投资的效益和风险

1、市场上有 n 种资产（如股票、债券、）si ( i=1,n)供投资者选择，某公司有数额为 m 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这 n 种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买 si的平均收益率为ir并预测出购买 si的风险损失率为iq。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险用所投资的 si中最大的一个风险来度量。投资的效益和风险投资的效益和风险(1998年全国大学生数学建模竞赛年全国大学生数学建模竞赛a题题) 购买 si要付交易费，费率为ip，并且当购买额不超过给定值iu时，交易费按购买iu计算（不买当然无须付费） 。另外，假

2、定同期银行存款利率是0r, 且既无交易费又无风险。 （0r=5%） 已知 n = 4 时的相关数据如下： 试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金 m，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。问题分析问题分析优化问题决策决策每种资产的投资额（投资组合）目标目标净收益最大整体风险最小 在一定风险下收益最大的决策 在一定收益下风险最小的决策 收益和风险按一定比例组合最优的决策一组解(如在一系列风险值下收益最大的决策)二者矛盾 冒险型投资者从中选择高风险下收益最大的决策 保守型投资者则可从低风险下的决策中选取模型建立模型建立用数学符号和式子表述决策变量、构造目

3、标函数、确定约束条件。xi i对si(i=0,1,n)的投资,s0表示存入银行.目标函数目标函数 总收益投资si的净收益减去交易费，对i求和 总体风险投资si的风险，对i求最大值对si的投资xi i加交易费，对i求和，不超过给定资金m.决策变量决策变量约束条件约束条件f xxc xiiiii( )( )0uixicipiuiiiiiiiiiiiiuxxpuxupxxc, 0, 0, 0)(1）投资si的交易费、净收益、风险、资金表达式交易费净收益)( )(iiiiiixcxrxr(收益率ri)风险资金iiiixqxq)(风险损失率qi)0)(, 1 , 0000qxcni2）投资方案总收益、总

4、体风险、资金表达式投资方案),(10nxxxxr xr xiiin( )() 0总收益)( )(max0iinixqxq总体风险f xf xiiin( )() 0资金3）两目标（总收益、总体风险）优化模型0,)( )()( minxxmxfxrxq4）单目标优化模型0,)()(.s.t)(maxxmxfkxqxr模型m1：确定风险水平q，记 kqm，模型 m2：确定盈利水平r，记hrm，0,)()(.s.t)(minxmxfhxrxq0,)(.s.t)()1 ()( )(minxmxfxrxqxs 模型m3：确定投资者对风险收益的相对偏好参数 0模型简化模型简化iiiiiiiiiiiuxxpu

5、xupxxc, 0, 0, 0)(交易费iiiixpxc)(ui很小m很大资金约束设m=1nixpyiii, 1, 0,)1 (投资si的比例f xxc xiiiii( )( )f xfxiiin( )() 0mxf)(mxpinii)1 (0)( )(max0iinixqxqiiiixqxq)(r xr xiiin( )() 0)( )(iiiiiixcxrxriiixpr)( mxpinii)1 (0设m=1线性规划模型线性规划模型lp1模型模型m1的简化的简化0,)()(.s.t)(maxxmxfkxqxrm1iiniixpr)(max0nikxqt sii, 2, 1,. .0, 1)

6、1 (0 xxpinii模型模型m2的简化的简化0,)()(.s.t)(minxmxfhxrxqm21minnxnixxqt snii, 1,. .1hxpriinii)(00, 1)1 (0 xxpinii极大极小规划模型)(maxmin1iinixqhxprt siinii)(. .00, 1)1 (0 xxpinii线性规划模型线性规划模型lp2引入人工变量引入人工变量 xn+1模型模型m3的简化的简化0,)(.s.t)()1 ()( )(minxmxfxrxqxsm30, 1)1 (. .0 xxpt siniiiiniinxprxxl)()1 ()(min01nixxqnii, 11

7、线性规划线性规划模型模型lp3模型求解模型求解lp1,lp2,lp3都很容易用软件lingo9.0求解iiniixpr)(max0nikxqt sii, 2, 1,. .0, 1)1 (0 xxpinii线性规划模型线性规划模型lp1iiiiiiiiiipqapprcxpy11)1(0, 14, 1 , 0,. .max4040iiiiiiiiyyikyatsycbaxtscx. .min风险 k(%)收益 r(%)y0y1y2y3y405.00001.000000000.17.55280.83160.04040.06800.01900.04100.210.10550.66330.08080.

8、13600.03800.08190.312.65830.49490.12120.20400.05700.12290.415.21100.32660.16160.27200.07600.16380.517.76380.15820.20200.34000.09500.20480.620.190800.24240.40800.11400.23560.720.660700.28280.47600.13300.10820.821.124300.32320.54400.132800.921.552000.36360.61200.024401.021.902000.40400.5960001.523.539

9、200.60600.3940002.025.176500.80800.1920002.125.503900.84840.1516002.225.831400.88880.1112002.326.158800.92920.0708002.426.486300.96960.0304002.526.732701.0000000lp1的结果的结果风险水平取风险水平取k=02.5%, 得投资比例得投资比例y0y400.511.522.551015202530k(%)r(%)(k*,r*)lp1的结果的结果lp1 风险 k 和收益 r 的关系对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择图中曲线的拐点（k*, r*） ，大约是 k*=0.6%, r*=20%lp3的结果的结果偏好系数取 0.760.97风险k(%)收益r(%)y0y1y2y3y40.762.475226.732701.00000000.770.922521.648200.37270.6273000.810.922521.648200.37270.6273000.820.784921.059900.31710.53380.149100.830.594020.162400.24000.40390.11290.24320.960.594020.162400.24000.40390.11290.24320.970.00005.0