薄板的小挠度弯曲问题

1、有关薄板小挠度弯曲问题的总结报告 学院：土 木 与 交 通 学 院 专业： 工 程 力 学 班级： 2 0 1 2 0 5 5 组员： 201205514 李俊超 201205519 陈红杰 201205520 胡记强 薄板的小挠度弯曲问题一 内容概述基本概念在弹性力学中，两个平行面和垂直与这两个平行面的柱面所围成的物体，称为平板，或简称为板。其中，两个平行面称为板面，而这个柱面称为侧面或板边。两个板面之间的距离h称为板厚，平分板厚h的平面称为中面，如图1所示。根据板的厚度，可以将板分为：（1）厚板：板厚h与板面内的最小特征尺寸bmin之比大于1/5，即h/bmin>1/5,且厚板三个方

2、向的几何尺寸接近于同阶大小。这类班一般须按弹性力学空间问题来处理。（2）薄板：板厚h与板面内的最小特征尺寸bmin之比在1/80和1/5之间，即1/80h/bmin1/5。这类板的抗弯刚度较大，当受到一定大小的横向荷载作用时，薄板 图1将会产生弯曲变形，其挠度w比板厚h要小，最大挠度wmaxh/5,可认为属于小挠度问题，否则属于大挠度问题。（3）膜板（薄膜）：板厚h与板面内的最小特征尺寸bmin之比小于1/80，即h/bmin<1/80。这类板的抗弯刚度很小，抵抗弯曲变形的能力可以忽略不计，在通常的横向荷载作用下，其挠度远较板厚要大，可认为板只产生中面拉伸应力。当薄板弯曲时，中面所弯成的

3、曲面，称为薄板弹性曲面，而中面内各点在垂直于中面方向的位移，称为挠度。薄板弯曲问题属于空间问题。为了建立薄板的小挠度弯曲理论，除了引用弹性力学的5个基本假设外，还补充了3个计算假设，即基尔霍夫假设，用以简化空间问题的基本方程。基尔霍夫假设是：（1）薄板变形前垂直于中面的法线，变形后仍保持为直线，且垂直于薄板弹性曲面，其长度不变。这就是所谓的直法线假设，根据这一假设，有xz=yz=0和z=0,从而可导出w=w（x,y)。（2）与x、y和xy等相比，挤压应力z很小，在计算应变时可忽略不计。从而，可导出薄板弯曲问题的物理方程（与平面应力问题的物理方程相同）：x=1Ex-yy=1Ey-xxy=21+E

4、xy(3)薄板弯曲变形时，中面上各点只有垂直位移，而无面内位移，即：uz=0=0，vz=0=0，wz=0=wx，y基尔霍夫假设不能使弹性力学的基本方程全部满足，例如广义胡克定律的第三个方程，即z=1Ez-x+y无法满足。因为在假设中有z=0，z与x和y相比可忽略，则必有x+y=0，但在实际中x+y0。此外，假设中认为剪应变xz=yz=0，也即剪应力xz=yz=0。但在推导平衡条件时，又必须认为xz和yz不为零。尽管基尔霍夫假设存在一定的矛盾，但由此建立起来的弹性薄板小挠度弯曲理论，如同梁的弯曲问题一样，具有足够的精度。在许多工程问题的分析计算中，已得到了广泛的应用。矩形薄板的小挠度弯曲问题薄板

5、的小挠度弯曲问题属于空间问题。薄板小挠度弯曲理论，是从空间问题的基本方程和边界条件出发，应用薄板的基尔霍夫假设进行简化，并按位移解法导出薄板小挠度问题的基本方程和边界条件。最后归结的基本未知函数w和相应的基本方程、边界条件都只含有x,y两个自变量，因此，薄板小挠度弯曲问题也属于二维问题（不属于平面问题）。薄板的小挠度弯曲问题是按位移求解的，主要内容包括：（1）取挠度wx,y为基本未知函数。（2）将其他未知量，即纵向位移分量u、v；主要应变分量x、y、xy；主要应力分量x、y、xy；次要应力分量xz、yz及更次要应力z均用挠度w来表示。（3）用挠度w表示薄板横截面上的内力。（4）用挠度w表示薄板

