勾股定理的发现及证明

1、八年级下册第十七章勾股定理简介课程教材研究所俞求是义务教育课程标准实验教科书数学八年级下册第十七章是“勾股定理”。勾股定理是初等几何的一个重要定理，有广泛的应用。本章主要介绍了勾股定理及其逆定理，并介绍这两个定理的一些初步的应用，另外，结合这两个定理，介绍了逆命题和逆定理的有关知识。本章安排了两个小节和两个选学内容，教学时间约需8课时，大体分配如下（供参考）：17. 1勾股定理4课时阅读与思考勾股定理的证明（选学）17. 2勾股定理的逆定理3课时 阅读与思考费马大定理（选学） 数学活动 小结1课时一、教科书内容和本章学习目标（一）本章知识结构框图本章知识结构如下图所示：（二）教科书内容直角三角

2、形是一种极常见而特殊的三角形，它有许多性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。本章所研究的勾股定理，是直角三角形的非常重要的性质，有极其广泛的应用。 平角的一半就是直角，空间中一条水平方向的直线与另一条铅垂方向的相交直线也相交成一个直角，直角是 生产和生活中最常见的特殊角。勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，这就搭建起了几何图形与数量关系之间的一座桥梁，从而发挥了重要的作用。勾股定理不仅在平面几何中是重要的定理，而且在三角学、解析几何学、微积分学中都是理论的基础，定理对现代数学的发展也产生了重要而深远的影响。没有勾股定理，就难以建立起整个数学的大厦。所以，

3、勾股定理不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学 中最重要的定理之一。 本章分为两节，第一节介绍勾股定理及其应用，第二节介绍勾股定理的逆定理及其应用。在第一节中， 教科书安排了对于勾股定理的观察、计算、猜想、证明及简单应用的过程。教科书首先简略讲述了毕达哥拉斯从观察地面图案的面积关系发现勾股定理的故事，并让学生也去观察同样的图案，以发现等腰直角三角形这种特殊直角三角形下的特殊面积关系。在进一步的“探究”中又让学生对某些直角三角形进行计算，计算以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的正方形的面积，发现以两直角边为边长的小正方形的面积的和等于以斜边为边长的正方形的面

4、积。于是，对于更一般的结论提出了猜想。历史上对于勾股定理的证明的研究很多，得到了许多证明方法。教科书正文中介绍了公元3世纪三国时期中国数学家赵爽的证明方法。这是一种面积证法，依据是图形在经过适当切割后再另拼接成一个新图形，切割拼接前后图形的各部分的面积之和不变，即利用面积不变的关系和对于图形面积的不同算法推出图形的性质。在教科书中，图17.1 -6(1)中的图形经过切割拼接后得到图17.1-6 ( 3)中的图形，证明了勾股定理。根据勾股定理，已知两条直角边的长a,b，就可以求出斜边c的长。根据勾股定理还可以得到，：二 一厂，户二”一由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长

5、。也就是说，在直角 三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长。教科书相应安排了两个例题和一个“探究”栏目，让学生学习运用勾股定理解决问题，并运用定理证明了斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 在第二节中，教科书首先让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形都是直角三角形，从而作出猜想：如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。教科书借助于勾股定理和判定全等三角形的定理(SSS) 证明了这个猜想，得到了勾股定理的逆定理。勾股定理的逆定理是判定一个三角形是直角三角形的一种重要依 据。教科书安排了两个例题，让学生学习

6、会运用这个定理。本节结合勾股定理的逆定理的内容的展开，穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立。为巩固这些内容，相应配备了一些练习与习题。(三)本章学习目标1.经历勾股定理及其逆定理的探索过程，知道这两个定理的联系和区别，能用这两个定理解决一些简单的实际问题- 2.初步认识勾股定理及其逆定理的重要意义，会用这两个定理解决一些几何问题3 .通过具体的例子，了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命 题不一定成立。4 .通过对于我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养民族自豪感。通过对于勾股定理及其逆定理的探索，培养数学学习的自信心。二、编写时

