重修中值定理

1、第三章第三章 中值定理与导数的中值定理与导数的 应用应用一一 、中值定理、中值定理几何解释几何解释: :ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧cabc注意注意:1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立其结论可能不成立.例如例如,;2 , 2, xxy,)0(2 , 2的一切条件的一切条件满足罗尔定理满足罗尔定理不存在外不存在外上除上除在在f . 0)(2-2 xf使使内内找找不不到到一一点点能能，但但在在区区间间;0, 01 , 0(,1 xxxy.1 , 0, x

2、xy又例如又例如,不止一个。不止一个。 )2(3) 若若f(a)=f(b)=0,则则a,b为为f(x)的两个零点。的两个零点。结论：可导函数的两个零点之间至少有一个导结论：可导函数的两个零点之间至少有一个导函数的一个零点函数的一个零点拉格朗日（拉格朗日（lagrangelagrange）中值定理）中值定理 (1)如果函数如果函数 f(x)在在闭区间闭区间,ba上连续上连续, ,(2)(2)在开在开),(ba内可导内可导, ,那末在那末在 ),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立. . ).()()( fabafbf 结论亦可写成结论亦可

3、写成2 、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理ab1 2 xxoy)(xfy abcdnm几何解释几何解释:.,abcab线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧).)()()(abfafbf 拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意: :拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.注：注： 1 拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式,),(,)(内可导内可导在在上连续，上连续，在在设设babaxf).10()()()(000 xxxfxfx

4、xf则有则有),(,00baxxx 推论推论.)(,)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间那末那末上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数ixfixf 2 个重要结论个重要结论)()()()(00 xxfxfxf 3、柯西、柯西(cauchy)中值定理中值定理柯西（柯西（cauchycauchy）中值定理）中值定理 如果函数如果函数)(xf及及)(xf 在闭区间在闭区间,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,且且)(xf在在),(ba内每一点处均不为零，那末在内每一点处均不为零，那末在),(ba内内至少有一点至少有一点)(ba , ,使等式使等式)

5、()()()()()( ffafbfafbf 成立成立. . 几何解释几何解释:)(1 f)(2 fxoy )()(xfyxfx)(afa)(bfbcd)(xfnm.),(),(abffcab弦弦该点处的切线平行于该点处的切线平行于在在一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧 二二 典型题型典型题型.,sinln.上的正确性上的正确性在在验证罗尔定理对验证罗尔定理对6561 xy 解解.,)(上连续上连续在在656 xf内处处存在内处处存在在在又又)65,6(cot xy )65()6( ff 并且并且2ln 1.验证定理的正确性验证定理的正确性.,sinln上满足罗尔定理的条件上满足罗尔定理

6、的条件在在656 xy , 0cot xy由由内显然有解内显然有解在在)65,6( .2 x,2 取取. 0)( f则则这就验证了命题的正确性这就验证了命题的正确性.2 根（零点）的判别根（零点）的判别 1 f (x) = x(x-1)(x-2)，不解方程，问，不解方程，问 f (x) 有几个有几个零点，位于哪个区间。零点，位于哪个区间。 解解 ：显然：显然f(x)处处可导，处处可导，f（0）= f（1）= f（2），），由罗尔定理知，由罗尔定理知， 0)()1 , 0(11 f使使0)()2 , 1(22 f使使而而f (x) 是二次多项式，仅有两个根，所以是二次多项式，仅有两个根，所以 f

7、 (x) 有有且仅有两个零点，分别位于区间（且仅有两个零点，分别位于区间（0，1）、（）、（1，2）内。内。 有有多多少少零零点点。思思考考：)(, )()(20110 xgnxxgn 内至少有一零点。内至少有一零点。在在证明多项式证明多项式设设)1 , 0()(, 01221010nnnxaxaaxfnaaa 121012)(: nnxnaxaxaxf令令证明证明0)0(12)1(10 fnaaafn0)(10 xf），（根据罗尔定理根据罗尔定理 内至少有一零点。内至少有一零点。在在即即)1 , 0()(10nnxaxaaxf )()(), 0(, 0)(), 0(, 0)()1(ffaaf

8、aaxf 使得使得证明证明可导可导上连续，在上连续，在在在设设（1） 分析：分析： 存在存在（0，a）使（）使（1）成立）成立 0)()( ff0 )( xxxf证明：证明： 令令 )()(xxfx 。）（）（且且可可导导，连连续续，在在在在则则0000 aaax ),(,)(由罗尔定理，存在由罗尔定理，存在（0，a），使），使 0)( ，即即0)()( ff )()(ff 3 中值等式的证明中值等式的证明为一实数）为一实数）使使证明证明上可导，上可导，上连续，在上连续，在在在设设 (. 0)()(),(, 0)()(),(,)()2( ffbabfafbabaxf0)()( ff分分析析：，