6、弯曲的基本方程。（5）用挠度w表示薄板边界条件。薄板中的其他未知量用挠度w表示（1）纵向位移分量：u=-zwx，v=-zwy 1-1（2）主要应变分量：x=-z2wx2，y=-z2wy2，xy=-2z2wxy 1-2（3）主要应力分量：x=-Ez1-22wx2+2wy2y=-Ez1-22wy2+2wx2xy=-Ez1+2wxy 1-3可见，在薄板的小挠度弯曲问题中，纵向位移分量u，v、主要应变分量x，y，xy以及主要应力分量x，y，xy均沿板厚方向呈线性分布，且在中面上为零，在上下板面处达到极值。（4）次要应力分量：xz=-E21-2z2-h24x2w, yz=E21-2z2-h24y2w 1

7、-4（5）更次要应力分量：z=Eh361-212-zh1+zh4w 1-5因此，在薄板的小挠度弯曲问题中，次要应力分量xz和 yz沿板厚方向呈抛物线分布，在中面处达最大值，在上下板面处为零；而更次要应力分量z沿板厚呈三次抛物线规律分布，在上板面处达最大值，在下板面处为零。薄板横截面上的内力在一般情况下，应力分量在板边上很难精确地满足静力边界条件，只能应用圣维南原理，使其应力分量在板边单位宽度上所合成的内力沿板厚总体上满足边界条件。为此，需要建立由内力表示的静力边界条件。（1）弯矩、扭矩的表达式：Mx=-D2wx2+2wy2My=-D2wy2+2wx2Mxy=Myx=-D1-2wxy 1-6式中

8、：Mx、My分别为垂直于x轴和y轴的板横截面单位宽度上的弯矩；Mxy和Myx分别为这两个横截面单位宽度上的扭矩；它们的量纲均为LMT-2。（2）横向剪力的表达式：Fsx=-Dx2wFsy=-Dy2w 1-7式中：D为薄板的抗弯刚度，即D=Eh3121-2；Fsx和Fsy分别为垂直于x轴和y轴的板横截面的单位宽度上的横向剪力，其量纲为MT-2。弯矩、扭矩和横向剪力的正负号规定：弯矩Mx、My使板的横截面上z>0的一侧产生正号的正应力x、y时为正；扭矩Mxy和Myx使板的横截面上z>0的一侧产生正号的剪应力xy、yx时为正；横向剪力Fsx和Fsy使板的横截面产生正号的剪应力xz、yz时

9、为正，如图2中所示。 图2（3）内力与应力分量的关系：x=12Mxh3z，y=12Myh3z，xy=yx=12Mxyh3xz=6Fsxh3h24-z2, yz=6Fsyh3h24-z2 1-8可见，正应力x及y分别于弯矩Mx及My成正比，称为弯应力；剪应力xy与扭矩Mxy成正比，称为扭应力；剪应力xz及 yz分别与横向剪力Fsx和Fsy成正比，称为横向剪应力。而正应力z与荷载q成正比，称为挤压应力。（4）不同内力之间的关系：Fsx=Mxx+MyxyFsy=Myy+MxyxFsxx+Fsyx+q=0 1-9式1-9 即为内力表示的平衡微分方程。它是由板单元的静力平衡条件（即Mx=0，My=0，F

10、z=0)所得到的。薄板弯曲的基本方程（1）用挠度w表示：22w=4w=qD 1-10式1-10又称为薄板的弹性曲面微分方程。它可直接通过式1-5，并由边界条件z2=-h/2=-q得到。（2）用内力表示：2Mxx2+22Mxyxy+2Myy2+q=0 1-11事实上，式1-11是由式1-9得到的，而将式1-6代入式1-11，同样可以得到式1-10。这表明，弹性曲面微分方程是薄板在横向的平衡方程，即薄板每单位面积所受的弹性内力与外力平衡。同时，薄板的弯曲问题不是简单的纵、横梁弯曲的叠加，还应考虑扭矩及扭率的作用。薄板的边界条件薄板的边界条件可分为3类，如图3所示。 图3（1）固定边界，属于位移边界

