高中数学人教A版选修11章末综合测评3 Word版含解析

1、高中数学选修精品教学资料章末综合测评(三)导数及其应用(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1若函数f(x)2cos x,则f()等于()asin bcos c2sin d2sin 【解析】f(x)(2cos x)sin x,当x时,f()sin .【答案】a2若曲线y在点p处的切线斜率为4,则点p的坐标是()a. b.或c. d.【解析】y,由4,得x2,从而x±,分别代入y,得p点的坐标为或.【答案】b3观察(x2)2x,(x4)4x3,(cos x)sin x,归纳可得：若定义在r上

2、的函数f(x)满足f(x)f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(x)()af(x)bf(x)cg(x)dg(x)【解析】观察可知,偶函数f(x)的导函数g(x)是奇函数,所以g(x)g(x)【答案】d4若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2,则f(1)()a1b2c2d0【解析】由f(x)ax4bx2c得f(x)4ax32bx,又f(1)2,所以4a2b2,f(1)4a2b(4a2b)2.故选b.【答案】b5已知函数f(x)xln x,若f(x)在x0处的函数值与导数值之和等于1,则x0的值等于()a1b1c±1d不存在【解析】因为f(x)xln x,所以f(x)ln x

3、1,于是有x0ln x0ln x011,解得x01或x01(舍去),故选a.【答案】a6过点(0,1)且与曲线y在点(3,2)处的切线垂直的直线方程为() 【导学号：26160104】a2xy10bx2y20cx2y20d2xy10【解析】y,y|x3,故与切线垂直的直线斜率为2,所求直线方程为y12x,即2xy10.故选d.【答案】d7.已知函数yf(x),其导函数yf(x)的图象如图1所示,则yf(x)()图1a在(,0)上为减函数b在x0处取得极小值c在(4,)上为减函数d在x2处取极大值【解析】在(,0)上,f(x)>0,故f(x)在(,0)上为增函数,a错；在x0处,导数由正变

4、负,f(x)由增变减,故在x0处取极大值,b错；在(4,)上,f(x)<0,f(x)为减函数,c对；在x2处取极小值,d错【答案】c8若函数f(x)ax3x2x5在(,)上单调递增,则a的取值范围是()aabacada【解析】f(x)3ax22x1在(,)上恒非负,故解得a.【答案】b9以长为10的线段ab为直径作半圆,则它的内接矩形面积的最大值为()a10b15c25d50【解析】设内接矩形的长为x,则宽为,s2x2·y,y50xx3.令y0,得x250或x0(舍去),s625,即smax25.【答案】c10函数y的最大值为()ae1bece2 d.【解析】y,令y0,得xe

5、.当x>e时,y<0；当0<x<e时,y>0.故y极大值f(e)e1.因为在定义域内只有一个极值,所以ymaxe1.【答案】a11对于r上可导的任意函数f(x),若满足(x1)f(x)0,则必有()af(0)f(2)<2f(1)bf(0)f(2)>2f(1)cf(0)f(2)2f(1)df(0)f(2)2f(1)【解析】若f(x)不恒为0,则当x>1时,f(x)0,当x<1时,f(x)0,所以f(x)在(1,)内单调递增,在(,1)内单调递减所以f(2)>f(1),f(1)<f(0),即f(0)f(2)>2f(1)若f(x

6、)0恒成立,则f(2)f(0)f(1),综合,知f(0)f(2)2f(1)【答案】d12若函数f(x)在(0,)上可导,且满足f(x)xf(x),则一定有()a函数f(x)在(0,)上为增函数b函数f(x)在(0,)上为减函数c函数g(x)xf(x)在(0,)上为增函数d函数g(x)xf(x)在(0,)上为减函数【解析】设g(x)xf(x),则g(x)xf(x)f(x)0,故g(x)xf(x)在(0,)上递增,故选c.【答案】c二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分将答案填在题中的横线上)13函数f(x)ln xx的单调递增区间为_【解析】令f(x)10,解不等式即可解得x1,注意定