7、考虑的几个问题(-)让学生经历勾股定理及其逆定理的探索过程勾股定理及其逆定理都是初等数学中的重要定理，同时，这两个定理也都是多数初中学生在教师的精心引导下通过探索能够发现并证明的定理，教学中要重视这两个定理的教学，在教学过程中要注 意引导学生通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，并获得两个定理的证明。 教科书对于勾股定理的教学，设计了一个从特殊到一般的探索、发现和证明的过程。先是很特殊的等腰直角三角形，再到一些特殊的直角三角形，再到一般直角三角形的结论证明的赵爽证法的引人。这是一个典型的探索和证明的过程。类似地，对于勾股定理的逆定理，教科书也设计了从 特殊结论到一般结论的探索和证明的完整过

8、程。 这样安排教学，有利于学生认识结论研究的必要性，培养对于结论的探索兴趣和热情，培养学生数学学 习的兴趣，培养学生发现、提出、分析和解决问题的能力，培养严密审慎的思考习惯，培养科学精神。(二)通过介绍我国古代研究勾股定理的成就培养民族自豪感我国古代对于数学有许多杰出的研究成果，许多成就为世界所瞩目和高度评价，在数学教学中应结合教学内容，适当介绍我国古代数学成就，培养学生爱国热情和民族自豪感。我国古代对于勾股定理的研究就是一个突出的例子。根据大约在公元前100年之前写成的周髀算经的记载和推算，在公元前21世纪大禹治水时人们就能应用“勾三股四弦五”的特殊结论，公 元前6、7世纪时人们还知道了勾股

9、定理的一般结论并能灵活运用结论解决许多实际测量问题。约公元3世 纪三国时期赵爽为周髀算经作注写勾股圆方图注，用“弦图”对勾股定理给出了一般的证明，这是我 国对于勾股定理一般结论的最早的证明。我国古代不仅较早独立地发现了勾股定理有关“勾三股四弦五”的 一些特殊结论，而且也比较早使用了巧妙的方法独立证明了勾股定理一般结论，在勾股定理的应用方面也有 许多深入的研究并达到熟练的程度。从周髀算经对勾股定理的多方面的论述，此书所记录的从公元前6、 7世纪时在我国人们已经能够熟练且自信地把勾股定理应用到任意边长的直角三角形的事实，可以推测在比 周髀算经成书早得多的时候，我国对勾股定理不仅知其然而且知其所以然

10、，只是缺少文献的明确记载。这 些，都说明我国古代劳动人民的卓越聪明才智，也是我国对世界数学的重要贡献，是值得我们自豪的。本章教科书结合教学内容介绍了我国古代对于勾股定理的有关研究成果。在引言中介绍了现存的我国古 代的数学著作中最早的著作周髀算经的记载“如果勾是三、股是四、那么弦是五”。勾股定理的证法很 多，教科书为了弘扬我国古代数学成就，介绍了赵爽的证法。首先介绍赵爽“弦图”，然后介绍赵爽利用弦 图证明命题1的基本思路。对勾股定理的研究表现了我国古代数学家对数学的钻研精神和聪明才智，它是 我国古代数学的骄傲。正因为此，赵爽“弦图”被选为2002年在北京召开的世界数学家大会的会徽。教科 书还在习

11、题中安排了我国古代数学著作九章算术中的问题，展现我国古代在勾股定理应用研究方面的 一些成果。本章也介绍了国外对于勾股定理的有关研究成果。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，毕达哥拉斯 （公元前572年前492年）是古希腊伟大数学家，现在一般认为国外由毕达哥拉斯学派最早证明了此定理， 但毕达哥拉斯本人是否确实证明了这个定理却没有确凿根据。在勾股定理的教学内容中，教科书从与毕达哥拉 斯有关传说故事引入对于定理的探索，并介绍了这位古希腊数学家。在勾股定理的逆定理的有关内容中，教 科书则从古埃及人画直角的方法引入。在本章的复习题中还引入了古希腊哲学家柏拉图关于勾股数的结论作 为练习题。在“阅读与思考勾

