流体力学第3章流体运动学和动力学基础

1、第三章第三章 流体运动学和动流体运动学和动力学基础力学基础主要内容主要内容3.1 研究流体运动的方法研究流体运动的方法 3.10 粘性流体总流的伯努利方程粘性流体总流的伯努利方程3.1 研究流体运动的方法研究流体运动的方法当地法当地法描述方法描述方法随体法随体法拉格朗日法拉格朗日法 欧拉法欧拉法质点轨迹：质点轨迹：)(a,b,c,tr rr r参数分布：参数分布：b = b（x, y, z, t） 根据连续介质的假设，流体是由质点组成的，无根据连续介质的假设，流体是由质点组成的，无空隙地充满所占据的空间。对于无数多的流体质点，空隙地充满所占据的空间。对于无数多的流体质点，当其发生运动时，如何正

2、确描述和区分各流体质点的当其发生运动时，如何正确描述和区分各流体质点的运动行为，将是流体运动学必须回答的问题。描述流运动行为，将是流体运动学必须回答的问题。描述流体运动的方法有两种。体运动的方法有两种。观察者观察者着眼于着眼于个别流体质点的个别流体质点的流动行流动行为为，通过跟踪每个质点的运动历程，从而获得整，通过跟踪每个质点的运动历程，从而获得整个流场的运动规律。（引出迹线的概念）个流场的运动规律。（引出迹线的概念）)()()(tcbazztcbayytcbaxx，ttcbaztcbavvttcbaytcbavvttcbaxtcbavvzzyyxx)()()()()()(，：222222)(

3、)()()()()()()()(ttcbazttcbavtcbaaattcbayttcbavtcbaaattcbaxttcbavtcbaaazyyyyyxxx，： 直观性强、物理概念明确、可以描述直观性强、物理概念明确、可以描述各质点的时变过程各质点的时变过程 数学求解较为困难，一般问题研究中数学求解较为困难，一般问题研究中很少采用很少采用 euler法（欧拉法）法（欧拉法） 欧拉方法的欧拉方法的着眼点着眼点不是流体质点而是不是流体质点而是空间点空间点。考察。考察不同流体质点通过空间固定点的流动行为，通过记录不同空间不同流体质点通过空间固定点的流动行为，通过记录不同空间点流体质点经过的运动情况

4、，从而获得整个流场的运动规律。点流体质点经过的运动情况，从而获得整个流场的运动规律。 在固定空间点看到的是不同流体质点的运动变化，无法像在固定空间点看到的是不同流体质点的运动变化，无法像拉格朗日方法那样直接记录同一质点的时间历程。拉格朗日方法那样直接记录同一质点的时间历程。空间点坐标空间点坐标),(zyx),(tzyxvv ),(tzyxpp ),(tzyx应该指出，速度场的表达本质上指的是该瞬时恰好应该指出，速度场的表达本质上指的是该瞬时恰好通过该空间点的流体微团所具有的速度通过该空间点的流体微团所具有的速度 。一个速度场即使没有解析表达式，但只要有离散的数据点，也可以描绘出流即使没有解析表

5、达式，但只要有离散的数据点，也可以描绘出流场，例如下图就是用某时刻下速度的空间分布描绘的一个速度场场，例如下图就是用某时刻下速度的空间分布描绘的一个速度场: : 一个布满了某种物理量的空间称为场。一个布满了某种物理量的空间称为场。除速度场之外，还有压强场。在高速流除速度场之外，还有压强场。在高速流动时，气流的密度和温度也随流动有变动时，气流的密度和温度也随流动有变化，那就还有一个密度场和温度场。这化，那就还有一个密度场和温度场。这都包括在流场的概念之内。都包括在流场的概念之内。 质点加速度与质点导数质点加速度与质点导数 质点加速度质点加速度 - 质点速度矢量v对时间的变化率。 1000liml

6、imtttt vvva质点加速度10(,)( , , , ) xx yy zz ttx y z ttxyztxyz vvvvvvv0( , , , )x y z tv1(,)xx yy zz ttv00limlimttxyzttxtytzt vvvvva , , xu tyv tzw t uvwtxyzvvvva()tvavvxyz ijk采用微分算子 xyzuuuuauvwtxyzvvvvauvwtxyzwwwwauvwtxyz当地加速度迁移加速度 质点的加速度包括两个部分：（1）当地加速度（局部加速度） 特定空间点上速度 对时间的变化率； （2）迁移加速度 （对流加速度） 对应于质点空间位