11、条件。沿固定边oAx=0,薄板的挠度w和转角wx均为零：wx=0=0 , wxx=0=0 1-12(2)简支边界，属于混合边界条件。简支边oCy=0上的挠度和弯矩为零：wy=0=0 , 2wy2y=0=0 1-13在式1-13中，因wy=0=0 ,所以wxy=0=0，2wx2y=0=0,故由Myy=0=0可简化为2wy2y=0=0。（3）自由边界，属于静力边界条件。在自由边BCx=a和ABy=b上，薄板的弯矩、扭矩及横向剪应力都为零，因而有三个边界条件：Mxx=a=0，Mxyx=a=0，Fsxx=a=0Myy=b=0，Myxy=b=0，Fsyy=b=0其中，扭矩可以化为静力等效的横向剪力。因此

12、，横截面上总的分布剪力为：Ftsx=Fsx+Mxyy，Ftsy=Fsy+Myxx相应的自由边界条件减少为两个独立的条件：Mxx=a=0，Ftsxx=a=Fsx+Mxyyx=a=0 1-14Myy=b=0，Ftsyy=b=Fsx+Myxxy=b=0 1-15此外，在角点B处，将合成一个集中反力FRB：FRB=MyxB+MxyB=2MxyB=-2D1-2wxyB 1-16若在角点B处没有支座对薄板施以上述集中反力，则角点条件FRB=0：2wxyB=2wxyx=a,y=b=0 1-17若在B点处没有集中荷载F，且沿z轴的正方向，则角点条件FRB=-F：2wxyB=2wxyx=a,y=b=F2D1-

13、1-18若在B点有支座约束，则在B处的角点条件：wB=wx=a,y=b=0 1-19或者有角点条件wB=wx=a,y=b= 1-20式中：为支座上端的沉陷。如图4所示为以正方向标示于矩形薄板中面上的总剪力、角点反力以及弯矩（以矩矢表示，右手螺旋，双箭头为大拇指方向，其余四指的绕向即 为弯矩作用的方向），但表明其增量。 圆形薄板的小挠度弯曲问题对于圆形、扇形、圆环形等形状的薄板，采用极坐标求解往往比较方便。圆形薄板弯曲问题的基 图4 本方程、边界条件和内力公式，均可通过直角坐标系与极坐标系的导数变换关系，从直角坐标系的相应公式中转换得到。表1. 圆形薄板的小挠度弯曲问题的基本方程、内力、和总分布

14、剪力的表达式名称圆形薄板的小挠度弯曲问题圆形薄板的轴对称弯曲问题基本方程22+1+12222w，=q，Dd2d2+1dd2w=qD或1dddd1dddwd=qD内力M=-D2w2+1w+122w2M=-D1w+122w2+2w2M=-D1-1wFs=-D2w，Fs=-D2wM=-D2w2+dwdM=-D1dwd+d2wd2M=0Fs=-Ddd2w，Fs=0总剪力Fts=Fs+1M，Fts=Fs+MFts=Fs=-Ddd2w，Fts=0算子2=22+1+12222=d2d2+1dd注明：M=M，-12w21w，dd2w2dwd 当圆形薄板所受的横向荷载q和边界条件是绕z轴对称的，则该板的挠度和内

15、力也是绕z轴对称的，这类问题就是圆板的轴对称弯曲问题。此时，板的挠度、弯曲基本方程和内力仅是的函数，而与无关，如表1中右边所示。弯矩及总剪力的正方向如图5所示（注：未标明内力增量），圆形板的圆弧形边界上不存在角点反力。 图5圆形薄板弯曲时的边界条件如表1所示。其中，设边界=a处分别为固定边、简支边、自由边，且无给定的位移或外力。 表2. 圆形薄板弯曲的边界条件名称圆形薄板的小挠度弯曲问题轴对称弯曲问题说明固定边界w=a=0 , w=a=0w=a=0 , dwd=a=0位移边界条件简支边界w=a=0 , M=a=0w=a=0 , M=a=0混合边界条件自由边界M=a=0,Fs+Mx=a=0M=a