12、股定理的证明”中还介绍了国外几种证明勾股定理的方法。在这次教材修订所 增写的另一个“阅读与思考费马大定理”中则进一步介绍了与勾股定理有一定关系的费马大定理的研究进展， 从另一个角度说明了勾股定理对于数学发展的影响，并以数学家在攻克费马大定理的过程中所表现出来的精 神去影响学生，培育学生的良好品质。与勾股定理有关的数学历史文化背景知识非常丰富，在教学中，应注意适度引入，使学生对勾股定理 的有关历史发展有所了解，激发学生的学习兴趣。特别应通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究方面的成 就，激发学生热爱祖国的思想感情，培养民族自豪感，教育学生为振兴中华努力学习，打好数学知识基础。三、对教学的几个建议（

13、一）通过教学提高学生分析问题解决问题的能力本章内容虽然不多，但教学内涵却很丰富。勾股定理及其 逆定理不仅在数学中有重要的地位，定理本身也有重要的实际应用。本章还结合两个定理引入了逆命题、逆 定理等比较抽象的概念。这些知识本身易混易错，学习有一定的难度。应该对本章的教学引起重视，使本章 的教学对培养学生逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力发挥应有的作用。在勾股定理的教学中，一方面要重视学生观察、猜想能力的培养，也要重视从特殊结论到一般结论的 严密思维能力的培养。从勾股定理到它的逆定理，学生往往会从直觉出发想当然地认为勾股定理的逆命题也 一定成立，而从这种直觉上升到逻辑严密地思考和证明，认识到两

14、个结论有联系但却并不相同，认识到新 的结论仍需要经过严格地证明，这是思维能力提高的重要体现，这在教学中是应该引起重视的。另外，逆 命题概念的教学也是一个教学难点，怎样写出一个命题的逆命题，原命题和逆命题真假的多种可能性，怎样 的命题可以称为逆定理，这些都是学生容易出错的知识点。勾股定理及其逆定理在解决实际问题中有广泛的应用价值，在证明几何结论中也起着非常重要的作用， 在教学中也要引起充分的重视。教学中可以适当把一些中外数学史中的材料充实到课堂中，使本章的教学更 加充实，取得更好的效果。（二）围绕证明勾股定理培养学生数学学习的自信心一个缺乏自信的人是不可能成就一番事业的。自信就是不示弱，自信就是

15、自强不息，相信自己的能力，相信自己行，勇于同困难作斗争。数学课往往是初中学生最想学好又不容易学好的一门课，而在数学学习中所培养起来的自信心往往成为学生今后成长的重要力量，所以在数学教学中要特别重视培养学生数学学习的自信心，进而培养更广泛的自信心。勾股定理被公认是初等几何中的最重要的定理之一，定理结论奇异、形式优美，寻找勾股定理的新证法成为古今中外名家百姓都热衷研究的问题，而勾股定理的赵爽证法被认为是极其优美简洁的证明方法。了解、理解甚至独立发现一个重要定理的证明方法对于树立数学学习的自信心往往能起到特别的作用。勾股定理的证明方法相当多，让学生从定理条件和结论去分析找到一个新的证明方法并非高不可

16、攀，所以，在本定理的教学中，除正文介绍的有关内容外，可以根据实际教学情况，对于学生提出不同的教学要求，可以让学生自主探究定理的证明，既可以让学生根据 图形分析自主得到证法，也可以安排收集定理多种证法的数学课外活动，通过这些活动，使学生对勾股定理有 较好的理解，从而培养他们学好数学的信心。（三）适当总结和定理、逆定理有关的内容本章引出了逆定理的概念，为了让学生对这一概念掌握得更好，可以在小结时结合已经学过的一些结论以加深理解。例如，可以结合在本套教科书第十二章“全等三角形”中的两个定理：“角的平分 线上的点到角的两边的距离相等”和“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”来进行复习。这里

