，直线1与圆2c cos 相切？a cosb sin例 10.试把极坐标方程23 sin26cos 0 化为直角坐标方程，并就m 值的变化m cos讨论曲线的形状。例 11.过抛物线 y2=