16、=0,Fsx=a=0静力边界条件圆形薄板的轴对称弯曲问题，其挠度函数的通解即内力表达式如表2所示。其中，w1为特解，由板面荷载来确定。表3. 圆形薄板的轴对称弯曲问题的解答名称表 达 式挠 度w=C1ln+C22ln2+C33+C4+w*w*=1Ddddqd内 力M=-D-1-2C1+C22ln+3+2ln+2C31+-Dd2w*d2+dw*dM=-D1-2C1+C22ln+1+2ln+3+2C31+-D1dw*d+d2w*d2Fs=-4DC2-Dddd2w*d2+1dw*dM=Fs=0对于有孔板，则可由内外各两个边界条件确定挠度表达式的C1、C2、C3、C4；对于无孔边，则可由板中心处的挠度

17、和内力为有限值得条件，得出C1=C2=0，再由边界条件确定C3和C4。但需指出的是，在某些特殊情况下（例如，板面上作用有集中力或者板面上有约束），为了求得问题的解答，可以对内力进行放松，即C20。二 经 典 例 题椭圆形薄板问题例1.设有半椭圆形薄板，如图6所示，边界AoB为简支边，ACB为固定边，受有荷载q=q0xa。试证w=mxx2a2+y2b2-12能满足一切条件，其中m是待定系数；并求挠度以及它的最大值。解：先检验挠度表达式w=mxx2a2+y2b2-12是否满足全部的边界条件。在本例题中，薄板的全部边界条件为：在简支边ABx=0上，其边界条件为：wx=0=0,2wx2x=0=0 a容

18、易验证，式a是满足的。在固定边ACB上，其边界条件为：ws=0,wns=wxxn+wyyns=0 b 图6式中：n为椭圆板边界s的外法线方向。因为在板边界s上有：wxs=mx2a2+y2b2-15x2a2+y2b2-1=0wys=4mxyb2x2a2+y2b2-1=0 故式b也能满足。现将挠度函数的表达式代入薄板弯曲的基本方程中，可得：D4w=Dmx120a4+48a2b2+24b4=q0xa c由式c可得：m=q024a5a4+2a2b2+1b4D d将式d代入到挠度的表达式中，可得：w=q024aD5a4+2a2b2+1b4x2a2+y2b2-1 2 e为了求挠度的最大值，先考虑其驻点：w

19、x=mx2a2+y2b2-15x2a2+y2b2-1=0 fwy=4mxyb2x2a2+y2b2-1=0 g由于在半椭圆形薄板的全部边界上，各点的挠度均为零，故挠度的最大值不可能发生在板边上。同时，又因荷载和薄板形式都关于x轴对称，故挠度的最大值比发生在x轴(即y=0）上。因此，将y=0代入式f中，并考虑到0xa以及在边界上挠度不能取得最大值，所以必有：5x2a2+y2b2-1y=0=0从而求得驻点15a,0。故挠度的最大值为：wmax=wx=5a/5,y=0=25q0375D5a4+2a2b2+1b4分析(1)当周边固定的椭圆形薄板，板面受均匀分布的荷载q0作用，其半轴分别为a和b，则可假定

20、挠度函数为w=mx2a2+y2b2-12,此挠度表达式可以满足全部边界条件，同时由薄板弯曲的基本方程确定待定系数m。（2）对于周边固定的椭圆形薄板，当板面所受荷载沿x轴线性分布，即q=q0x/a,可假定挠度函数w=mx2a2+y2b2-12，同样可以满足全部边界条件。矩形薄板问题例2.矩形薄板oABC的两对边AB与oC为简支，受均匀分布的弯矩M作用，oA与BC为自由边，受均匀分布的弯矩M作用，板面无横向荷载作用，如图7所示。试证明挠度w=wy可以作为此问题的解，并求挠度、内力、和总剪力。解：将挠度w=wy代入薄板弯曲的基本方程 图7式（1-10）中，可得d4wydy4=0 对wy积分，得wy=