17、，前一个结论是角的平分线的性质定理，后一个结论就是角的平分线的性质定理的逆定理。还可以举出其他的一些适当的例子。这样就可以从定理、逆定理的角度认识已学的一些结论，明确其中一些结论之间的关系。 互逆命题、互逆定理的概念，学生接受它们应该困难不大，但对于那些不是以“如果那 么”形式.给出的命题，叙述它们的逆命题有时也会有困难，可以尝试首先把命题变为“如果那么”的形式。当然，要注意把握教学要求，不宜涉及结构太复杂的命题。（17. 1勾股定理教材分析（第1课时）湖北省赤壁市教研室来小静勾股定理把几何图形中直角三角形的形的特征转化成数量关系，为几何图形与数量关系之间搭建桥梁发挥了重要作用.由于直角图形的

18、普遍性，勾股定理在实际应用中及其重要.从观察并让学生也去观察同样的图案，通过研究地面图发现它的三边之间的数量关系，在进一步案的面计算以直角三角形两直角边为边长的小正进而得积关系到这些直角三角形中两直角边的平教科书安排了对勾股定理的观察、计算、猜想及证明过程，首先简略讲述了毕达哥拉斯方和等于斜边的平方，然后，对更一般的结论提出了猜想.并用赵爽证法加以证明，这是个典型的从特殊到一 般的思想方法，这样安排有利于学生认识结论研究的探究过程（观察、想象、计算、猜想、证明），激发学生 对结论的探索兴趣和热情，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力和严密审慎的思考习惯.历史上对勾股定理的证明的

19、研究很多，得到了很多证明方法.教科书正文中介绍了3世纪三国时期中国数学家赵爽的证明方法.这是一种面积证法，依据是图形在经过适当切割后再另拼接成另个新图形，切割拼接前后图形的各部分的面积之和不变，即利用面积不变的关系和对图形面积的不同算法得到等量关系.在教科书中，主要是将边长分别为a 3的两个正方形切割成四个直角三角形和一个小正方形，其中，直角三角形两直角边分别为）、：，面积都等于；小正方形的边长为，面积为。.这样，由于上中败矿从而证明了勾股定理.本节课的教学重点是勾股定理的探究和证明. （17. 1勾股定理重难点突破（第1课时）湖北省赤壁市教研室来小静1. 发现直角三角形三边之间的关系突破建议

20、1 .教科书首先让学生探索发现解直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方，然后证明上述关系成立，最后让学生运用勾股定理解决问题.学生直接发现直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，有一定的难度，因此，教学时，先让学生发现以直角三角形两直角边为边长的正方形的面积和以斜边为边长的正方形的面积之间的关系.从等腰直角三角 形入手，容易发现数量关系.2 .结合毕达哥拉斯的传说故事，可以提高学生学习的兴趣，另外，其中的图案对学生 发现规律也有一定的提示作用.教学时，要引导学生先观察地传中等腰直角三角形与周边直角三角形、正方形的关系，两看看等腰直角三角形三边所在的正方形的面积之间的关系，

21、然后得出猜想.3 .让学生探究几个一般的直角三角形，这几个直角三角形是在正方形网格背景下的， 看看是否有相同的数量关系.在这个“探究”栏目中，关键是计算以斜边为边长的正方形的面积.图中以斜边为边长的两个正方形的面积可以如下求出：<4x1x2x3=13, 2g3-4xy 3x5=34 2也可以由四个直角三角形的面积加上一个小正方形的面积求出：1 空I4X-X2X3+12= 13,24耳_1 X3x5 + 2a=34.I_ 2I2. 勾股定理的探究与证明突破建议1 .在地板图案中，由于等腰直角三角形都是全等的，利用面积相等的思路比较容易观 察出等腰直角三角形两直角边的平方和等于以斜边的平方.