7、置 改变所产生的速度变化。质点导数质点导数 - 质点质点物理参数对时间的变化率。物理参数对时间的变化率。 物理参数的物理参数的质点导数质点导数 = = 当地导数当地导数 + + 迁移导数迁移导数 duvwdttxyzduvwdttxyz例例 拉格朗日法拉格朗日法 欧拉法欧拉法两种方法的比较比较两种方法的比较比较分别描述有限质点的轨迹分别描述有限质点的轨迹 同时描述所有质点的瞬时参数同时描述所有质点的瞬时参数表达式复杂表达式复杂 表达式简单表达式简单不能直接反映参数的空间分布不能直接反映参数的空间分布 直接反映参数的空间分布直接反映参数的空间分布不适合描述流体元的运动变形特性不适合描述流体元的运

8、动变形特性 适合描述流体元的运动变形特性适合描述流体元的运动变形特性 拉格朗日观点是重要的拉格朗日观点是重要的 流体力学最常用的解析方法流体力学最常用的解析方法由速度分布求质点轨迹由速度分布求质点轨迹求：求： 在在t = 0时刻位于点（时刻位于点（a,b）的流体质点的运动轨迹。的流体质点的运动轨迹。解：解：对某时刻对某时刻t 位于坐标点上位于坐标点上(x,y)的质点的质点 求解一阶常微分求解一阶常微分方程（方程（a）可得）可得已知已知: 已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为(a) kttyvttxvyxdddd(b) ktvtvyx2212221ctkyct

9、x讨论：讨论：本例说明虽然给出的是速度分布式（欧拉法），即各本例说明虽然给出的是速度分布式（欧拉法），即各空间点上速度分量随时间的变化规律，仍然可由此求空间点上速度分量随时间的变化规律，仍然可由此求出指定流体质点在不同时刻经历的空间位置，即运动出指定流体质点在不同时刻经历的空间位置，即运动轨迹（拉格朗日法）。轨迹（拉格朗日法）。代入代入(b)式，可得参数形式的流体质点轨迹方程为式，可得参数形式的流体质点轨迹方程为c1 ，c2 为积分常数，由为积分常数，由t = 0时刻流体质点位于时刻流体质点位于 可确定可确定,xa yb12 c1=a, c2=bbtkyatx22221 tzyx;,bb 0t

10、zyx,bb 0t kjirtcbaztcbaytcbax,tzyx,vdtrddtdvr dttzyxvdztzyxvdytzyxvdxzyx, 0tt cba,kjirdzdydxdtzyx,v0vrd),(),(),(tzyxvdztzyxvdytzyxvdxzyxlagrangeeuler例例3-1 已知速度场为已知速度场为0 zyxvkyvkxv0y其中其中k为常数，试求流线方程。为常数，试求流线方程。代入流线方程，可得代入流线方程，可得kydykxdx积分上式的流线方程为积分上式的流线方程为cxy 该流动的流线为一族等角双曲线。该流动的流线为一族等角双曲线。 流线的性质：流线的性质

11、： 解解 流动为二维定常流流动为二维定常流xoyyx,xyo （1 1）一般情况下，流线不能相交，且只能是一条光滑曲线；）一般情况下，流线不能相交，且只能是一条光滑曲线； （2 2）在定常流动条件下，流线的形状、位置不随时间变化，）在定常流动条件下，流线的形状、位置不随时间变化， 且流线与迹线重合。且流线与迹线重合。积分得任一时刻积分得任一时刻 t 流线族为：流线族为：0,2,12aayvtaxvyxaydyaxdxt22)1 (cyxt )1(t=0时刻流线族为：时刻流线族为： （这也是定常流流线族）（这也是定常流流线族）cxy )2(axvx解：解：1. 求流线，由流线方程（其中求流线，由

12、流线方程（其中 t 固定当常数看）：固定当常数看）：例例3-2. 设有一个二维非定常流场其速度分布是设有一个二维非定常流场其速度分布是 ：求求t=0时过（时过（1，1）的流线和迹线。问定常时）的流线和迹线。问定常时 结果如何？结果如何？过（过（1，1）流线：）流线：1xy2. 求迹线，由迹线方程（其中求迹线，由迹线方程（其中t为自变量）：为自变量）：aydtdytaxdtdx2,12积分得迹线参数方程：积分得迹线参数方程：ataecytcx2221,)1 (由初始条件定得由初始条件定得c1=c2=1, 故所求的迹线参数方程为：故所求的迹线参数方程为：ataeytx22,)1 (aydtdyax

13、dtdx2,2积分得：积分得：atatecyecx2221,由初始条件定得由初始条件定得 c1=c2=1，故所求为：，故所求为：atateyex22,消去消去t t 得：得：1xy可见定常时迹线与流线重合。可见定常时迹线与流线重合。当流动为定常时当流动为定常时 再求迹线。再求迹线。由迹线方程：由迹线方程：ayvaxvyx2,2 求：求： （1）质点）质点a的迹线方程；的迹线方程；解：此流场属不定常流场。解：此流场属不定常流场。例例3-3：设速度场为：设速度场为 vx = t+1 ,v y= 1，t = 0时刻流体质点时刻流体质点a位于原点。位于原点。(1)(1)由欧拉迹线方程式，本例迹线方程组