9、利用罗尔定理即可。，利用罗尔定理即可。证明：令证明：令)()(xfexx 0)()( fefe0 )( xxxfe小结：用罗尔定理证明微分中值等式的一般方法小结：用罗尔定理证明微分中值等式的一般方法 （1） 将欲证等式写成将欲证等式写成g()= 0的形式的形式（2） 观察分析能否将观察分析能否将 g()或或 g()h()(h()应是一非应是一非零因子零因子)看成某函数看成某函数 f(x)在在 x =点的导数点的导数.（3） 检验辅助函数检验辅助函数 f(x) 在所论区间上是否满足在所论区间上是否满足罗尔定理的条件，如满足则定理得证。罗尔定理的条件，如满足则定理得证。常用辅助函数：常用辅助函数：

10、xk f(x)，ex f(x)，f(x)eg(x)，f(x)g(x)(xx0)k f(x)，等。等。)()(,)(xgxfxxf（3） )()()()()(xgagxfafx 令令0)( a 则则)()()()()(bgagbfafb 在在a ,b上连续上连续,在在(a,b)内可内可导，由拉格朗日中值定理得导，由拉格朗日中值定理得)(x baabab )()()(即即 )()()()()()()()()( gagfafabbgagbfaf 设设f(x)在在a,b上连续，在上连续，在(a ,b)内可导内可导,证明证明)()()()()()()()()(),( gagfafabbgagbfafba

11、 使使得得证明证明 （4）).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(, 1 , 0)(fffxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数证证分析分析:结论可变形为结论可变形为 2)(01)0()1(fff .)()(2 xxxf,)(2xxg 设设,1 , 0)(),(条件条件上满足柯西中值定理的上满足柯西中值定理的在在则则xgxf有有内内至至少少存存在在一一点点在在,)1 , 0( 2)(01)0()1(fff ).0()1(2)(fff 即即4 证明恒等式证明恒等式 （1 1）).11(2arccosarcsin xxx 证明证明证证1

12、 , 1,arccosarcsin)( xxxxf设设)11(11)(22xxxf . 0 )1 , 1(,)( xcxf)1()1()0( fff又又,2 .2 c即即.2arccosarcsin xx5 不等式的证明不等式的证明（1 1）.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当证证),1ln()(xxf 设设, 0)(上满足拉氏定理的条件上满足拉氏定理的条件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111 , 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即)00(二二 洛必达法则洛

13、必达法则 1、 洛必达法则洛必达法则;)()(,)1(都趋于零都趋于零及及函数函数时时当当设设xfxfax 定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. .; 0)()()(,)2( xfxfxfa都存且都存且及及点的某去心邻域内点的某去心邻域内在在);()()(lim)3(或为无穷大或为无穷大存在存在xfxfax .)()(lim)()(limxfxfxfxfaxax 那末那末 2 洛必达法则洛必达法则ii;)()(,)1( 都趋于都趋于及及函数函数时时当当设设xf

14、xfax)( ; 0)()()(,)2( xfxfxfa都存且都存且及及点的某去心邻域内点的某去心邻域内在在.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(xfxfxfxfxfxfaxaxax 那末那末或为无穷大或为无穷大存在存在.,2该法则仍然成立该法则仍然成立时时当当 x使用洛必达法则，即使用洛必达法则，即定理的条件，可以继续定理的条件，可以继续满足满足型，且型，且仍属仍属如果如果注注)(),(00)()(1xfxfxfxf .)()(lim)()(lim)()(lim xfxfxfxfxfxfaxaxax.)()(lim)()(limxfxfxfxfxx 3 洛必达法则中的条件是

15、充分而非必要的洛必达法则中的条件是充分而非必要的. 例例1 1解解例例2 2解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx.23 )00()00( 二二 例子例子xxx1)1(lim0 所以当所以当x 0时时, (1 + x ) 1 x (为实数）为实数） 特别地特别地 nxxn11 1)1(lim1)1(lim100 xxxxx例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 例例4 4解解.sinlnsinlnlim0bxaxx 求求axbxbbxaxaxsincossi