21、A1y3+A2y2+A3y+A4根据内力与总剪力的表达式为：Mx=-D2wx2+2wy2=-2D3A1y+A2My=-D2wy2+2wx2=-2D3A1y+A2Mxy=-D1-2wxy=0Fsx=-Dx2w=0,Fsy=-Dy2w=-6DA1Ftsx=Fsx+Mxyy=0，Ftsy=Fsy+Myxx=-6DA1再由边界条件确定待定系数：在边界oAx=0上，其边界条件为：Mxx=0=M,Ftsxx=0=0从而，可以求得：A1=0，A2=-M2D。在边界BCx=a上，其边界条件为：Mxx=a=M,Ftsxx=a=0,同样可求得：A1=0，A2=-M2D。在边界oCy=0上，其边界条件为：wy=0=

22、0，Myy=0=M从而可得：A4=0。在边界ABy=b上，由其边界条件wy=b=0，Myy=b=M可求得待定系数A3=bM2D。因此，挠度、内力和总剪力为：w=-M2Dy2+bM2Dy=My2Db-yMx=M，My=M,Mxy=0,Fsx=Fsy=0Ftsx=Ftsy=0综上所述，挠度w=wy能满足域内的基本微分方程和全部的边界条件，故挠度w=wy可以作为此问题的解。分析 如果oA与BC为简支边，受均匀分布的弯矩M的作用，AB与oC为自由边，受均匀分布的弯矩M作用，且板面无横向荷载作用，则挠度函数w=wx可以作为此问题的解。例3.两条边简支、两条边自由的矩形薄板，板面无横向荷载作用；对于下列两

23、种情况：1.在角点B处受向下的横向集中力F作用，如图8所示。2.在角点C处有一竖直向下的微小位移，且与固定的链杆相连接，如图9所示。试分别求矩形薄板的内力和角点反力。 图8图9解：1.在角点B处受向下的横向集中力F作用时，可设挠度的表达式为：w=mxy a很显然，它能满足本问题的基本微分方程4w=0。根据挠度的表达式（a），可求得内力及总剪力的表达式为:Mx=-D2wx2+2wy2=0My=-D2wy2+2wx2=0Mxy=-D1-2wxy=-D1-mFSx=-Dx2w=0，FSy=-Dy2w=0FSxt=FSx+Mxyy=0，FSyt=FSy+Mxyx=0由边界条件确定待定系数m。本题的全部

24、边界条件：wx=0=0，MXx=0=0；MXx=a=0，FSxtx=a=0；wy=0=0，Myy=0=0；Myy=b=0，FSyty=b=0 显然，上述边界条件均能自动满足。对于两自由边的角点B，其角点条件为： FRB=-2D1-2wxyx=a，y=b=-F (b)由式（b）可解得：m=FD1-故挠度、内力及角点反力为：w=FD1-xyMx=My=FSx=FSy=0，Mxy=-F2 FRA=2Mxyx=0，y=b=-F同理： FRB= FRC= FRD=-F各角点集中反力的正负号可参考图42.在角点C处有一竖直向下的微小位移，且与固定的链杆相连接时，可设挠度的表达式为： w=mxy-b (c)

25、显然，式（3）也能满足本问题的基本微分方程4w=0。由挠度可得内力和总剪力的表达式为：Mx=-D2wx2+2wy2My=-D2wy2+2wx2Mxy=-D1-2wxy=-D1-mFSx=-Dx2w=0，FSy=-Dy2w=0FSxt=FSx+Mxyy=0，FSyt=FSy+Mxyx=0本题的全部边界条件：wx=0=0，MXx=0=0；MXx=a=0，FSxtx=a=0；Myy=0=0 ，FSyty=0=0，wy=b=0，Myy=b=0 同样地，全部边界条件也能自动满足。对于两自由边的角点C处有一竖直向下的微小位移，则角点条件为wC=wx=a，y=0= d由式（4）可得：m=- ab挠度以沿z方