14、为由欧拉迹线方程式，本例迹线方程组为（2）t = 0时刻过原点的流线方程；时刻过原点的流线方程；（3）t = 1时刻质点时刻质点a的运动方向。的运动方向。1dd1ddtyttx1dd1ddtyttx由上两式分别积分可得由上两式分别积分可得21221ctycttx t = 0时质点时质点a 位于位于x =y =0，得，得c1= c2= 0。质点质点a的的迹线方程为迹线方程为tyttx221(a)消去参数消去参数 t 可得可得21) 1(212122yyyx上式表明质点上式表明质点a的迹线是一条以（的迹线是一条以（1/2，1）为顶点，）为顶点，且通过原点的抛物线。且通过原点的抛物线。（2）由流线微

15、分方程式，）由流线微分方程式，1d1dytx积分可得积分可得cytx1(b)在在 t = 0时刻，流线通过原点时刻，流线通过原点 x = y = 0，可得，可得c = 0，相应的流线方程为相应的流线方程为（c）x = y3/211 1c 可得可得c = 1/4 。这是过原点的一、三象限角平分线，与质点这是过原点的一、三象限角平分线，与质点a a的迹线的迹线在原点相切。在原点相切。(3)(3)为确定为确定t = 1时刻质点时刻质点a a的运动方向，需求此时刻过的运动方向，需求此时刻过质点质点a所在位置的流线方程。由迹线参数式方程所在位置的流线方程。由迹线参数式方程(a)(a)可可确定，确定，t

16、=1时刻质点时刻质点 a位于位于x =3/2，y =1位置，代入流位置，代入流线方程线方程(b)(b)讨论：讨论： 以上可见，不定常流动中迹线与流线不重合；以上可见，不定常流动中迹线与流线不重合；不同时刻通过某固定点的流线可以不同（见不同时刻通过某固定点的流线可以不同（见b b式），通过某流体质点所在位置的流线也可以式），通过某流体质点所在位置的流线也可以不同（见不同（见c c和和d d式）。式）。t = 1时刻过流体质点时刻过流体质点a所在位所在位置的流线方程为置的流线方程为x = 2 y1/2 (d)上式是一条与流体质点上式是一条与流体质点 a的的迹线相切于（迹线相切于（3/23/2，1

17、1）点的）点的斜直线，运动方向为沿该直斜直线，运动方向为沿该直线朝线朝 x, y值增大方向。值增大方向。ttttxvx10)5(dddd2txxxttvydd12525ddddy23221010)5(125ttt10tvaxx430ttvayy例例3-4 在任意时刻，流体质点的位置是在任意时刻，流体质点的位置是x=5t2，其迹线为双曲线其迹线为双曲线xy=25。质点速度和加速度在。质点速度和加速度在x和和y方向的分量为多少？方向的分量为多少？解解 aqvv质量流量（质量流量（ ）：）：skg /anaamdavdanvvq),cos(davsm /3sm /3体积流量（体积流量（ ）：）：sm

18、 /3anaavdavdanvvq),cos(dav流量与平均速度流量与平均速度例例3-5 粘性流体在圆管（半径粘性流体在圆管（半径r）内作定常流动。内作定常流动。设圆截面上有两种速度分布，一种是抛物线分布设圆截面上有两种速度分布，一种是抛物线分布,另一种是另一种是1/7次幂分布：次幂分布：2m111rrvv7/12m21rrvv上式中上式中vm1、vm2分别为两种速分别为两种速度分布在管轴上的最大速度。度分布在管轴上的最大速度。 求：两种速度分布的（求：两种速度分布的（1）流量）流量qv的表达式；（的表达式；（2）截面上平均速度截面上平均速度 。v解：解：（1 1）流量计算时）流量计算时da

19、 = 2rdr，抛物线分布的流量为，抛物线分布的流量为rrrrrrvrrrrv02301m221md2d21avq(1 vn )da =21m02421m5 . 0422rvrrrvr1 / 7次幂分布的流量为分布的流量为avq(2rrrrrv07/12md2)1 ( vn )darrrrrrv07/87/1522m7/8)/1 (7/15/1222m22m2m28167. 012098815772rvrvvr)d(1)1 ()1 (2)d(1)11 ()1 (2d2)1 (07/17/822027/1207/12mrrrrrrrvrrrrrrrvrrrrvrmrmr（2 2）抛物线分布和）抛

