高中数学选修11人教A版练习：第二章圆锥曲线与方程 2.32.3.2抛物线的简单几何性质 Word版含解析

1、高中数学选修精品教学资料 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 抛物线抛物线 2.3.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 a 级级 基础巩固基础巩固 一、选择题一、选择题 1已知抛物线的对称轴为已知抛物线的对称轴为 x 轴轴,顶点在原点顶点在原点,焦点在直线焦点在直线 2x4y110 上上,则此抛物线的方程是则此抛物线的方程是( ) ay211x by211x cy222x dy222x 解析：解析：令令 y0 得得 x112, , 所以所以 抛物线的焦点为抛物线的焦点为 f 112，0 , , 即即p2112, ,所以所以 p11, , 所以所以 抛物线的方程是抛物线的方程是 y222x

2、. 答案：答案：c 2方程方程(3m)y2(m1)x 表示抛物线表示抛物线,其中其中 m 不能为不能为( ) a1 b3 c1 或或 3 d1 且且 3 解析：解析：由条件知由条件知 3m0，m10，解得解得 m3 且且 m1. 答案：答案：d 3 已 知 抛 物 线已 知 抛 物 线y2 2px(p 0) 的 焦 点 为的 焦 点 为f, 点点p1(x1,y1),p2(x2,y2),p3(x3,y3)在抛物线上在抛物线上,且且 2x2x1x3,则有则有( ) a|fp1|fp2|fp3| b|fp1|2|fp2|2|fp3|2 c|fp1|fp3|2|fp2| d|fp1|fp3|fp2|2

3、 解析：解析：由焦半径公式由焦半径公式, ,知知|fp1|x1p2, ,|fp2|x2p2, , |fp3|x3p2. 因为因为 2x2x1x3, , 所以所以 2 x2p2 x1p2 x3p2, , 即即 2|fp2|fp1|fp3|. 答案：答案：c 4过抛物线过抛物线 y22px(p0)的焦点作一条直线交抛物线于点的焦点作一条直线交抛物线于点a(x1,y1),b(x2,y2),则则y1y2x1x2的值为的值为( ) a4 b4 cp2 dp2 解析：解析：法一法一(特例法特例法)：当直线垂直于：当直线垂直于 x 轴时轴时, ,a p2，p , , b p2，p , ,则则y1y2x1x2

4、p2p244. 法二法二： 由焦点弦所在直线方程与抛物线方程联立： 由焦点弦所在直线方程与抛物线方程联立, ,可得可得 y1y2p2, ,则则y1y2x1x2y1y2y212py222p4p2y1y24p2p24. 答案：答案：b 5过抛物线过抛物线 y22px(p0)的焦点的焦点 f 的直线与抛物线交于的直线与抛物线交于 a、b 两两点点,若若 a、b 在准线上的射影为在准线上的射影为 a1、b1,则则a1fb1等等于于( ) a90 b45 c60 d120 解析：解析：如图如图, ,由抛物线定义知由抛物线定义知|aa1|af|, ,|bb1| |bf|, ,所以所以aa1fafa1, ,

5、又又aa1fa1fo, , 所以所以 afa1a1fo, , 同理同理bfb1b1fo, , 于是于是afa1bfb1a1fob1foa1fb1.故故a1fb190 . 答案：答案：a 二、填空题二、填空题 6 已知抛物线已知抛物线 c 的顶点为坐标原点的顶点为坐标原点,焦点在焦点在 x 轴上轴上,直线直线 yx 与抛与抛物线物线 c 交于交于 a,b 两点两点,若若 p(2,2)为为 ab 的中点的中点,则抛物线则抛物线 c 的方程为的方程为_ 解析：解析：设抛物线设抛物线 c 的方程为的方程为 y2ax(a0), , 由由 y2ax，yx，可得可得 x0，y0或或 xa，ya. 不妨令不妨

6、令 a(0, ,0), ,b(a, ,a), ,而点而点 p(2, ,2)是是 ab 的中点的中点, ,从而有从而有 a4, ,故故所求抛物线所求抛物线 c 的方程为的方程为 y24x. 答案：答案：y24x 7抛物抛物线线 y24x 与直线与直线 2xy40 交于两点交于两点 a 与与 b,f 为抛物为抛物线的焦点线的焦点,则则|fa|fb|_ 解析：解析：设设 a(x1, ,y1), ,b(x2, ,y2), , 则则|fa|fb|x1x22. 又又 y24x，2xy40，x25x40, , 所以所以 x1x25, ,|fa|fb|x1x227. 答案：答案：7 8已知已知 a(0,4),