22、要注意引导学生观察、猜想，得出结论.2 .在一般情况下直角三角形还有上述关系吗？为在得到结论。需要在网格背景下，进行实验操作，利用割补法，也能探索发现，比较特殊（主要是网格背景下直角三角形边长取 整数）的直角三角形的三边之间也有相同的数量关系.从而说明猜想的正确性.3 .实验方法得到的结论是否可靠，需要理论证明.勾股定理的证明方法很多，教科书介绍的是我国古代数学家赵爽的证法，这是一种面积证法.在前面正方形网格中比较容易发现等腰直角三角形及一般直角三角形的三边关系.由于以前没有系统地讲过面积理论， 学生对面积证法的推理根据会感觉不太明确.教学时，先要说明赵爽的证明思路：两直角边所在的正方形的面积

23、之和等于斜边所在的正方形的面积.所以，要先作一个直角三角形，再将两直角边所在的正方形面积拼在一起，图形在经过适当的切割后再另拼接后，新图形的面积与原图形的面积是相等的.由赵爽弦图可知，以斜边为边长的正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组 成.由此考虑以直角边为边长的两个正方形连在一起的图形是否也由四个全等的直角三角形和一个正方形组 成.教科书中图17. 16展示了图形切割拼接的过程，从而由图形的面积关系得到了勾股定理的证明.(17. 1勾股定理教学设计(第1课时)湖北省赤壁市教研室来小静一、内容和内容解析1 内容勾股定理的探究、证明及简单应用.2内容解析勾股定理的内容是：如果直角三角形的

24、两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么 ； I :人.它揭示了直角三角形三边之间的数量关系.在直角三角形中，已知任意两边长，就可以求出第三边长-勾股定理常用来求解线段长度或距离问题.勾股定理的探究是从特殊的等腰直角三角形出发，到网格中的直角三角形，再到一般的直角三角形，体现了从特殊到一般的探探索、发现和证明的过程.证明勾股定理的关键是利用割补法求以斜边为边长的正方形的面积，教学中要注意引导学生通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，并获得定理的证明.我国古代在数学方面又许多杰出的研究成果，对于勾股定理的研究就是一个突出的例子.教学中可以介绍我国古代在勾股定理的证明和应用方面取得的成就和作

25、出的贡献，以培养学生的民族自豪感；围绕证明勾股定理的过程，培养学生学习数学的热情和信心.基于以上分析，确定本节课的教学重点：探索并证明勾股定理.二、目标和目标解析1 .教学目标(1)经历勾股定理的探究过程.了解关于勾股定理的文化历史背景，通过对我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感.(2)能用勾股定理解决一些简单问题.2 .目标解析(1)学生通过观察直角三角形的三边为边长的正方形面积之间的关系，归纳并合理地用数学语言表示勾股定理的结论.理解赵爽弦图的意义及其证明勾股定理的思路，能通过割补法构造图形证明勾股定理.了解勾股定理相关的史料，知道我国古代在研究勾股定理上的杰出成就.(2

26、)学生能运用勾股定理进行简单的计算，关键是已知直角三角形的两边长能求第三条边的长度.三、教学问题诊断分析在正方形网格中比较容易发现勾股定理是反映直角三角形三边关系的一个特殊的结论.以等腰直角三角形三边为边长的正方形的面积关系，进而得出三边之间的关系.但要从等腰直角三角形过渡到网格中的一般直角三角形，提出合理的猜想，学生有较大困难.学生第一次尝试用构造图形的方法来证明定理存在较大的困难，解决问题的关键是要想到用合理的割补方法求以斜边为边的正方形的面积.因此，在教学中需要先引导学生观察网格背景下的正再将这种关系表示成边长方形的面积关系，然后思考没有网格背景下的正方形的面积关系， 之间的关系，这有利