20、物线分布和1 / 7次幂分布的平均速度分别为次幂分布的平均速度分别为1m2115 . 0 vrqvv2m2228167. 0vrqvv讨论：讨论：抛物线速度分布的截面平均速度为最大速度的一抛物线速度分布的截面平均速度为最大速度的一半，而半，而1/71/7次幂分布的截面平均速度为最大速度次幂分布的截面平均速度为最大速度的的0.81670.8167倍，这是后者的速度廓线中部更平坦，倍，这是后者的速度廓线中部更平坦，速度分布更均匀的缘故。速度分布更均匀的缘故。 /arhhbbhbhbhd2)(2412212122)44(4dddddddddssddssd212214)4(4hrad44hraddd4

21、42作业：作业： 3-2， 3-4 ， 3-7 v s )(tssystemcontrol volumevs)(tvcontrol surface)(tf 系统和控制体vdvntdvdvdvdtddtdntvttvtv)()(lim0i iiiivvviiii ivvcsncvdavdvtdtdn某物理量变化率某物理量变化率 体内变化率体内变化率 净通量净通量定常条件下：定常条件下： = 0 + 随体导数随体导数 当地导数当地导数 迁移导数迁移导数cv 控制体；控制体； cs 控制面。控制面。输运公式输运公式控制体广延量随时间变化率控制体广延量随时间变化率, ,称为当地变化率称为当地变化率 控

22、制体形式的系统导数控制体形式的系统导数syscvcsddddnatt v n通过控制面净流出的广延量流量通过控制面净流出的广延量流量, ,称为迁移变化率称为迁移变化率 当流场定常时当流场定常时, 0当流场均匀时当流场均匀时, 0 输运公式计算取决于控制体输运公式计算取决于控制体(面面)的选择的选择 davdvtdtdncsncv vmdvn，10davdvtcvcsn0dtdmdtdn ：0davcsn：davdavanan212211a1，a2为管道上的为管道上的任意两个截面任意两个截面截面截面a1上的上的质量流量质量流量 1v2v222111avav 截面截面a2上的上的质量流量质量流量2

23、211avav微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程()()d d dd dd d duuuxy ztu y ztx y ztxx x，y，z方向净流出质量为方向净流出质量为,yv,xuzw因密度变化引起的质量减少为因密度变化引起的质量减少为t由质量守恒定律由质量守恒定律tzwyvxu单位时间单位体积内单位时间单位体积内边长为边长为dx,dy,dz的长方体控制体元，的长方体控制体元， t内内x方向净流出的质量方向净流出的质量用场量公式并运用质点导数概念，微分形式连续性方程为用场量公式并运用质点导数概念，微分形式连续性方程为d0dt v或改写为：或改写为：1 ddt v左边代表一点邻域内流体体

24、积的相对膨胀速率，右边代表密度左边代表一点邻域内流体体积的相对膨胀速率，右边代表密度相对减少率。连续性方程适用于任何同种流体。相对减少率。连续性方程适用于任何同种流体。不可压缩流体连续性方程不可压缩流体连续性方程0uvw( )txyztv0 v有一不可压缩流体平面流动，其速度分布规律为有一不可压缩流体平面流动，其速度分布规律为u=x2siny，v=2xcosy，试分析该流动是否连续。，试分析该流动是否连续。 yxxusin2yxyvsin20)sin2(sin2yxyxyvxu故此流动是连续的。故此流动是连续的。解解 vdvvnv,davdvtdtdncsncv davdvvtdvvdtdnc

25、scvvdapdvfdvvdtdcsncvv质量力质量力表面力表面力：dapdvfdavvcsncvncsdavvdavfnana12favdavaa22davvaaa2)(11：)()()(121212zzvzyyvyxxvxvvqfvvqfvvqf vdvvrnvr,advvrdvvrtdvvrdtdcsncvvdaprdvfradvvrdvvrtncscvcsncvdavdvtdtdncsncv ：daprdvfradvvrncscvcsn)()iincsfrdavvr（ 离心泵叶轮内的流动zziimfr)(zmdavrvdavrvdavvrnanazncs11112222coscos)

26、(121111122222coscosavrvavrvnn)(1122vrvrqv)(1122vrvrqmvz)(1122vvvvqmpeevz)(11122vvvvghee例例3-6：试求叶轮进出口牵连速度、相对速度、绝对：试求叶轮进出口牵连速度、相对速度、绝对速度和叶轮理论压强。已知：速度和叶轮理论压强。已知：1111500 /min48060105nrdmmbmm332226001208412000/1.20/vdmmbmmqmhkg m解：牵连速度解：牵连速度11220.48 150037.70/60600.6 150047.12/6060eed nvm sd nvm s11 12221200021.05/360036000.48 0.1051200021.05/360036000.6 0.084vnvnqvm sd bqvm sd b11122221.0524.31/sinsin6021.0524.31/sinsin12