26、向为正，即向下为正。例4.四边简支的矩形薄板，边长分别为a和b， 如图10所示，板面上受有分布荷载 q=x，y =q0sinxasinyb，其中q0为板面中心的荷载集度， 试求薄板的挠度、内力及角点反力。解在本例题中，薄板弯曲的基本方程为：图104w=4wx4+24w x2y2+4wy4=q0sinxasinyba本例题的全部边界条件wx=0=0，2wx2x=0=0wx=a=0，2wx2x=a=0wy=0=0，2wy2y=0=0wy=b=0，2wy2y=b=0显然，若取挠度函数为：w=x，y=msinxasinyb b则能满足全部边界条件。将式（2）代入式（1）中，可得： m=q04D1a2+

27、1b22 c从而，可求得的内力如下：Mx=-D2wx2+2wy2Dm21a2+b2sinxasinybMy=-D2wy2+2wx2Dm2a2+1b2sinxasinyb显然，最大挠度和最大弯矩发生在板的中心：wmax= wa2，b2=q04D1a2+1b22MXmax=q021a2+1b221a2+b2Mymax=q021a2+1b22a2+1b2四个角的集中反力为： FRi=2Mxyi=-2D1-2wxyi=-21-q021a2+1b22abcosxacosybi由扭矩的正负号（参见图4）可知，这四个角点的集中反力都向下。例5.如图11所示四边简支的矩形薄板边长分别是a和b，在任一点D x0

28、，y0处受集中力F的作用，试求薄板的挠度。解采用纳维解法，将挠度函数取为重三角级数： w=m=1n=1Amnsinmxasinnyb a 图11现将集中力F看作是作用在微面积xy上的均布荷载，即q= Fxy，而板面的其余处的图11荷载为零。将q代入纳维解中的系数表达式：Amn= 40a0bq x，ysinmxasinnyb dxdy 4abDm2a2+n2b22 =44abDm2a2+n2b22x0-x2x0+x2y0-y2y0+y2Fxysinmxasinnyb dxdy =4F4abDm2a2+n2b22xysinmx0asinny0b xy =4F4abDm2a2+n2b22sinmx0

29、asinny0b b将式（b）代入式（a）中，可得薄板的挠度为：w=4F4abD m=1n=1sinmx0asinny0bm2a2+n2b22sinmxasinnyb分析对于四边简支的矩形薄板，纳维（Navier）提出来重三角级数表示的解答。即将挠度函数w表示为：w=m=1n=1Amnsinmxasinnyb上式完全满足了四边简支的边界条件。再将挠度表达式代入薄板弯曲的基本微分方程中，可求得待定系数AmnAmn= 40a0bq x，ysinmxasinnyb dxdy 4abDm2a2+n2b22事实上，纳维解答是各种正弦波形的函数叠加而成，在数学上称为Fourier级数。纳维解法的优点是能适

30、用于各种荷载，且级数运算简单；其缺点是只适用于四边简支的矩形板，且在计算内力时级数收敛较慢。例6.如图12所示的四边简支的矩形薄板,边长分别是a和b，在y=±b2的边界上受分布力矩f1x、f2x作用，试求薄板的挠度。解采用莱维法求解。因板面无分布荷载作用，故薄板弯曲的基本方程为：4w=4wx4+24w x2y2+4wy4=0 a本题的边界条件为：图12 图12wx=0，a=0，2wx2x=0，a=0 b wy=b2=0，Myy=b2=-D2wy2y=b2=f1x cwy=-b2=0，Myy=-b2=-D2wy2y=-b2=f2x d为了分析简便，可将作用在边界y=±b2上的

31、分布弯矩分成对称与反对称两部分：对称部分：My'y=b2=12fx1+fx2，My'y=-b2=12fx1+fx2反对称部分：My''y=b2=12fx1-fx2，My''y=-b2=12fx1-fx2这两组边界分布弯矩分别按Fourier级数展开为：My'y=±b2=12fx1+fx2=m=1Am'sinmxaMy''y=±b2=±12fx1-fx2=±m=1Am''sinmxa其中，系数Am'和Am''可按Fourier级数展开定理