7、b(3,2),抛物线抛物线 y2x 上的点到直线上的点到直线 ab 的最短距的最短距离为离为_ 解析：解析：由已知由已知, ,得直线得直线 ab 的方程为的方程为 2xy40, , 设抛物线设抛物线 y2x 上的任意一点上的任意一点 p 的坐标为的坐标为(t, ,t2), , 则则 d|2tt24|5|t22t4|5（t1）235353 55. 答案：答案：3 55 三、解答题三、解答题 9已知过抛物线已知过抛物线 y24x 的焦点的焦点 f 的弦长为的弦长为 36,求弦所在的直线方求弦所在的直线方程程 解：解：因为过焦点的弦长为因为过焦点的弦长为 36, , 所以所以 弦所在的直线的斜率存在

8、且不为零弦所在的直线的斜率存在且不为零 故可设弦所在直线的斜率为故可设弦所在直线的斜率为 k, , 且与抛物线交且与抛物线交于于 a(x1, ,y1)、b(x2, ,y2)两点两点 因为抛物线因为抛物线 y24x 的焦点为的焦点为 f(1, ,0) 所以所以 直线的方程为直线的方程为 yk(x1) 由由 yk（x1），y24x，整理得整理得 k2x2(2k24)xk20(k0) 所以所以 x1x22k24k2. 所以所以 |ab|af|bf|x1x222k24k22. 又又|ab|36, ,所以所以 2k24k2236, ,所以所以 k24. 所以所以 所求直线方程为所求直线方程为 y24(x

9、1)或或 y24(x1) 10正三角形的一个顶点位于坐标原点正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线另外两个顶点在抛物线 y22px(p0)上上,求这个正三角形的边长求这个正三角形的边长 解：解：如图所示：设正三角形如图所示：设正三角形 oab 的顶点的顶点 a, ,b 在抛物线上在抛物线上, ,且坐标且坐标分别为分别为 a(x1, ,y1), ,b(x2, ,y2), , 则则 y212px1, ,y222px2. 又因为又因为|oa|ob|, , 所以所以 x21y21x22y22, ,即即 x21x222px12px20, , 整理得整理得(x1x2)(x1x22p)0. 因

10、为因为 x10, ,x20, ,2p0, ,所以所以 x1x2, , 由此可得由此可得|y1|y2|, ,即点即点 a, ,b 关于关于 x 轴对称轴对称 由此得由此得aox30 , , 所以所以 y133x1, ,与与 y212px1联立联立, ,解得解得 y12 3p. 所以所以 |ab|2y14 3p. b 级级 能力提升能力提升 1在同一平面直线坐标系中在同一平面直线坐标系中,方程方程 a2x2b2y21 与与 axby20(ab0)的曲线大致为的曲线大致为( ) 解析：解析：将方程将方程 a2x2b2y21 与与 axby20 转化为转化为x21a2y21b21 与与 y2abx.因

11、为因为 ab0, ,所以所以1b1a0, , 所以椭圆的焦点在所以椭圆的焦点在 y 轴上轴上, ,抛物线的焦点在抛物线的焦点在 x 轴上轴上, ,且开口向左且开口向左 答案：答案：d 2设设 a,b 是抛物线是抛物线 x24y 上两点上两点,o 为原点为原点,若若|oa| |ob|,且且aob 的的面积为面积为 16,则则aob 等于等于_ 解析：解析：由由|oa|ob|, ,知抛物线上点知抛物线上点 a, ,b 关于关于 y 轴对称轴对称 设设 a a，a24, ,b a，a24, ,a0, ,saob122aa2416, ,解得解得 a4.所以所以 aob 为等腰直角三角形为等腰直角三角形

12、, ,aob90 . 答案：答案：90 3 已知抛物线已知抛物线 y24x,过其焦点作弦过其焦点作弦 ab,若弦长不超过若弦长不超过 8,且弦所在且弦所在直线与椭圆直线与椭圆 3x22y22 相交相交,试确定试确定 ab 所在直线的斜率所在直线的斜率 k 的取值范的取值范围围 解：解：由题由题意意, ,得焦点的坐标为得焦点的坐标为 f(1, ,0) 因为过焦点的弦所在直线与椭圆因为过焦点的弦所在直线与椭圆 3x22y22 相交相交, , 所以此直线的斜率一定存在所以此直线的斜率一定存在 设过点设过点 f 的直线方程为的直线方程为 yk(x1)(k0) 联立方程联立方程 y24x，yk（x1），消去消去 y, , 得得 k2x2(2k24)xk20. 设直线交抛物线于点设直线交抛物线于点 a(x1, ,y1), ,b(x2, ,y2), , 则则 x1x22k24k2, ,x1x21. 因为因为|