16、ncoslim0 原式原式. 1 )00()( 例例5 5.3tantanlim2xxx 求求)( 解解xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 . 3 注注:可以先化简并且极限不为可以先化简并且极限不为0的因子的极限可以先求出的因子的极限可以先求出.另解另解xxxxxcos3sin3cossinlim2 原式原式xxxcos3coslim2 3sin3sin3lim2 xxx 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，注意：洛必达

17、法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好但与其它求极限方法结合使用，效果更好. .例例6 6解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原式原式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310 .31 例例7 设设f(x)二阶可导，求二阶可导，求 20)()(2)2(limhxfhxfhxfh 解解 ：由：由f(x)二阶可导，知二阶可导，知f(x) 连续，连续， 连连续续)(xf 00但不可再用洛必达法则，但不可再用洛必达法则，hhxfhxfh2)(2)2(2lim0 原式原式是是否否连连续续不不知

18、知道道)(xf 是否存在无法判断。是否存在无法判断。)()2(2lim0hxfhxfh 下一步应利用二阶导数定义下一步应利用二阶导数定义 ： 00hxfhxfxfhxfh)()()()2(lim0 )()(2xfxf )(xf 型未定式解法型未定式解法三、三、00,1 ,0 ,0 例例1 1解解.lim2xxex 求求)0( xexx2lim 原式原式2limxxe . 关键关键: :将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .),00()( 型型 0. 1步骤步骤:,10 .0100 或或例例2 )0(lnlim0 xxx xxxlnlim0101

19、lim xxx0lim0 xx例例1 1解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式xxx2cos1lim0 . 0 型型 . 2步骤步骤:xxxxx sinlim0?1)1ln(1lim30 xxx例例解：原式解：原式 = )1ln()1ln(lim0 xxxxx 20)1ln(limxxxx xxx2111lim0 21 20)1ln(limxxxx xxxx21lim0 )1(21lim0 xx )11ln(lim. 32xxxx 例例)1()1ln(11lim20txtttt 令令原式原式解：解：20)1ln(limtt

20、tt ttt2111lim0 21)1(2lim0 tttt步骤步骤:)(,1 ,0. 3)(00 xvxu型型 .0)(ln)( xuxv例例1 1解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原原式式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnlim0 )(ln)()()(xuxvxvexu 例例2 2解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例3 3解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取对数得取对

21、数得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式一、总结一、总结 1 三个中值定理及应用三个中值定理及应用罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。求求极极限限的的方方法法结结合合使使用用限限的的方方法法，注注意意与与其其它它掌掌握握用用洛洛必必达达法法则则求求极极2二、练习题二、练习题1、求极限、求极限xxx)arctan2(lim).4( xexxx 10)1(lim1、)1sin1(lim2220 xxx 、xxxxxcbacba11110)(lim3 、xxxe

22、x211)1(1lim20 2)1(21lim20exex xexxx 10)1(lim1、 210)1ln(1)1(limxxxxxxx )00()1()1ln()1(lim20 xxxxxex （或（或xxex2)1ln(lim0 )2e )1sin1(lim2220 xxx 、xxxxx22220sinsinlim 40)sin)(sin(limxxxxxx 30sinsinlimxxxxxxx 203cos1lim2xxx 220321lim2xxx )( 4220sinlimxxxx 或或304cossin22limxxxxx 3042sin2limxxxx 20122cos22li

23、mxxx 31 2062cos1limxxx 31 xxxxxcbacba11110)(lim xcbaxcxbxaxe 111ln0lim1111110lnlnlnlim xxxxxxxcbaccbbaaecbaccbbaae lnlnlncbacbacba 1)(3、)1( xxx)arctan2(lim).4( 解法一：解法一： 原极限原极限1arctan2lim xxxe 1arctan2lim xxxe 解法二：先求解法二：先求: xxxarctan2lnlim 1arctanln2lnlim xxx 原极限原极限.2 e.2111arctan1lim22 xxxx)1(12lim22xxxe .2 e2 对函数对函数f (x) = x2 +2 ，f(x)= x31在在 1,2 上验证上验证柯西定理的正确性。柯西定理的正确性。 解解 ：易知：易知 f (x)、f(x)在在 1 ,2 上连续上连续,(1 ,2)内可导，内可导，23)(xxf 且且730736)1()2()1()2( ffff 3232)()(2 ff这样就验证了柯西定理的正确性。这样就验证了柯西定理的正确性。 7332 令令)2 , 1(914 解得解得满足柯西中值定理的条件。满足柯西中值定理的条件。 在在(1 ，2)内不为