32、求得。设对称与反对称情况下板的挠度分别为w1和w2，对应的边界条件分别为：w1y=±b2=0，-D2w1y2y=±b2=m=1Am'sinmxa ew2y=±b2=0，-D2w2y2y=±b2=±m=1Am''sinmxa f将w1和w2叠加，可得到满足边界条件式（c）、式（d）的挠度。在对称情况下w1应为y的偶函数。故在莱维解答中（参见本题的解析），系数Cm 和Dm 均为零，因为无板面荷载，可取特解Ym*y=0，于是有：w1=m=1Am coshmya+Bm myasinhmyasinmxa g利用边界条件式（5），可

33、确定系数Am 和Bm 为：Am = abAm'tanhmb2a4D coshmb2aBm =-a2Am'2Dm22coshmb2a在反对称情况下，挠度w2应为y的奇函数。故在莱维解答中系数Am 和Bm 均为零，同样取特解Ym*y=0，于是w2为：w2=m=1Cm sinhmya+Dm myacoshmyasinmxa h同样的利用边界条件式（6），可确定系数Cm 和Dm 为：Cm = abAm''cothmb2a4D sinhmb2aDm =-a2Am''2D2m2sinhmb2a将式（g）与式（h）相叠加，得到满足边界条件式（c）、式（d）的挠

34、度解答:w= a22D2m=11m2Am'coshmmtanhmcoshmya-myasinhmya+Am''coshmmcothmsinhmya-myacoshmyasin mxa其中：m=mb2a分析当矩形薄板的两对边为简支边，另两对边为任意自由的边界条件时，莱维提出了单三角级数表示的解答：w=m=1Ym ysin mxa a显然，挠度w已满足了x=0，a两对边简支的条件。将挠度表达式a代入薄板弯曲的基本的方程（8.10）中，可求得Ym 的表达式：Ym =Am coshmya+Bm myasinhmya+Cm sinhmya+Dm myacoshmya+Ym*y(b

35、)其中，Am 、Bm 、Cm 和Dm 应由y=±b2的边界条件来确定。同时，Ym*y为下列方程的任意一个特解：d4Ym dy4-2m a2d2Ym dy2+m a4Ym =2aD0aqsinmxadx (c)应用叠加原理，可将莱维提出的单三角级数解，用于解决各种边界条件的矩形薄板问题。圆形薄板问题例7.设有半径为a的圆形薄板，受均布荷载q0作用，如图13和图14所示。在下列两种支承条件下：1. 薄板周边固定，如图13所示。2. 薄板周边简支，如图14所示。试求薄板的挠度和内力。 图13 图14解:本题属于圆形薄板的轴对称弯曲问题，考虑到圆形薄板内无空洞，在薄板中心（即=0）处挠度和应

36、力应为有限值，故挠度一般表达式中的常数C1=C2 =0，即挠度可简化为： w=C32+C4+w* a其中，特解w*可由下式得：w* =1Ddddq0d=q064D4 (b)于是，挠度与内力的表达式：w=C32+C4+q064D4，dwd=2C3+q016D3M=-21+DC3-3+16Dq02M=-21+DC3-1+316Dq02M= M=0 FS=-q02 c下面由边界条件求解待定系数C3和C4。1. 薄板周边固定，其边界条件为：w =a=0，dwd=a=0 d从而，可求得：C3=q0a232D，C4=q0a464D2. 薄板周边简支，其边界条件为：w =a=0，M=a=0 e从而，可求得：

37、C3=-3+q0a2321+D，C4=5+q0a4641+D再将C3和C4值代入到式（c）中即可求解。分析（1） 若圆形薄板面荷载为q=aq0，其他条件不变，则只需将特解换成：w* =1Ddddq0ad=q0225aD5并代入挠度表达式（a）中，再由边界条件式（d）、式（e）来确定系数C3和C4的值。（2） 若圆形薄板面荷载q=1-aq0，其他条件不变，也则只需将特解换成：w* =q0Dddd1-ad=q064D4-q0225aD5同样，再由边界条件式（d）、式（e）来确定系数C3和C4的值。(例8.9)设有一半经为a的圆形弹性薄板,如图15所示，周边界固定，圆心处有一链杆支座，设链杆支座发生