27、于学生自然合理地发现和证明勾股定理.本节课的教学难点是：勾股定理的探究和证明.四、教学过程设计1 .创设情境复习引人国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议，被誉为数学界的“奥运会” .2002年在北京召开了第24届国际数学家大会-右图就是大会会徽的图案-你见过这 个图案吗？它由哪 些我们学过的基本图形组成？这个图案有什么特别的意义？前面我们学习了有关三角形的知识，我们知道，三 角形有三个角和三条边.问题1三个角的数量关系明确吗？三条边的数量关系明确吗？师生活动教师引导，学生回答。【设计意图】回顾三角形的内角和是180以及三角形任何两边的和大于第三边，由三角形三边的不 等关系引导学生思

28、考，三角形三边之间是否存在等量关系.我们学习过等腰三角形，知道等腰三角形是两边相等的特殊的三角形，它有许多特殊的性质.研究特例是数学研究的一个方向，直角三角形是有一个角为直角的特殊三角形，中国古代人把直角三角形中较短的直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，斜边叫做“弦” .直角三角形中最长的边是哪条边？为什么？它们除了大小关系，有没有更具体的数量关系呢？这就是我们要研究的问题.2 观察思考，探究定理问题2相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.三个正方形A , B, C的面积有什么关系？毕达哥拉斯（公元前572一前4

29、92年），古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。师生活动 学生观察图形，分析、思考其中隐含的规律.通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用割补的方法将小正方形A , B中的等腰直角三角形补成一个大正方形，得出结论：小正方形A , B的面积之和等于大正方形C的面积.追问由这三个正方形A , B, C的边长构成的等腰直角三角形三条边长之间有怎样的特殊关系？ 师生活动教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方，归纳出：等腰直角三角形两条直角边的平 方和等于斜边的平方.【设计意图】从最特殊的直角三角形入手，通过观察正方形面积关系得到三边关系，对等腰直角三角形边长关系进行初步的一般化. 问题3在网格中的

30、一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A , B , C的面积是否也有类似的关系？ 师生活动学生动手计算，分别求出A , B , C的面积并寻求它们之间的关系. 追问正方形A , B, C所围成的直角三角形三条边之间有怎样的关系？ 师生活动学生独立思考后分组讨论，难点是求以斜边为边长的正方形面积，可由师生 共同总结得出可以通过割、补两种方法求出其面积，教师在学生回答的基础上归纳方法一割补法.可求得C的面积为13,教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方归纳出：直角三角形两条直 角边的平方和等于斜边的平方.【设计意图】为方便计算，网格中的直角三角形边长通常设定为整数，进一步体会面积割

31、补法，为探究无网格背景下直角三角形三边关系打下基础，提供方法. 问题4通过前面的探究活动，思考：直角三角形三边之间应该有什么关系？师生活动教师引导学生表述：如果直角三角形两直角边长分别为同，：，斜边长为kJ,那么J、【设计意图】在网格背景下通过观察和分析得出了等腰直角三角形和一般的直角三角形的三边关系后， 猜想直角三角形的三边关系是很容易的.问题5以上直角三角形的边长都是具体的数值，一般情况下，如果直角三角形的两直角边分别为a, b, 斜边长为c,我们的猜想仍然成立吗？师生活动 要求学生通过独立思考，用a, b表示c 如图，用“害的方法可得这两个式子经过；用“补”的方法可得整理都可以得到中国人称它为“勾股定理”，外国人称它为“毕达哥拉斯定理”.【设计意图】从网格验证到脱离网格，通过割补构造图形和计算推导出一般结论.问题6历史上各国对勾股定理都有研究，下面我们看看我国古代的数学家赵爽对勾股定理的研究，并通 过小组合作完成教科书拼图法证明勾股定理.师生活动教师展示“弦图”，并介绍：这个图案是公元3世纪三国时期的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（朱实）可 以如图围成一个大正方形，中间部分是一个小正方形（黄实）-我们刚才用割的方法证