7、义域为(0,)所以0x1.【答案】(0,1)14设函数f(x)6x33(a2)x22ax.若f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1x21,则实数a的值为_【解析】f(x)18x26(a2)x2a.由已知f(x1)f(x2)0,从而x1x21,所以a9.【答案】915若函数f(x)ln|x|f(1)x23x2,则f(1)_.【解析】当x>0时,f(x)ln xf(1)x23x2,f(x)2f(1)x3,f(1)12f(1)3.当x<0时,f(x)ln(x)f(1)x23x2,f(x)2f(1)x32f(1)x3,f(1)12f(1)3,f(1)2,f(1)8.【答案】816当x1,

8、2时,x3x2x<m恒成立,则实数m的取值范围是_【解析】记f(x)x3x2x,所以f(x)3x22x1.令f(x)0,得x或x1.又因为f,f(2)2,f(1)1,f(1)1,所以当x1,2时,f(x)max2,所以m>2.【答案】(2,)三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知曲线yx3x2在点p0处的切线l1与直线l：4xy10平行,且点p0在第三象限(1)求点p0的坐标； 【导学号：26160105】(2)若直线l2l1,且l2也过点p0,求直线l2的方程【解】(1)由yx3x2,得y3x21.令3x214,解

9、得x±1.当x1时,y0；当x1时,y4.又点p0在第三象限,切点p0的坐标为(1,4)(2)直线l2l1,l1的斜率为4,直线l2的斜率为.l2过切点p0,点p0的坐标为(1,4),直线l2的方程为y4(x1),即x4y170.18(本小题满分12分)(2015·重庆高考)已知函数f(x)ax3x2(ar)在x处取得极值(1)确定a的值；(2)若g(x)f(x)ex,讨论g(x)的单调性【解】(1)对f(x)求导得f(x)3ax22x,因为f(x)在x处取得极值,所以f0,即3a·2·0,解得a.(2)由(1)得,g(x)ex,故g(x)exexexx

10、(x1)(x4)ex.令g(x)0,解得x0,x1或x4.当x<4时,g(x)<0,故g(x)为减函数；当4<x<1时,g(x)>0,故g(x)为增函数；当1<x<0时,g(x)<0,故g(x)为减函数；当x>0时,g(x)>0,故g(x)为增函数综上知,g(x)在(,4)和(1,0)内为减函数,在(4,1)和(0,)内为增函数19(本小题满分12分)设f(x)ln x,g(x)f(x)f(x),求g(x)的单调区间和最小值【解】由题意知f(x),g(x)ln x,g(x).令g(x)0,得x1.当x(0,1)时,g(x)0,故(0,

11、1)是g(x)的单调减区间当x(1,)时,g(x)0,故(1,)是g(x)的单调增区间因此,x1是g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点所以g(x)的最小值为g(1)1.20(本小题满分12分)(2014·重庆高考)已知函数f(x)ln x,其中ar,且曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值【解】(1)对f(x)求导得f(x),由yf(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于直线yx知f(1)a2,解得a.(2)由(1)可知f(x)ln x,则f(x).令f(x)0,解得x1或x5.因x1不在f(x)的定义

12、域(0,)内,舍去当x(0,5)时,f(x)<0,故f(x)在(0,5)内为减函数；当x(5,)时,f(x)>0,故f(x)在(5,)内为增函数由此知函数f(x)在x5时取得极小值f(5)ln 5,无极大值21(本小题满分12分)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2.其中3<x<6,a为常数已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大【解】(1)因为x5时,y11,所以10

13、11,a2.(2)由(1)可知,该商品每日的销售量y10(x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)·210(x3)(x6)2,3<x<6.从而,f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)42由上表可得,x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点所以,当x4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大22(本小题满分12分)(2016·秦皇岛高二检测)已知函数f(x)x3ax2bxc的图象经过原点,f(1)0,曲线yf(x)在原点处的切线与直线y2x3的夹角为135°.(1)求f(x)的解析式； 【导学号：26160106】(2)若对于任意实数和,不等式|f(2sin )f(2sin )|m恒成立,求m的最小值【解】(1)由题意,有f(0)c0,f(x)3x22axb且f(1)32ab0,又曲线yf(x)在原点处的切线的斜率kf(0)b,而直线y2x3与此切线所成的角为135°,所以1.联立解得a0,b