38、微小沉陷。试求薄板的挠度和内力。解本题属于轴对称弯曲问题，板面无分布荷载，故特解w*为零。根据圆形薄板的轴对称弯曲问题的一般解答： w=C1ln+C22ln+C32+C4 a考虑到板心无孔洞，其挠度值应为有限值，故C1=0。本题边界条件为：图15w =a=0，dwd=a=0 b将式（a）代入到式（b）中，可得：C2a2lna+C3a2+C4=0 ，C2a+2 alna+2C3a=0 c同时，由于板中心处的链杆支座发生微小沉陷，故补充条件：w =0= d再将式（a）代入到式（c）中，考虑到当0时，有2ln0，从而可求得： C4= e有式（c）和式（e）可解得：C2=2 a2，C3=- a21+2

39、lna f于是薄板的挠度函数为：w=1-2a2+22a2lna g薄板的内力为：M=-4D a21+1+lna M=-4D a2+1+lna FS=-8D a2M= FS= 0 h需要指出的是：从薄板的内力表达式即式h中可知，当0时，（M，M，FS），即内力在圆形薄板的中心处具有奇异性。分析在本题中，如果在板面的中心处作用的是集中力F，如图15所示，则其挠度的表达式仍取为式（a），且C1=0。其边界条件仍为式（b），不同之处是需补充静力平衡条件，即任取半径为的部分圆形薄板为脱离体，其静力平衡条件为：Fz=0，可得2FS+F= 0其中，分布剪力FS在外半径处向下为正（参考图5），且其值为：FS=

40、-Ddd2w=-Dddd2d2+1ddw=-4DC2从而，问题可求解。例9.设有一半经为a的圆形薄板，周边简支，在板中半径为b的圆面积桑受均布和荷载q0作用，如图16所示。试求其挠度。图16解本题本题属于圆形薄板的轴对称弯曲问题。由于荷载不连续，需要将挠度函数分段来表示：w1=C32+C4+q064D40b aw2=C1'ln+C2'2ln+C3'2+C4'ba b由=a处的边界条件及=b处的连续性条件来确定系数：w1 =a=0，M2 =a=-Dd2w2d2+dw2d=a=0 cw1 =b=w2 =b，dw1d =b=dw2d =b d根据M1 =b=M2 =b

41、可得：d2w1d2+dw1d=b=d2w2d2+dw2d=b e根据FS1t=b=FS2t=b可得：dd2w1=b=dd2w2=b f在一阶导数相等的情况下，即在式（d）下，式（e）、式（f）可分别转化为二阶导数和三阶导数相等：d2w1d2=b=d2w2d2=b gd3w1d3=b=d3w2d3=b h从而，可求得6个系数的值为：C3=q0b232D4lnba+1-b21+a2-41+C4=q0b464D4lnba+43+a21+b2-7+31+C1'=q0b416DC2'=q0b28DC3'=q0b232D(1-)b2(1+)a2-4lna-2(3+)1+C4'=q0b232D2(3+)a2(1+)-(1-)b21+-2b2lna分析（1）若令b的区域内荷载总和为F，即F=b2q0,如果F值不变，而b0，即可得到简支圆形薄板在中心处受集中力F作用的情形，如图例（a）所示。用F替代w2中的q0b2项，且令b0，从而可求得挠度函数为：w=w2= F8D3+(1+)-a2-2+22lna图17 (2)若在=b处的圆周上作用集度为p的环向线荷载情况，如图例（b），此时只需将条件时（f）改为：(FSt)=b=-Ddd(d2w2d2+1dw2d)=b=-p其中，负号表示实际的总剪力方向与图例中的总剪力方向相反。通过相同